1986 год – Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (926526), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Определить положение центра удара прямоугольной мишени для стрельбы. Высота мишени равна й. Ответ: е =2Ь/3. 44.23(44.20). Определить положение центра удара К треугольной мишени для стрельбы. Высота мишени равна й. Ответ: з = Ь/2. 44.24(44.21). Два шкива вращаются в одной плоскости вокруг своих осей с угловыми скоростями 0210 и 0220. Определить угловые скорости шкивов 021 и 402 после того, как на иих будет накинут ремень, считая шкивы круглыми дисками одинаковой плотности с радиусами 221 и 442 и пренебрегая скольжением и массой ремня. ~~110210+ ~~2а20 ~~10210+ А20220 з з з Ответ: 02! — — . 022 = 44.26(44.22). Баллистический маятник, употребляющийся для определения скорости снаряда,состоит из цилиндра АВ,подвешенного к горизонтальной оси О; цилиндр открыт с одного конца А и наполнен песком; снаряд, влетающий в цилиндр, производит вра- щение маятника вокруг оси О на некоторый угол. Дано: М— масса маятника; ОС= Ь вЂ” расстояние от его центра масс С до оси О; р — радиус инерции относительно оси О; в4 — масса снаряда; ОВ = а — расстояние от линии действия ударного импульса до оси; 44 — угол отклонения маятника.
Определить скорость снаряда, предполагая, что ось маятника О не испытывает удара, причем ай = р2. Ответ: о = 2(МЬ+ аза) I е . а 4 т — 3!и —. тча2' 44.26(44.23). Однородный стержень массы М и длины й прикрепленный своим верхним концом к цилиндрическому шарниру О, падает без начальной скорости из горизонтального положения. К заааче 44.22 К заааче 4422 К задаче 44зя В вертикальном положении он ударяет груз массы «4, сообщая ему движение по горизонтальной шероховатой плоскости.
Коэффициент трения скольжения ). Определить путь, пройденный грузом, считая удар неупругим. 3( И* Ответ: з= 27 (и+3 )а . 44.27(44.24). Однородная прямая призма с квадратным основанием стоит на горизонтальной плоскости и может вращаться вокруг ребра АВ, лежащего в этой плоскости. Ребро основания призмы равно а, высота ее За, масса Зв4.
В середину С боковой грани, .противолежащей ребру АВ, ударяет шар массы т с горизонтальной скоростью и. Предполагая, что удар неупругий и что масса шара сосредоточена в его центре, который после удара остается в точке С, определить наименьшую величину скорости в, при которой призма опрокинется. Ответ: о = '/2 )/53да.
44.28(44.25). Платформа с помещенным на ней призматическим грузом АВ катится по горизонтальным рельсам со скоростью в. На платформе имеется выступ, в который упирается ребро В гру- 332 за, препятствуя последнему скользить по платформе вперед, но не препятствуя вращению его около ребра В. Дано: л — высота центра масс груза над платформой, р — радиус инерции груза относительно ребра В. Определить угло- А вую скорость го вращения груза около ребра В в момент мгновенной остановки платформы.
Ответ: м = йо/ра. 44.29(44.26). Полагая прн уело- О О виях предыдущей задачи, что груз представляет собой однородный К аалаче ЧЧ.28 прямоугольный параллелепипед, длина ребра которого вдоль платформы равна 4 м, а высота 3 м, найти, при какой скорости произойдет опрокидывание груза. Ответ: о =30,7 км/ч. Щ 45. Динамика точки и системы переменной массы (переменнвго состава) 45.1(45.1).
Составить уравнение движения маятника переменной массы в среде, сопротивление которой пропорционально скорости. Масса маятника изменяется по заданному закону т = т(!) путем отделения частиц с относительной скоростью, равной нулю. Длина нити маятника 1. На маятник действует также сила сопротивления, пропорциональная его угловой скорости: В = †()ф. Ответ: ф+ ф + — з1п ф = О. а лг(!) ! ! 45.2(45.2). Составить дифференциальное уравнение восходящего движения ракеты. Эффективную скорость оа истечения газов*) считать постоянной. Масса ракеты изменяется по закону т = лго!(!). (закон сгорания).
Сила сопротивления воздуха является заданной функцией скорости и положения ракеты: Я(х, х). ((!) (?(л, л) Ответ: х= — д— ! (!) ' т,1 (!) ое 45.3(45.3). Проинтегрировать уравнение движения предыдущей задачи при вг = иго(1 — а!) и )? =О. Начальная скорость ракеты у поверхности Земли равна нулю. На какой высоте будет находиться ракета в моменты ! =10; 30; 50 с при ва =2000 м/с и а = 1/100 с-!? ое (а Ответ: х (!) = — „' ((1 — а!)! п (1 — а!) + а!) — з~, х(10)=0,54 км, х(30) =5,65 км, х(50)= 18,4 км. 45.4(45.4).
Ракета начальной массы гле поднимается вертикально вверх в однородном поле силы тяжести с постоянным ускорением пл (л — ускорение земного тяготения). Пренебрегая сопро- Ф Лгн ) Тяга реактивного двигателя определяется формулоаРа — — е где л! оь — эффективная скорость истечения. 333 тнвленнем атмосферы н считая эффективную скорость пл нстечення газов постоянной, определить: !) закон изменения массы ракеты, 2) закон изменения массы ракеты прн отсутствии поля тяготення.
Ответ: 1) т = те ехР ( — — 91); 2) т = те ехР ~ — — !) . и+! г лв ее ее 45.5(45.5). Масса ракеты, описанной в задаче 45.2, изменяется до 1 = !е по закону т = эгле-"'. Пренебрегая силой сопротивления, найти движение ракеты н, считая, что к моменту времени ге весь заряд практически сгорел, определить макснмальную высоту подьема ракеты. В' начальный момент ракета имела скорость, равную нулю, н находилась на земле. Ответ: Н = †' (ап — д)гт, где э, — эффективная скорость нсйк е е' течения газов нз ракеты. 45.6(45.6).
Прн условиях предыдущей задачи определить значенне сс, отвечающее максимальной возможной высоте подъема ракеты Н,„, н вычислить Н .„(велнчнну !а = ага =1п(тле/т!) необходимо считать постоянной; гп! — масса ракеты в момент 1е). Ответ: а = ее (мгновенное сгорание), Н,„= !з'э,/(28). 45.7(45.7). Прн условиях задач 45.5 н 45.6, задавшись коэффнцнентом перегрузки й = аэ,/и, определить высоту подъема Н ракеты в зависимости от Н,„. Ответ: Н =Н „(И вЂ” 1)/й. 45.8(45.8). Ракета стартует с Луны вертикально к ее поверхностн, Эффективная скорость истечения о,=2000 м/с. Число Цнолковского г = 5 *). Определить, какое должно быть время сгорания топлива, чтобы ракета достигла скорости э = 3000 м/с (прннять, что ускорение силы тяжести вблизи Луны постоянно н равно 1,62 м/с').
Ответ: ж2 мнн 4 с. 45.9(45.9). Ракэта движется в однородном поле силы тяжести вверх с постоянным ускорением гн. Пренебрегая сопротивлением атмосферы н считая эффективную скорость эа истечения газов постоянной, определить время Т, за которое масса ракеты уменьшнтся в два раза. Ответ: Т = ол 1п 2/(в + и). 45.10(45.10).
Эффективная скорость истечения газов нз ракеты о, = 2,4 км/с. Какой процент должен составлять вес топлива от стартового веса ракеты, чтобы ракета, двнжущаяся вне поля тяготення н вне атмосферы, приобрела скорость 9 км/сг Ответ: Примерно 98%. 45.11(45.11). Ракета движется поступательно прн отсутствии тяготения н сопротнвлення среды. Эффективная скорость нстечення газов эа =2400 м/с. Определить число Цнолковского, если в ') Числом Циолковского называется отношение стартовой массы ракеты к массе ракюы без тевлина. момент полного сгорания топлива скорость ракеты будет равна 4300 м/с. Ответ: г ж 6. 45.12(45.12). Тело переменной массы, имея начальную скорость, равную нулю, движется с постоянным ускорением гв по горизон- тальным направляющим. Эффективная скорость истечения газов в, постоянна. Определить, пренебрегая сопротивлением, путь, прой- денный телом до того момента, когда его масса уменьшится в й раз.
Ответ: з = в,о(!и й)о/(2в), 45.13(45.13). Решить предыдущую задачу, предположив, что на тело действует сила трения скольжения. мое Ответ: е = ! +, (!и й)о, где ! — коэффициент трения 2 (т + !Е)о скольжения. 45.14(45.14). Тело переменной массы движется по специальным направляющим, проложенным вдоль экватора. Касательное уско- рение ге, = а постоянно. Не учитывая сопротивление движению, определить, во сколько раз уменьшится масса тела, когда оно сделает один оборот вокруг Земли, если эффективная скорость ис- течения газов о, = сопя!. Каково должно быть ускорение а, чтобы после одного оборота тело приобрело первую космическую ско- рость? Радиус Земли )?. Ответ: В ехр(21/пса/о,) раз; а=у/(4я).
45.15(45.15). Определить в предыдущей задаче массу топлива, сгоревшую к моменту, когда давление тела на направляющие бу- дет равно нулю. Ответ: т,=то(! — е 'о /. 45.16(45.16). Тело скользит по горизонтальным рельсам. Исте- чение газа происходит вертикально вниз с постоянной эффектив- ной скоростью в,. Начальная скорость тела равна во. Найти закон изменения скорости тела и закон его движения, если изменение массы происходит по закону т = то — а1. Коэффициент трения скольжения равен 1.
Ответ: в = по — '1~у! — в,!п то 1 в=о,г — 1' —— г ем т,— о!3' 2 — о, [! !и то+ (!п (гао — а1) — 1 — — '(!и то — 1)))~. 45.17(45.17). Решить предыдущую задачу, если изменение топ- лива будет происходить по закону т = тое '. Определить, при каком а тело будет двигаться с постоянной скоростью во. !о Ответ: в = оо — / (у — ав,) 1, з = во! — / (д — аз,) —, а = е 45.18(45.18). Какой путь пройдет ракета на прямолинейном активном участке в пустоте и при отсутствии сил тяготения за время разгона от нулевой начальной скорости до скорости, равной эффективной скорости истечения продуктов сгорания в„если известна начальная масса ракеты то и секундный расход ()? иото е — 2 Ответ: з= —, где е — неперово число. е 45.19(45.19).
Ракета движется прямолинейно вне поля тяготения и при отсутствии сопротивления. Найти работу силы тяги к моменту, когда сгорит все топливо, Начальная масса ракеты то, конечная — ть Эффективная скорость истечения ое постоянна. Ответ: А =т,в,"(г — 1 — 1пг), г=т/тг 45.20(45.20). При каком отношении г начальной то и конечной т1 масс ракеты, движущейся прямолинейно в пустоте и при отсутствии сил тяготения, ее механический к.п.д., определяемый как отношение кинетической энергии ракеты после выгорания топлива к затраченной энергии, имеет наибольшее значение7 2 (г — !) Ответ: г — корень уравнения !пг= 1+е 45.21(45.21).
Самолет, имеющий массу то, приземляется со скоростью во на полярный аэродром, Вследствие обледенения масса самолета при движении после посадки увеличивается согласно формуле т =то+ а1, где а =сонэ(. Сопротивление движению самолета по аэродрому пропорционально его весу (коэффициент пропорциональности /). Определить промежуток времени до остановки самолета с учетом (Т) и без учета (Т~) изменения его массы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
