ответы на билеты (928633), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Для этого проанализируем деформации модели стержня из низкомодульногоматериала, на боковой поверхности которого нанесена сетка продольных и поперечныхрисок (рис. 2). Поскольку поперечные риски при изгибе стержня парами сил,приложенными в торцевых сечениях, остаются прямыми и перпендикулярными кискривленным продольным рискам, это позволяет сделать вывод о выполнениигипотезы плоских сечений, которая, как показывает решение этой задачи методамитеории упругости, перестает быть гипотезой, становясь точным фактом — закономплоских сечений. Замеряя изменение расстояний между продольными рисками,приходим к выводу о справедливости гипотезы о ненадавливании продольных волокон.Ортогональность продольных и поперечных рисок до и после деформирования (какотражение действия закона плоских сечений) указывает также на отсутствие сдвигов,касательных напряжений в поперечных и продольных сечениях стержня.Рис.1.

Связь внутреннего усилия и напряженияРис.2. Модель чистого изгибаТаким образом, чистый прямой изгиб призматического стержня сводится кодноосному растяжению или сжатию продольных волокон напряжениями (индекс г вдальнейшем опускаем). При этом часть волокон находится в зоне растяжения (на рис. 2это—нижние волокна), а другая часть—в зоне сжатия (верхние волокна). Эти зоныразделены нейтральным слоем (п—п), не меняющим своей длины, напряжения вкотором равны нулю.

Учитывая сформулированные выше предпосылки и полагая, чтоматериал стержня линейно-упругий, т. е. закон Гука в этом случае имеет вид:Изгиб прямого стержня.Под изгибом понимается такой вид нагружения, при котором в поперечныхсечениях стержня возникают изгибающие моменты. Если изгибающий момент всечении является единственным силовым фактором, а поперечные и нормальная силыотсутствуют – чистый изгиб. Если в поперечных сечениях наряду с изгибающимимоментами возникают поперечные силы – поперечный изгиб.q(z)q(z)dzQQ + dQMdzM + dMΣ Fky = 0Q – q(z)dz – Q – dQ = 0dQ/dz = – q(z)(1)Σ MB = 0M + Qdz – q(z)dz dz / 2 – M – dM = 0dM/dz = Q(2)Основные гипотезы:Гипотеза Бернулли (плоских сечений)Не надавливание волокон друг на друга в боковом направленииОпределение напряжений:σ = ( Mx / Ix ) yσmax = ( Mx / Ix ) ymax2) расчет на прочность при кручении. понятие озапаса, расчѐт по допускаемым напряжениянормативном коэффициентахПод изгибом понимается такой вид нагружения, при котором в поперечныхсечениях стержня возникают изгибающие моменты.

Если изгибающий момент всечении является единственным силовым фактором, а поперечные и нормальная силыотсутствуют – чистый изгиб. Если в поперечных сечениях наряду с изгибающимимоментами возникают поперечные силы – поперечный изгиб.q(z)q(z)dzQQ + dQMdzM + dMΣ Fky = 0Q – q(z)dz – Q – dQ = 0dQ/dz = – q(z)(1)Σ MB = 0M + Qdz – q(z)dz dz / 2 – M – dM = 0dM/dz = Q(2)Основные гипотезы:Гипотеза Бернулли (плоских сечений)Не надавливание волокон друг на друга в боковом направленииОпределение напряжений:σ = ( Mx / Ix ) yσmax = ( Mx / Ix ) ymaxПотенциальная энергия при чистом изгибе:Wx = Ix / ymaxЧастные случаи:Прямоугольник:Wx = bh2 / 6Круг:Wx = πd3 / 32Кольцо:Wx = πD ср2 δ / 4 ,где δ – толщина кольцаПрямоугольник с прямоугольным отверстием: Wx = (BH3 – dh3) / H/2Расчѐт на прочность при изгибе:σmax ≤ [σ] ≤ στ / nτ ,где σmax = Mx max / WxКосой изгиб - такой случай изгиба, при котором плоскость изгибающего моментане совпадает ни с одной из главных осей поперечного сечения (рис.

5.27, а). Косой изгибудобно рассмотреть как одновременный изгиб бруса относительно главных осей x и yпоперечного сечения бруса. Для этого общий вектор изгибающего момента М,действующего в поперечном сечении бруса, раскладывается на составляющие моментаотносительно этих осей (рис. 5.27, б): Mx = Msin; My = Mcos(5.25)Введем правило знаков длямоментов Mx и My  момент считаетсяположительным, если в первойчетверти координатной плоскости(там, где координаты x и y обеположительны)онвызываетсжимающие напряжения.По принципу независимостидействия сил нормальное напряжениевпроизвольнойточке,принадлежащейпоперечномусечению бруса и имеющей координаты x, y, опр-ся суммой напр-й, обусловленныхMx y My x(x,y)моментами Mx и My , т.е.(5.26)IIxyyxПодставим выражения Mx и My из (5.25) в (5.26): ( x , y)  M  I sin   I cos xyПоследнее выражение представляет собой уравнение плоскости.

Следовательно,если в каждой точке сечения отложить по нормали вектор напряжения , то концывекторов образуют геометрическое место точек, принадлежащих одной плоскости, как ипри поперечном изгибе.Уравнение н е й тр а л ьн о й л и н и и , т.е. геометрического места точек, гденормальное напряжение принимает нулевые значения, найдем, полагая в (5.26)  = 0:Mx y My x0IxIyОткуда определяется:yMyIxMx Iyx  ctgIxxIy(5.27)Поскольку свободный член в (5.27) равен нулю нейтральная линия всегда проходитчерез начало координат. Как видно из выражения (5.26), эпюра напряжений впоперечных сечениях бруса линейна, следовательно, максимальные напряжения всечении возникают в точках наиболее удаленных от нейтральной линии.

В том случае,когда сечение имеет простую форму (прямоугольник, круг), положение наиболееопасных точек легко определяется визуально. Для сечений, имеющих сложную форму,необходимо применить графический подход.Покажем, что при косом изгибе нейтральная линия не перпендикулярна к плоскостидействия изгибающего момента, как это выполнялось при поперечном изгибе.Действительно угловой коэффициент K1 следа момента (рис. 5.27, б) равен:K1 = tg  .(5.28)Угловой коэффициент нейтральной линии, как следует из (5.27), определяетсявыражением: (5.29)tg  K 2 IxM yI yM xIxctgIyТ.к. в общем случае Ix  Iy, то условие перпендикулярности прямых, не соблюдается,поскольку K1  - 1/К2 .

Брус изгибается не в плоскости изгибающего момента, а внекоторой другой плоскости, где жесткость на изгиб будет минимальнойБилет 71) энергия деформации и работа внешних сил при растяжении (сжатии) линейноупругих стержней. Удельная потенциальная энергияПотенциальная энергия деформацииВнешние силы, приложенные к упругому телу и вызывающие изменение геометриитела, совершают работу А на соответствующих перемещениях. Одновременно с этим вупругом теле накапливается потенциальная энергия его деформирования U. При действии динамических внешних нагрузок часть работы внешних сил превращается вкинетическую энергию движения частиц тела К. Приняв энергетическое состояниесистемы до момента действия данных сил равным нулю, и в условиях отсутствиярассеивания энергии, уравнение баланса энергии можно записать в следующем виде:А = U + K.(2.8) При действии статических нагрузок К = 0, следовательно, А = U.(2.9)Это означает, что при статическом нагружении работа внешних силполностью преобразуется в потенциальную энергию деформации.

При разгрузке телапроизводится работа за счет потенциальной энергии деформации, накопленной телом.Таким образом, упругое тело является аккумулятором энергии. Это свойство упругоготела широко используется в технике, например, в заводных пружинах часовыхмеханизмов, в амортизирующих рессорах и др. В случае простого растяжения (сжатия)для вывода необходимых расчетных зависимостей потенциальной энергии деформациирассмотрим решение следующей задачи.На рис. 2.4, а изображен растягиваемый силой Р стержень, удлинение которогосоответствует отрезку l, ниже показан график изменения величины удлинения стержняl в зависимости от силы Р (рис. 2.4, б).

В соответствии с законом Гука этот графикносит линейный характер.Пустьнекоторомузначению силы Рсоответствуетудлинение стержняl.Дадимнекотороеприращение силеР  соответствующееприращениеудлинениясоставитd (l ).Тогдаэлементарная работанаэтомприращенииудлинениясоставит:dA = (P + d P)d ( l ) = Pd ( l ) + d P  d ( l ) , (2.10) вторым слагаемым, в силуего малости, можно пренебречь, и тогда dA = Pd ( l ).

(2.11)Полная работа равнасуммеэлементарныхработ,тогда,прилинейнойзависимости―нагрузка  перемещение‖, работа внешней силы Р на перемещении l будет равнаплощади треугольника ОСВ (рис. 2.4), т.е. А = 0,5 Рl . (2.12) В свою очередь, когданапряжения  и деформации  распределены по объему тела V равномерно (как врассматриваемом случае) потенциальную энергию деформирования стержня можноU Vзаписать в виде: d0. (2.13) Поскольку, в данном случае имеем, что V = F l,U Fl E  d   0,5 F l E 2 0,5 E  F  l  0,5  F l  0,5 P lP =  F и  = Е , то,(2.14)т.е.подтверждена справедливость (2.9). С учетом (2.5) для однородного стержня с0U P 2l2E Fпостоянным поперечным сечением и при Р = const из (2.14) получим:.(2.15)Если при рассмотрении заданной системы, находящейся в равновесном состоянииот действия заданных внешних нагрузок, все реакции в связях закрепления, а такжевнутренние усилия в ее элементах, можно определить только по методу сечений, безиспользования дополнительных условий, то такая система называется статическиопределимой.2) геометрические характеристики плоских сеченийБилет 81) Теорема КастилианоУстановим теперь метод определения перемещений, основанный на вычислениипотенциальной энергии деформации.

Поставим задачу нахождения перемещений точекупругой системы по направлению действия приложенных к этой системе внешних сил.Будем решать эту задачу в несколько приемов; сначала рассмотрим более простойслучай (Рис.1), когда на балку в сечениях 1, 2, 3,... действуют только сосредоточенныесилы, )... и т. д. Под действием этих сил балка прогнется по кривой и останетсяв равновесии.Прогибы сечений 1, 2, 3,..., в которых приложены силы , , ,..., обозначим , ,,...

и т. д. Найдем один из этих прогибов, например — прогиб сечения, в которомприложена сила .Переведем балку, не нарушая равновесия, из положения в смежное положение ,показанное на фиг. 328 пунктиром. Это можно сделать различными приемами: добавитьновую нагрузку, увеличить уже приложенные и т. д.Мы представим себе, что для перехода к смежному деформированному состоянию ксиле сделана бесконечно малая добавка(Рис.1); чтобы при этом переходе ненарушать равновесия, будем считать, что эта добавка прикладывается статически, т. е.возрастает от нуля до окончательного значения медленно и постепенно.Расчетная модель к теореме Кастильяно.При переходе от состояния балки к состоянию все нагрузки Р опустятся, значит, ихпотенциальная энергия уменьшится. Так как равновесие не нарушалось, то уменьшение,энергии нагрузокцеликом преобразовалось в увеличение потенциальной энергиидеформаций балки dU.

Величинаизмеряется работой внешних сил при переходебалки из положения в положение II:Изменение dU потенциальной энергии деформации, являющейся функцией сил,,,..., произошло за счет очень малого приращения одной из этих независимыхпеременных , поэтому дифференциал такой сложной функции равен:Что касается величины, то эта работа в свою очередь является разностью работынагрузок Р для положений и :Работапри одновременном и постепенном возрастании сил Р равна:При вычислении работыучтем, что ее величина всецело определяетсяокончательной формой деформированной балки и не зависит от порядка, в которомпроизводилась нагрузка.Предположим, что мы сначала нагрузили нашу балку грузом; балка очень немногопрогнется (Рис.2, положение III), и прогибы ее в точках 1, 2, 3 будут.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)