1986 год – Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (926526), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Найти закон изменения скорости с течением времени. о= 2(то+ а() 45.22(45.22). Эффективные скорости истечения первой н второй ступени у двухступенчатой ракеты соответственно равны в1н= =2400 м/с и воз>=2600 м/с. Определить, считая, что движение происходит вне поля тяготения и атмосферы, числа Циолковского для обеспечения конечной скорости в1 = 2400 м/с первой ступени и конечной скорости оз = 5400 м/с второй ступени. Ответ: г, =2,72; ге =3,17. 45.23(45.23).
Считая, что у трехступенчатой ракеты числа Циолковского и эффективные скорости о, истечения у всех трех ступеней одинаковы, найти число Циолковского при оо = 2,4 км/с, если после сгорания всего топлива скорость ракеты равна 9 км/с (влиянием поля тяготения и сопротивлением атмосферы пренебречь).
Ответ: г = 3,49. 45.24(45.24). Трехступенчатая ракета движется поступательно при отсутствии тяготения и сопротивления атмосферы. Эффективные.скорости истечения и числа Циолковского для всех ступеней одинаковы и соответственно равны о, =2500 м/с, г =4. Определить скорости ракеты после сгорания горючего в первой ступени, во второй и в третьей. Ответ: ио — — 3465 м/с, оз — — 6930 м/с, из —— 10395 м/с. 333 45.25(45.25). В момент, когда приближающийся к Луне косми. ческий корабль находится на расстоянии Н от ее поверхности и имеет скорость во, направленную к центру Луны, включается тормозной двигатель.
Учитывая, что сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния от корабля до центра Луны и принимая, что масса корабля изменяется по закону гл = глое "' (то — масса ракеты в момент включения тормозного двигателя, а — постоянное число), найти а, при котором корабль совершит мягкую посадку (т. е. будет иметь скорость прилунения, равную нулю). Эффективная скорость истечения газов и, постоянна, Радиус Луны ег, ускорение силы тяжести на Луне ял. оо Ела Ответ: а= — + < + 45.28(45.26).
Найти закон изменения массы ракеты, начавшей движение вертикально вверх с нулевой начальной скоростью, если ее ускорение св постоянно, а сопротивление среды пропорционально квадрату скорости (Ь вЂ” коэффициент пропорциональностч). Поле силы тяжести считать однородным. Эффективная скорость истечения газа п, постоянна. Ответ: =(,, '',) "' ' + 2Ьосоо~ ') — с за~ 2о ЬаР 2е~оооо о (,„+я)в а+я + (,„+к)о ~,о+,р . 45.27(45.27). Ракета перемещается в однородном поле силы тяжести по прямой с постоянным ускорением гв. Эта прямая образует угол а с горизонтальной плоскостью, проведенной к поверхности Земли в точке запуска ракеты.
Предполагая, что эффективная ско- У рость истечения газов и, постоянна по величине и направлению, определить, каково должно быть отношение начальной массы ракеты к массе ра- 'ее кеты без топлива (число Циолковского), если к моменту сгорания топлива ракета оказалась на расстоянии У Ф Н от указанной выше касательной плоскости. шва /Тав Ответ: г=е' ' У ''"', где 8 — угол, образуемый скоростью оо ма а+я в, с касательной плоскостью, равный 8 = агс(8 оо сова 45.28(45.28).
Тело переменной массы движется вверх с постоянным ускорением гв по шероховатым прямолинейным направляющим, составляющим угол а с горизонтом. Считая, что поле силы тяжести является однородным, а сопротивление атмосферы движению тела пропорционально первой степени скорости (Ь вЂ” коэффициент сопротивления), найти закон изменения массы тела. Эффективная скорость истеченяя газа в, постоянна; коэффициент трения скольжения между телом и направляющими равен 7. еа Ьн(о~ Х Ьоз т оз Х Ответ: из=(то — — )е — — ~1 — — ), где я(( — — и(+ 3 (е( и(( (и( + д(з(па+( сон а), в(о — начальная масса тела. 45.29(45.29).
Аэростат весом О поднимается вертикально и увлекает за собой сложенный на земле канат. На аэростат действует подъемная сила Р, сила тяжести и сила сопротивления, пропорциональная квадрату скорости: Я = — 5хз. Вес единицы длины каната у. Составить уравнение движения аэростата. Ответ: х= — й+ — '~ " хз. Я+ух Я+ух 45.30(45.30). При условиях предыдущей задачи определить скорость подъема аэростата. В' начальный момент аэростат неподвижен и находится на высоте Оо. (з 4. уо 3+20 — 1 Зря+ау Е ( ()+ух ) Л((к+у") 45.31(45.31). Шарообразная водяная капля падает вертикально в атмосфере, насыщенной водяными парами, Вследствие конденсации масса капли возрастает пропорционально площади ее поверхности (коэффициент пропорциональности а). Начальный 'радиус капли то, ее начальная скорость оо, начальная высота йо.
Определить скорость капли и закон изменения ее высоты со временем (сопротивлением движению пренебречь). Указание Показать, что ((с = ох(з, и перейти к новой независимой пере. пенной к Ответ: х=йо+ — ~~1 — ( — ~) ~ — к ~ з 2 з+ о 1 о=во з — (т — —,~, гДе т=то+аг. о з 45.32(45.32). Решить предыдущую задачу в предположении, что на каплю кроме силы тяжести действует еще и сила сопротивления, пропорциональная площади максимального поперечного сечения и скорости капли Я = — 45птзв (5 — постоянный коэффициент). 1 — ((а+ 30) 1 Зто а - — (0+а> з Ответ: х=йо — + + +о тоа х~. -' — (За+За( — ( (За+За(1 д(т — тз~) то 1 2а (за+ ЗР> ° — (за+аз> 1 а з ~ з Зт йто — (а+ 0> — (а+В 4а+ЗР + ь 4а+ЗР + Ото л где т = то + а(, 45.33(45.33).
Свернутая в клубок тяжелая однородная цепь лежит на краю горизонтального стола, причем вначале одно звено цепи неподвижно свешивается со стола. Направляя ось х вертикально вниз и принимая, что в начальный момент х=О, х=О, определить движение цепи. Ответ: х = й(г/б. 45.34(45.34). Цепь сложена на земле и одним концом прикреплена к вагонетке, стоящей на наклонном участке пути, образующем угол а с горизонтом. Коэффициент трения цепи о землю Г. Вес единицы длины цепи т, вес вагонетки Р. Скорость вагонетки в начальный момент оо.
Определить скорость вагонетки в любой момент времени и выяснить необходимое условие, при котором вагонетка может остановиться. х' Ргвг Р Рг о Ответ: о — з(р+, ),' + 3, гйпа ~1 (р+ )г 1+ + — ях з(п а+ — ~1— 1 )ре Г Р' 1 ! 3 Зт Г (Р+тх) 3 ~ соз а — — ~ух соз а. 3 Остановка может иметь место при выполнении неравенства ) ) ) 13 а. 45.35(45.35). Материальная точка массы лг притягивается по закону всемирного тяготения Ньютона, к неподвижному центру. Ме Масса центра со временем меняется по закону М= — '. Опре* 1+о( ' делить движение точки.
У к а а а н н е. Перейти к новым коордннатам с помощью соотношений х у 1 $ —, Ч вЂ” н к приведенному времени т 1+о(' 1+о( о(1+ о() ' Ответ: Уравнения движения в координатах $, г) имеют вид (1 постоянная тяготения) — а+ге — 'г- =О, — + ~ — '=О, р= ДГ+г)г, т. е. отвечают обычным уравнениям в случае постоянных масс. Поэтому в зависимости от начальных условий в переменных й н г) имеют место эллиптические, параболические 'или гиперболические орбиты. 45.36(45.36). Для быстрого сообщения ротору гироскопа необходимого числа оборотов применяется реактивный запуск. В тело ротора вделываются пороховые шашки общей массой его, продукты сгорания которых выбрасываются через специальные сопла, Принять пороховые шашки за точки, расположенные на расстоянии г от оси вращения ротора.
Касательная составляющая эффективной скорости истечения продуктов сгорания ое постоянна. Считая, что общий расход массы пороха в одну секунду равен д, определить угловую скорость ш ротора к моменту сгорания пороха, если на ротор действует постоянный момент сопротивления, равный М. Радиус ротора Я. В' начальный момент ротор находится в покое. 329 /гглу Ответ: ш=, !и —, где 1о = Уа+ глзгз. 7,— момент оное М Хо г~ч л инерции ротора относительно оси вращения. 45.37(45.37). По данным предыдущей задачи найти угловую скорость ротора после сгорания пороха, если на ротор действует момент сопротивления, пропорциональный его угловой скорости (5 в коэффициент пропорциональности).
ь с.,: =~[1 — (+)" ~. 45.38(45.38). Многоступенчатая ракета состоит из полезного груза и ступеней. Каждая ступень после израсходования топлива ллюююй отделяется от остальной конструкции. груг 4 ~~ Под субракетой понимается сочетание работающей ступени, всех неработаю- ь ы ших ступеней и полезного груза, при- ч' н $ л-,4глрггелз ', и ы чем для данной субракеты все неработающие ступени и полезный груз являются «полезным грузом»„т. е. каждая ракета рассматривается как однозгл(г' ае ступенчатая ракета. На рисунке указана нумерация ступеней и субракеты. Пусть 4 в вес полезного груза, Р! — вес топлива в гчй ступени, Я!— сухой (без топлива) вес !'-ступени, С! — полный вес г-й субракеты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
