1986 год – Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (926526), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Прн наезде тележки А на упругий упор В начинаются колебания подвешенного на стержне груза В. Составить дифференциальные уравнения движения материальной системы, если т2 — масса тележки, тз — масса груза, / — длина стержня, с — коэффициент жесткости пружины упора В. Массой колес н всеми силами сопротивления пренебречь. Начало отсчета оси х З К задаче 46.37 К задаче 43.36 взять в левом конце недеформированной пружины. Определить период малых колебаний груза при отсутствии упора В. Массой стержня пренебречь.
Указание. Пренебречь членом, содержансим множитель фа, считать с=и, 61п 4р ам ф, соз ф ам К Ответ: (та + тз) х + тфр соз ф — в421ф~ 3!п ф = — сх, хсозф+/ф= — Д 3!Пф; Т=2п ч/ / т /1 и21+ та и 48.37(47.32). По неподвижной призме А, расположенной под углом сс к горизонту, скользит призма В массы та. К призме В, посредством цилиндрического шарнира О и спиральной пружины с коэффициентом жесткости с, присоединен тонкий однородный стержень О/7 массы т, и длины й Стержень совершает колебания вокруг оси О, перпендикулярной плоскости рисунка. Положения призмы В и стержня 00 определены посредством координат 3 н тр.
Написать дифференциальные уравнения движения материальной системы, состоящей из призмы В и стержня ОО, пренебрегая си. лами трения. Определить период малых колебаний стержня ОО, если т!л(созе се ( 2с. указа ние. Считать Миф ке ф, соз(ф+а) иа сои а — <рз!па, затем пренебречь членами, содержащими множители фа и ф. ф. 1 1 Ответ: (т, + т,) 3 + — т!1фт зш (ф + а) — — т,1ф соз (ф + а) = 2" ! 3 = (т, + л!з) 8 зш а, — т!1 ф — 2 т!13 соз (ф + а) = — т!д1 з(п ф — сф, / лз~ [т, (1+ 3 з!п а) + 4тз) Ч! 6(гп, + щ,) (2с — т,д! сааза) ' 48.38(47.34).
Решить задачу 48.37, считая, что призма А массы т, движется по гладкой горизонтальной плоскости, а ее положение определяется координатой х. Ответ: (т! + и + тз) х + (и! + тт) й соз а + т, — ф' яп ф— 2 — т,— фсозф=0, (т!+та)хсоза+(т!+ т )3+и, ! фаяп(ф+ а)— ! — и! 2 фсоз(ф+а) =(т, + те)из!па, 1 и.. ! 1 1 — т 1 ф — — т!1х соз ф — — т!Рй сов (ф + а) = — т!в1 яп ф — сф, 3 ! 2 2 2 48.39(47.30). Материальная точка А массы т! движется в вертикальной плоскости по внутренней гладкой поверхности неподвижного цилиндра радиуса 1. Материаль- !р ная точка В массы тз, присоединенная к точке А посредством стержня АВ длины 1, может колебаться вокруг оси А, перпеиди- 1!г ! кулярной плоскости рисунка.
Положения точек А и В определены с помощью углов ! 4 Я~, а и ф, отсчитываемых от вертикали. Составить дифференциальные уравнения движе- ! )а ния системы. Написать дифференциальные уравнения малых колебаний системы. Массой стержня АВ пренебречь. указание. Пренебречь членами, содержащими множители ф' и а', а также считать з!п(<р — а) нк ф — а.
соз(ф — а) ж 1. Мп а ик и, з!п ф ы ф, Ответ: (т! + т,)1а+ тз(ф сов(ф — а) — тт(ф~ з)п (ф — а) = = — (т!+т)из!па, 1ф+1асоз(ф — а)+1аез!п(ф — а)= — дяпф, (т!+ тт)1а+ те(сфф= — (т, + и~) да, 1ф+ 1а = — лф. 48.40(48.40). Шероховатый цилиндр массы т и радиуса г катится без скольжения по внутренней поверхности полого цилиндра массы М и радиуса 44, могущего вращаться около своей горизонтально расположенной оси О. Моменты инерции цилиндров относительно своих осей равны тгт/2 и Мага. Составить уравнения движения системы и найти их первые интегралы. Ответ: М)гав — — пав[Я вЂ” г) ф — Ж! =Сь 1 з Муба+ — л4 [()~ — г) ф — Аэб['+ — Я вЂ” г)' ф' — тя (Р— г) соз 4р = С„ 4 а'а ач где ~р — угол поворота отрезка, соединяющего оси цилиндров, а Ю вЂ” угол поворота внешнего цилиндра. К ааааче 44.41 К эаааче %.40 48.41(48А8).
Однородный диск радиуса 4г, имеющий массу м, может вращаться вокруг своей горизонтальной оси О. К диску на нити АВ длины 1 подвешена материальная точка массы т. Составить уравнения движения системы. Ответ: (па+ — ) Фр+44444(соз(4р — ф)ф+тЮ з1п(р — Ф)фа+ + ладЯ айп ер = О, Я соз (ф — ф) ф + 1ф — )г з)п (ер — ф) фз + 4т з1п ф = О, где ер — угол поворота диска, а ф — угол отклонения нити от вертикали.
48.42(48.49). Диск системы, описанной в предыдущей задаче, вращается с постоянной угловой скоростью 4з. Составить уравнение движения материальной точки. Ответ: Ф вЂ” ез — з(п(еаà — ф)+ — з(пф=б. 2 48.43(48.31). Составить уравнения движения математического маятника массы т, подвешенного на упругой нити; длина нити в положении равновесия й ее жесткость равна с. Найти движение маятника для случая малых колебаний. В качестве обобщенных координат взять угол 4р отклонений маятника от вертикали и относительное удлинение нити х. Ответ: (1+г)ф+2гф+ ~ з)п зр=О, й — (1 + г) ф' + — г + В (1 — соз ф) = О, т я=А з(п(л/ — а+а), ф=В з)п( ~/фт+ й), где А, а, В, к т р — произвольные постоянные.
48.44(48.33). Один конец нерастяжимой тонкой нити обмотан вокруг однородного круглого цилиндра радиуса Я, второй конец прикреплен к неподвижной точке О. Цилиндр, разматывая нить, опускается вниз, одновременно раскачиваясь вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса нити. Пре- о небрегая массой нити, оставить дифференциальные у уравнения движения цилиндра. 3 .з 2 1 Ответ: р — )тф — з рф' = — 8 соз ф, 1 — (р'чр) — Ярф' = — др з4п ф.
%, ! 48.45(48.34). Пользуясь результатами, полученными при решении предыдущей задачи, составить дифференциальное уравнение малых колебаний цилиндра, если движение началось из состояния покоя н при К задаче 48.44 Р=Ро ф=фоФО. Ответ: — „4 [Р'(1)ф!+йг" (1)ф=О, где р(4)= я4 48.46(48.35).
Определить движение системы, состоящей из двух масс т, и т,, насаженных на гладкий горизонтальный стержень (ось Ох), массы связаны пружиной жесткости с и могут двигаться поступательно вдоль стержня; расстояние между центрами масс при ненапряженной пружине равно 1; к задаче ач.чо начальное состояние системы при 4=0 определяется следующими значениями скоростей и координат центров масс: х, = О, х~ = по, хз — — 1, х, = О. Ответ: хз = 1 тзие аз|+ тз ~тзиог + — з1п М~, а — 1 аз — —,'"' а в). 4=,Я вЂ” 'а — '.). 48.47(48.43). Система, состоящая из двух одинаковых колес радиуса а каждое, могущих независимо вращаться вокруг общей нормальной к ним оси 040, длины й катится по горизонтальной плоскости.
Колеса связаны пружиной жесткости с, работающей на кручение (упругий торсион). Масса каждого колеса М; С вЂ” мо- мент инерции колеса относительно оси вращения, А — момент инерции колеса относительно диаметра. Составить уравнения движения системы и определить движение, отвечающее начальным условиям <р~ = О, ф1 — — О, ~рз —— О, ф,= ы (<рь ~рз — углы поворота колес). Массой оси пренебречь.
Ответ: ~р,= — ~аз! — — з!п й!), зрз= — (зз! + — ззп й!), 2 ~ а й= 2с маз+ с+ зА ~ — ) 48.48. Механизм робота-минипулятора состоит из колонны для вертикального перемещения, устройства для горизонтального пе- к задаче зззз к задеде зздз ремещения, состоящего из звеньев 1 и 2, и выдвигающейся горн- зонтальной руки со схватом 8. Массы звеньев механизма ть т и тз.
Движущие силы, создаваемые приводами в поступательных парах, равны соответственно Рм, Ргз и Рзз. Составить дифферен- циальные уравнения движения механизма. Трением пренебречь. Ответ: тзх=Рем (т,+пзз)у=Р,з, (т1 + та + пзз) й = Рзз — (тз + т, + т,) д. 48.49. Механизм робота-манипулятора состоит из поворотной колонны У, устройства для вертикального перемещения 2 и выдвигающейся руки со схватом 3.
Момент инерции звена ! относительно оси поворота У~", масса звена 2 тз, момент инерции относил тельно оси поворота Уз., масса двигающейся руки со схватом тз, расстояние от оси пор ворота до центра масс р, момент инерции относительно центральной оси Уз. К оси поворота приложен момент й!, движущие силы, создаваемые приводами в поступательных парах, равны соответственно Рм н Раь Составить дифференциальные уравнения движения механизма. Трением пренебречь. О твет: — „- ((У~ + Уз + Уз + тзРз) ф) = й), (та + зпз) е = Ры — (та+ тз) Ы, тз(Р Р4з~) = Рзз. 368 48.50. Вертикальная колонна 1, несущая руку робота-манипулятора, может поворачиваться на угол <р.
Рука со охватом поворачивается на угол 0 и выдвигается на расстояние г. Момент инерции вертикальной колонны относительно оси вращения 11, звенья 2 и 8 считать тонкими однородными стержнями длины 1з и!з и массы тз и тз, масса переносимого груза т. К вертикальной осн вращения приложен момент Ме, к осн поворота второго звена — момент Мо движущая сила, создаваемая приводом в поступательной паре, гзз. Составить дифференциальные уравнения движения механизма.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
