ответы на билеты (928633), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Замеряя изменение расстояний между продольными рисками,приходим к выводу о справедливости гипотезы о ненадавливании продольных волокон.Ортогональность продольных и поперечных рисок до и после деформирования (какотражение действия закона плоских сечений) указывает также на отсутствие сдвигов,касательных напряжений в поперечных и продольных сечениях стержня.Рис.1. Связь внутреннего усилия и напряженияРис.2.
Модель чистого изгибаТаким образом, чистый прямой изгиб призматического стержня сводится кодноосному растяжению или сжатию продольных волокон напряжениями (индекс г вдальнейшем опускаем). При этом часть волокон находится в зоне растяжения (на рис. 2это—нижние волокна), а другая часть—в зоне сжатия (верхние волокна). Эти зоныразделены нейтральным слоем (п—п), не меняющим своей длины, напряжения вкотором равны нулю. Учитывая сформулированные выше предпосылки и полагая, чтоматериал стержня линейно-упругий, т. е. закон Гука в этом случае имеет вид:,выведем формулы для кривизны нейтрального слоя( —радиус кривизны) инормальных напряжений . Предварительно отметим, что постоянство поперечногосечения призматического стержня и изгибающего момента (Mх=сonst), обеспечиваетпостоянство радиуса кривизны нейтрального слоя по длине стержня (рис. 3, а),нейтральный слой (п—п) описывается дугой окружности.Рассмотрим призматический стержень в условиях прямого чистого изгиба (рис.
3, а) споперечным сечением, симметричным относительно вертикальной оси Оу. Это условиене отразится на конечном результате (чтобы прямой изгиб был возможен, необходимосовпадение оси Оу с главной осью инерции поперечного сечения, которая и являетсяосью симметрии). Ось Ox поместим на нейтральном слое, положение которого заранеенеизвестно.а) расчетная схема, б) деформации и напряженияРис.3.
Фрагмент чистого изгиба брусаРассмотрим вырезанный из стержня элемент длиной dz, который в масштабе сискаженными в интересах наглядности пропорциями изображен на рис. 3, б. Посколькуинтерес представляют деформации элемента, определяемые относительным смещениемего точек, одно из торцевых сечений элемента можно считать неподвижным. Ввидумалостисчитаем, что точки поперечного сечения при повороте на этот уголперемещаются не по дугам, а по соответствующим касательным.Вычислим относительную деформацию продольного волокна АВ, отстоящего отнейтрального слоя на у:.Из подобия треугольников С001 и 01ВВ1 следует, что.Продольная деформация оказалась линейной функцией расстояния от нейтральногослоя, что является прямым следствием закона плоских сечений(1)Тогда нормальное напряжение, растягивающее волокно АВ, на основании закона Гукабудет равно(2)Эта формула не пригодна для практического использования, так как содержит двенеизвестные: кривизну нейтрального слояи положение нейтральной оси Ох, откоторой отсчитывается координата у.
Для определения этих неизвестных воспользуемсяуравнениями равновесия статики. Первое выражает требование равенства нулюпродольной силы(3)Подставляя в это уравнение выражение (2)и учитывая, что, получаем, чтоИнтеграл в левой части этого уравнения представляет собой статический моментпоперечного сечения стержня относительно нейтральной оси Ох, который может бытьравным нулю только относительно центральной оси. Поэтому нейтральная ось Охпроходит через центр тяжести поперечного сечения.Вторым уравнением равновесия статики является, связывающее нормальныенапряжения с изгибающим моментом (который легко может быть выражен черезвнешние силы и поэтому считается заданной величиной).
Подставляя в уравнениесвязки выражение для. напряжений, получим:и учитывая, чтогде Jx—главный центральный моментотносительно оси Ох, для кривизны нейтрального слоя получаем формулуинерции(4)Кривизна нейтрального слояявляется мерой деформации стержня при прямомчистом изгибе.тем меньше, чем больше величина EJх, называемая жесткостьюпоперечного сечения при изгибе (по аналогии с жесткостью поперечного сечения прирастяжении EF).Подставляя (4) в (2), получаем формулу для нормальных напряжений в виде(5)Рис.4.
Распределение нормальных напряженийкоторая была впервые получена Ш. Кулоном в 1773 году. Для согласования знаковизгибающего момента Мх и нормальных напряжений в правой части формулы (5)ставится знак минус, так как при Mх>0 нормальные напряжения при y>0 оказываютсясжимающими. Однако в практических расчетах удобнее, не придерживаясьформального правила знаков, определять напряжения по модулю, а знак ставить посмыслу. Нормальные напряжения при чистом изгибе призматического стержняявляются линейной функцией координаты у и достигают наибольших значений вволокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси (рис.
4), т. е.Здесь введена геометрическая характеристика, имеющая размерность м3 иполучившая название момента сопротивления при изгибе. Поскольку при заданном Mхнапряжения max ? тем меньше, чем больше Wx, момент сопротивления являетсягеометрической характеристикой прочности поперечного сечения изгибе. Приведемпримеры вычисления моментов сопротивления для простейших форм поперечныхсечений. Для прямоугольного поперечного сечения (рис. 5, а) имеем Jх=bh3/12,ymax = h/2и Wx = Jx/ymax = bh2/6. Аналогично для круга (рис.
5,a Jx= d4/64, ymax=d/2) получаемWx= d3/32, для кругового кольцевого сечения (рис. 5, в), у которогополучаемИтак, максимальные нормальные напряжения в сечении с изгибающим моментом Mхопределяются по формуле(6)Рис.5. Конфигурации поперечных сечений брусаЭтой формулой удобно пользоваться для расчета балок пластичного материала вупругой области, одинаково работающего на растяжение и сжатие. Поскольку знакнапряжения в этом случае не имеет значения, напряжения вычисляются по модулю, иусловие прочности при изгибе балки в форме призматического стержня получает видгде max Mх—максимальное значение изгибающего момента (легко определяемое по егоэпюре),— допускаемое напряжение на простое растяжение (сжатие).
Напомним, чточистый изгиб балки сводится к растяжению и сжатию ее волокон (неравномерному вотличие от деформации растяжения (сжатия) призматического стержня, при котором).Рис.6. Модель изгиба хрупкого материалаПри расчете балок из хрупких материалов следует различать наибольшиерастягивающие maxи наибольшие сжимающиенапряжения (рис. 6.),которые также определяются по модулю непосредственно и сравниваются сдопускаемыми напряжениями на растяжениеэтом случае будет иметь вид:и сжатие.
Условие прочности в.2) Принцип сохранения начальных размеров, принцип независимости действиясил в сопротивлении материалов. Принцип Сен-ВенанаПод растяжением (сжатием) понимают такой вид нагружения, при котором впоперечных сечениях стержня возникают только нормальные силы, а прочие силовыефакторы равны нулю.Если предположить также, что и внутренние волокна работают таким же образом,то можно сделать вывод о том, что поперечные сечения в центрально растянутомстержне смещаются параллельно начальным положениям, что соответствует гипотезеплоских сечений, введенной швейцарским ученым Д. Бернулли, гласящей, чтоп л о с к и е с е ч е н и я до де ф о р м а ц и и о с та ю тс я п л о с к и м и и п о с л едеформации.Значит, все продольные волокна стержня находятся в одинаковых условиях, аследовательно, нормальные напряжения во всех точках поперечного сечения должныNzбыть также одинаковы и равны F , где F площадь поперечного сечения стержня.Принцип Сен-Венана, справедливый для любого типа напряженного состояния иформулируемый следующим образом: особенности приложения внешних нагрузокпроявляются, как правило, на расстояниях, не превышающих характерных размеровпоперечного сечения стержня.Билет 61) основные гипотезы и определение напряжений при прямом чистом изгибеПри прямом чистом изгибе в поперечном сечении стержня возникает только одинсиловой фактор — изгибающий момент Мх (рис.
1). Так как Qy=dMx/dz=0, то Mx=const ичистый прямой изгиб может быть реализован при загружении стержня парами сил,приложенными в торцевых сечениях стержня. Поскольку изгибающий момент Mх поопределению равен сумме моментов внутренних сил относительно оси Ох снормальными напряжениями его связывает выкающее из этого определения уравнениестатики.Сформулируем предпосылки теории чистого прямого изгиба призматическогостержня.
Для этого проанализируем деформации модели стержня из низкомодульногоматериала, на боковой поверхности которого нанесена сетка продольных и поперечныхрисок (рис. 2). Поскольку поперечные риски при изгибе стержня парами сил,приложенными в торцевых сечениях, остаются прямыми и перпендикулярными кискривленным продольным рискам, это позволяет сделать вывод о выполнениигипотезы плоских сечений, которая, как показывает решение этой задачи методамитеории упругости, перестает быть гипотезой, становясь точным фактом — закономплоских сечений. Замеряя изменение расстояний между продольными рисками,приходим к выводу о справедливости гипотезы о ненадавливании продольных волокон.Ортогональность продольных и поперечных рисок до и после деформирования (какотражение действия закона плоских сечений) указывает также на отсутствие сдвигов,касательных напряжений в поперечных и продольных сечениях стержня.Рис.1.
Связь внутреннего усилия и напряженияРис.2. Модель чистого изгибаТаким образом, чистый прямой изгиб призматического стержня сводится кодноосному растяжению или сжатию продольных волокон напряжениями (индекс г вдальнейшем опускаем). При этом часть волокон находится в зоне растяжения (на рис. 2это—нижние волокна), а другая часть—в зоне сжатия (верхние волокна). Эти зоныразделены нейтральным слоем (п—п), не меняющим своей длины, напряжения вкотором равны нулю. Учитывая сформулированные выше предпосылки и полагая, чтоматериал стержня линейно-упругий, т.
е. закон Гука в этом случае имеет вид:,выведем формулы для кривизны нейтрального слоя( —радиус кривизны) инормальных напряжений . Предварительно отметим, что постоянство поперечногосечения призматического стержня и изгибающего момента (Mх=сonst), обеспечиваетпостоянство радиуса кривизны нейтрального слоя по длине стержня (рис. 3, а),нейтральный слой (п—п) описывается дугой окружности.Билет 6При прямом чистом изгибе в поперечном сечении стержня возникает только одинсиловой фактор — изгибающий момент Мх (рис.
1). Так как Qy=dMx/dz=0, то Mx=const ичистый прямой изгиб может быть реализован при загружении стержня парами сил,приложенными в торцевых сечениях стержня. Поскольку изгибающий момент Mх поопределению равен сумме моментов внутренних сил относительно оси Ох снормальными напряжениями его связывает выкающее из этого определения уравнениестатики.Сформулируем предпосылки теории чистого прямого изгиба призматическогостержня.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
