1986 год – Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (926526), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Определить движение стержня. В начальный момент материальная точка находится в центре масс стержня. Ответ: 6 — 09 — — Сагс1ц ы ~/ — — ( - — )' где О, и лз — аз + — ~йз — 2 — ~ 34 г дзъ ад~ Зд С вЂ” произвольные постоянные. 48.19(48.21). Концы однородного тяжелого стержня АВ длины 2а и массы М скользят без трения по горизонтальному и вертикальному стержням рамки, вращающейся с постоянной угловой скоростью э вокруг вертикальной стороны. Составить уравнение движения стержня и определить положение относительного равновесия.
Ответ: — Ма'0 — — Мзда' з(п 6 ° сов 0 — Мяа 31п 6=0, где 0— 4 9" 4 З 3 угол, образуемый стержнем с вертикалью. В положении равновесия 0 = 0 (неустойчивое равновесие). К задаче адлз К задаче 49.99 К задаче алз 48.20(48.22). К окружности диска радиуса 1г шарнирно присоединен рычаг, несущий на своих концах сосредоточенные массы и, и шз. Расстояния масс от шарнира соответственно равны 1, н 1,. Диск вращается около вертикальной оси, перпендикулярной его плоскости, с угловой скоростью 99.
Составить уравнение движения рычага и определить его относительное положение равновесия. Массой рычага пренебречь. Ось вращения рычага параллельна осн вращения диска. Решить также задачу в предположении, что диск вращается в вертикальной плоскости (учесть действие силы тяжести). Ответ: Для вращения вокруг вертикальной оси (п9з11 + л9919) зр — Ф0' (п$А — зл919) соз (ф — е1) =- О. ПРи зпз(з =пзз19 Рычаг в безРазличном относительном Равновесии.
Прп т11з Ф зп919 существуют два положения относительного 359 равновесия, при которых з) =со( ~ я/2, т. е. рычаг направлен по радиусу. Для врашения вокруг горизонтальной оси (вс!1! + в2212) зр — Фо' (л221! — н2212) соз (зр — озг) + (л221! — в!212) у з2п зр = О. При глз)! чь в!212 относительное равновесие невозможно.
48.21(48.24). Тонкий диск массы й4 может своей плоскостью скользить без трения по горизонтальной плоскости. По диску, верхняя поверхность которого шероховата, движется материальная точка массы т. Уравнения относительного движения точки в декартовых координатах х и у, связанных с диском и нмеюших начало в его центре масс, заданы в виде х=х(1), у =у(1). Момент инерции диска относительно его центра масс равен 1. Определить закон изменения угловой скорости диска. В начальном положении диск неподвижен. Ответ: (У+ (х'+уз)1ф+ + !ху — ух)= азМ = М 1,„ (хоуо Уело)е где хо, уо, хо, ус в значения координат и проекций скорости точки в начальный момент времени.
48.22(48.25). По диску, описанному в предыдушей задаче, вдоль окружности радиуса Я движется материальная точка с относительной скоростью о = а!. Найти закон движения диска. тМ !са Отв~т: ф — — +М) ! — Л !2. У+ оз+ М оза а+в 2 та' . а+р а+М Зо з м+М соз — 2, 2) = — збп — 1, где ф — угол поворота диска, а $ и 2) — координаты центра масс диска в неподвижной декартовой системе, имеюшей а начало в центре инерции системы. 48.23(48.26). Материальная точка М движется под действием силы тяжести по прямолинейному стержню АВ, врашаю2цемуся с постоянной угловой скоростью М со вокруг неподвижной вертикальной оси. Стержень 2 АВ образует угол а с горизонталью.
Найти закон дви- Ф жения точки. Ответ: Расстояние движушейся точки от точки пе- ресечения прямой с вертикальной осью в г — С еа! соз а + С е — еа соз о + я з!па К заааче ЗоаЗ озз сааза ' где С! и С2 — постоянные интегрирования. 48.24(48.27). Материальная точка массы т движется по круговой рамке радиуса а, которая врашается с постоянной угловой скоростью со вокруг вертикального диаметра АВ. Составить уравнение движения точки и определить момент М, необходимый для поддержания постоянства угловой скорости.
збо Ответ: б+ зч — — оУсозб) з(п 6=0, М=2тад8)пбсозб ей. ~я 48.25(48.41). Тело массы т может вращаться вокруг горизонтальной оси 0~08, которая в свою очередь вращается с постоянной угловой скоростью ы вокруг вертикальной осн ОС. Центр масс тела 0 лежит на расстоянии 1 от точки О, на прямой, перпендикулярной 0~04. Предполагая, что оси 0108 и 080 являются главными осями инерции тела в точке 08, составить уравнение движения.
Моменты инерции тела относительно главных осей равны А, В, С. Ответ: АЬ+ыд(С вЂ” В) вйпдсоаб= — в8л(з(пб, где б — угол поворота вокруг 0,08. К задаче 48Ж К задаче 48ве К задаче 4848 48.26(47.20). Однородная нить, к концу которой привязан груз А массы в8, огибает неподвижный блок В, охватывает подвижный блок С, поднимается вверх на неподвижный блок 0 и проходит параллельно горизонтальной плоскости, где к ее концу прнвя. зан груз Е массы т.
К оси блока С прикреплен груз К массы в84. Коэффициент трения скольжения гру- в за Е о горизонтальную плоскость равен 1. При каком условии груз К будет опускаться вниз, если начальные В скорости всех грузов равнялись нулю? Найти ускорение груза К. Массами В блоков и нити пренебречь. Ответ: из > т (1 + 4) тз — т(!+В л Нз = и 2 К задаче 48ВГ т,+2т 48.27(47.21).
Два груза О и Е массы т каждый привязаны к концам нерастяжимой нити. Эта нить от груза Е идет через неподвижный блок А, затем охватывает подвижный блок В, возвращается вверх на неподвижный блок С, соосный с блоком А, проходит параллельно гладкой наклонной плоскости, где к концу нити привязан груз О. Наклонная плоскость образует угол т с горизонтом. К подвижному блоку В прикреплен груз К массы ть Коэффициент трения скольжения груза Е о горизонтальную плоскость равен 1.
Массами блоков и нити пренебречь. Выяснить условие, при котором груз К будет опускаться. Найти ускорение этого груза. В начальный момент скорости всех грузов равнялись нулю. пз, — пз (1+ в!и а) Ответ: и!>и()+з!па), а!=а 48.28(47.22). Призма А массы пв скользит по гладкой боковой грани призмы В массы ть образующей угол а с горизонтом. Опре- К задаче 48лв К задаче 48.99 делить ускорение призмы В. Трением между призмой В и горизонтальной плоскостью пренебречь.
пз в!и 2а Ответ: в=п 48.29(47.23). На гладкой горизонтальной плоскости помещена треугольная призма АВС массы пв, которая может скользить без трения по этой плоскости; по грани призмы АВ катится без скольжения однородный круглый цилиндр массы пв!. Определить ускорение призмы. Ответ: Ускорение направлено влево и равно пз, в!п 2а о 3 !па + пзз] — 2зп, сова а ' 48.30(47.24). Через блоки А и В с неподвижными осями переброшен шнур, поддерживающий подвижный блок С; части шнура, не лежащие на концах, вертикальны. Блок С нагружен гирей массы пв =4 кг, к концам шнура прикреплены грузы массы пв! = 2 кг и пвв = 3 кг. Определить ускорения всех трех к задаче 48до грузов, пренебрегая массами блоков и шнура и трением на осях.
1 1 3 Ответ: а4 = — л (вверх). 4в! —— — д (вверх), ив = — ц(вниз). 11 11 11 48.31(47.25). Грузы М! и М, одинаковой массы т движутся по двум наклонным направляющим ОА и ОВ, расположенным в вертикальной плоскости под углами а и 8 к горизонту; нить, соединяющая эти грузы, идет от груза М! через блок О, вращающийся около горизонтальной оси, охватывает подвижный шкив Яз несуший груз М массы лзь и затем через блок 04, надетый на ту же ось, что и блок О, идет к грузу Мз.
Блоки О, и О соосные. Определить ускорение н4 груза М, пренебрегая трением, а также массами блока, шкива и нити. Ответ: и=Я т, — т(ып а+ з!п И т,+2т 48.32(47.26). Решить предыдушую задачу, заменив грузы М, и М, катками массы т и радиуса г каждый. Катки считать сплошными однородными круглыми дисками. Коэффициент трения качения катков о наклонные плоскости равен („. Нити закреплены на осях катков. т4 — т [84п а + з!и р + — (соз а+ соз р) ~ 48 Г Ответ: гв — 8' т4+ 2т 48.33(47.27). Дана система из двух блоков, неподвижного А и подвижного В, и трех грузов Мь Мр и Мз, подвешенных с помощью нерастяжимых нитей, как указано на рисунке. Массы грузов соответственно равны лза, тр и лзз, при этом п44 ( лзз+ пзз К зазаче 48.88 К задаче 48Л! и лез ~ ~пзз.
Массами блоков пренебречь. Найти, при каком соотношении масс шь тз и тз гРУз М4 бУдет опУскатьсЯ в том слУчае, когда начальные скорости грузов равны нулю. 4тета Ответ: Должно быть т, > + 48.34(48.43). Найти ускорение тележки, по платформе которой катится без скольжения круглый цилиндр, если сама тележка скатывается тоже без скольжения по плоскости, наклоненной к горизонту под углом а и параллельной платформе тележки; образующие цилиндра перпендикулярны линиям наибольшего ската платформы. Масса тележки без колес М, масса всех колес т, масса цилиндра Мь колеса считать олнороднымн сплошными дисками.
6М+ 6т+ 2М4 ОГВЕЗС и= 68(+в +2м й айна. 48 35(48.37). Составить уравнения движения эллиптического маятника, состоящего из ползуна М2 массы ть скользящего без трения по горизонтальной плоскости, и шарика Мз массы ть соединенного с ползуном стержнем АВ длины й Стержень может вращаться вокруг оси А, связанной с а л ползуном и перпендикулярной плоскости рисунка. Массой стержня пренебречь. ~13 Определить период малых колебаний эл- липтического маятника. 1 Ответ: — „((т1 + тз) у+ те/ф соз ф] = О, В ттз Ьр + соз ару + д з1п ф = О, 4 4 т, ! К задаче 43.33 Т =2п .ч/' 'Ч т+т, я 48.38(47.28).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
