1986 год – Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (926526), страница 58
Текст из файла (страница 58)
В начальный момент при вертикальном положении стержня телу сообщено такое движение, что скорость центра масс М, стержня равна нулю, а скорость центра масс М, диска равна 360 см/с и направлена по горизонтали вправо. Найти последую- щее движение тела, принимая во А ерр внимание только действие силы тяв зрр ю жести. Ответ: Тело равномерно вращар ется с угловой скоростью 6 рад/с вокруг своего центра масс, который описывает параболу ур = 117,5х (начало координат — в точке В, ось У у направлена по горизонтали впра- К задаче К задаче 39.3 ВО, ОСЬ Х вЂ” ВНИЗ), 39.! 39.2(39.2). Диск падает в верти- кальной плоскости под действием силы тяжести. В начальный момент диску была сообщена угловая скорость 933, а его центр масс С, находившийся в начале координат, имел горизонтально направленную скорость Ое.
Найти уравнения движения диска. Оси х, у изображены на рисунке. Силами сопротивления пренебречь. д3 Ответ: хс = О91, ус = —, чр = езег, где ~р — угол поворота диска, образованный осью х и диаметром, занимавшим в начальный момент горизонтальное положение. 39.3(39.3). Решить предыдущую задачу, считая, что момент тс сопротивления движению относительно подвижной горизонтальной 306 оси, проходящей через центр масс С диска перпендикулярно плоскости движения его, пропорционален первой степени угловой скорости диска ф, причем коэффициент пропорциональности равен р.
Момент инерции диска относительно этой оси равен Хс. еГй д ой ( р Ответ: хе =во1, ус= —, «р= — ~1 — е ), где ~р— со( 1 угол поворота диска, образованный осью х и диаметром, занимавшим в начальный момент горизонтальное положение. 39.4(39.4). Ведущее колесо автомашины радиуса т и массы М движется горизонтально и прямолинейно. К колесу приложен вращающий момент вй. Радиус инерции колеса относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно его плоскости, равен р. Коэффициент трения скольжения колеса о землю равен 1.
Какому условию должен удовлетворять вращающий момент для того, чтобы колесо катилось без скольжения? Сопротивлением качения пренебречь. Ответ: т((1Мд ей+ рй 39.5(39.5). Решить предыдущую задачу с учетом трения качения, если коэффициент трения качения равен 1,. Ответ: т()М8 ' +Р +Му~„. 39.6(39.6). Ось ведомого колеса автомашины движется горизонтально и прямолинейно. К оси колеса приложена горизонтально направленная движущая сила Г. Радиус инерции колеса относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно его плоскости, равен р.
Коэффициент трения скольжения колеса о землю равен 1. Радиус колеса равен т, масса колеса равна М. Какому условию должна удовлетворять величина силы Г для того, чтобы колесо катилось без скольжения? Сопротивлением качения пренебречь. Ответ: Р(~Ма та+ рй Р' 39.7(39.7). Решить предыдущую задачу с учетом трения качения, если коэффициент трения качения равен )д. 1о ( 1Ма (~~+ Р~) Ма1д ' К задаче йов 39.8. Автомобильный прицеп движется замедленно с ускорением гво до остановки.
При этом тормоз в одном из его колес не включается. Давление колеса на дорогу равно У. Коэффициент трения колеса с дорогой равен 1. Дано: г — радиус колеса, вй— его масса, р — радиус инерции. Определить силу горизонтального давления 8 колеса на его ось. Ответ: 1) ~оо( — —,, З=тйво 1+ — й) 2) юо) — — т-, 1м о = вйгво + й' А1 39.9(39.9). Колесо радиуса г катится по прямолинейному горизонтальному рельсу под действием приложенного вращающего момента т„='/»~юг, где 1 — коэффициент трения скольжения, М вЂ” масса колеса.
Определить скорость точки колеса, соприкасающейся с рельсом (скорость проскальзывания). Масса колеса равномерно распределена по его ободу. Трением качения пренебречь. В начальный момент колесо находилось в покое. Ответ: — Г. (л 2 39.10(39.10). Решить предыдущую задачу с учетом трения качения, если коэффициент трения качения 1„= 'Яг.
Ответ: 'Я31. 39.11(39.11). Однородный цилиндр с горизонтальной осью скатывается под действием силы тяжести по наклонной шероховатой плоскости с коэффициентом трения 1. Определить угол наклона плоскости к горизонту и ускорение оси цилиндра, предполагая, что при движении цилиндра скольжение отсутствует. Сопротивлением качения пренебречь. Ответ: а( агс1п31, в =э/»яз!па. 39.12(39.13).
Однородный сплошной круглый диск катится без скольжения по наклонной плоскости, расположенной под углом а к горизонту. Ось диска образует угол р с линией наибольшего ската. Определить ускорение центра масс диска, считая, что его качение происходит в одной вертикальной плоскости. Ответ: шс ='/»из)па з)п р. 39.13(3914). Однородный цилиндр с горизонтальной осью 'скатывается под действием силы тяжести со скольжением по наклонной плоскости при коэффициенте трения скольжения 1. Определить угол наклона плоскости к горизонту и ускорение оси цилиндра. Ответ: а ) агс1п3), ну=я(з)па — )сова). 39.14(39.15). Однородное колесо радиуса г скатывается без скольжения по наклонной плоскости, образующей угол а с горизонтом.
При каком значении коэффициента трения качения )» центр масс колеса будет г двигаться равномерно, а колесо при этом бу- дет равномерно вращаться вокруг оси, прохол дящей через центр масс перпендикулярно его плоскости? Ответ: )» = г1да. 39.15(39.16). На барабан однородного катка массы М и радиуса г, лежащего на горизонтальном шероховатом полу, намотана нить, к которой приложена сила Т под углом а к горизонту. Радиус барабана а, радиус инерции катка р. Определить закон движения оси катка О.
В начальный момент каток находился в покое, затем катился без скольжения. Т г(гсо»а — а) Ответ: х= — 2,+, 1», причем ось х направлена слева 2 (Э'+ г') направо. 39.16(39.!7). Однородный стержень АВ массы М горизонтально подвешен к потолку посредством двух вертикальных нитей, прикрепленных к концам стержня. Найти натяжение одной из нитей в момент обрь7ва другой. У к а з а и и е. Составить дифференциальные уравнения движения стержня для весьма малого промежутка времени, следующего за моментом обрыва нити, пренебрегая изменением направления стержня и изменением расстояния центра л масс стержня от другой нити.
Ответ: Т =Му/4. 39.17(39.18). Однородный стержень АВ массы М подвешен в ТОЧКЕ О На дВуХ НИтяХ раВНОй С Кзадаче99.!а Кзадаче99Л7 ним длины. Определить натяжение одной из нитей в момент обрыва другой. (См. указание к задаче 39.16.) Ответ: Т = 0,266 Мд.
39.18(39.19). Однородный тонкий стержень длины 21 и массы М лежит на двух опорах А и В; центр масс С стержня находится на одинаковых расстояниях от опор, причем СА = СВ = а; давление на каждую опору В равно 1/2 Р. Как изменится давление на опору л~ь дмЬ А в тот момент, когда опора В будет мгновен- к задаче 39.!з но далена? (См. указание к задаче 39.16.) тает: Давление на опору А получит приращение, равное Р— Заз 2 !79+ Заз) 39.19(39.20). Тяжелый круглый цилиндр А массы лг обмотан посредине тонкой нитью, конец которой В закреплен неподвижно. 11илиндр падает без начальной ско- рости, разматывая нить. Определить скорость оси цилиндра, после того ~~а как эта ось опустится на высоту Ь, н найти натяжение Т нити.
Ответ: о = 9/з 9/3лй Т = '/з ши. А' С 39.20(39.21). Две гибкие нити об- ' А мотаны вокруг однородного круглого цилиндра массы М и радиуса и ! 'ч так, что завитки их расположены ! 7т симметрично относительно средней „~ — — — — — В плоскости, параллельной основаниям. Цилиндр помещен на наклон ной плоскости АВ так, что его образующие перпендикулярны линии наибольшего ската, а концы С нитей закреплены симметрично относительно вышеуказанной средней плоскости на расстоянии 2г от плоскости АВ. Цилиндр начинает двигаться без начальной скорости под действием силы тяжести, преодолевая трение о наклонную плоскость, причем коэффициент трения равен /!. Определить путь 3, пройденный центром масс цилиндра за время 1, и натяжение Т нитей, предполагая, что в течение рассматриваемого промежутка времени ни одна из нитей не сматывается до конца. Ответ: 3= — 'з д(з)па — 2/сова)12, Т= — Мя(з)па+/сова).
.! 1 а Цилиндр остается в покое, если 1да ( 2/. 39.21(39.22). Два цилиндрических вала массы М1 и Мз скатываются по двум наклонным плоскостям, образующим соответственно углы а и 8 с горизонтом. )У Валы соединены нерастяжимой нитью, концы которой намотаны «задаче 33.22 «задаче 33.21 на валы и к ним прикреплены. Определить натяжение нити и ее ускорение при движении по наклонным плоскостям.
Валы считать однородными круглымн цилиндрами. Массой нити пренебречь. М1М1 (31п и+ 31п ()) М1 31п а — М, 31п р Ответ: Т=й ( + ), а1=д 39.22(39.23). Определить период малых колебаний однородного полукруглого диска радиуса Я, находящегося на негладкой горизонтальной плоскости, по которой он может катиться без скольжения.
О 3 — чеа13 — 1613. зя 9 40. Приближенная теория гироскопов 40Л(40.1). Волчок вращается по часовой стрелке вокруг своей оси ОА с постоянной угловой скоростью а =600 рад/с; ось ОА наклонена к вертикали; нижний конец оси О остается неподвижным; центр масс С волчка находится на оси ОА на расстоянии а ОС = 30 см от точки О; радиус инерции 1 ! волчка относительно оси равен 10 см. Опре- 32 делить движение оси волчка ОА, считая, что главный момент количеств движения волчка относительно оси ОА равен Упз. Ответ: Ось ОА вращается вокруг вертикали Ог по часовой стрелке, описывая круговой конус, с постоянной угловой скоростью 321 = = 0,49 рад/с. 40.2(40.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
