Пособие по МКЭ (864300), страница 7
Текст из файла (страница 7)
24. Схема фермы и нагрузок44Основы метода конечных элементов1.3. Метод конечных элементов для объёмных узловПри определении напряжений и деформаций в сложных узлахкрановых металлоконструкций представляется рациональным применение МКЭ для получения полей перемещений. Общепринятая формулировка МКЭ предполагает отыскание поля перемещений и темсамым связана с минимизацией потенциальной энергии системы приотыскании узловых значений вектора перемещений. После того, какперемещения будут определены, производится вычисление компонент тензоров деформаций и напряжений.Полная потенциальная энергия упругой системы представляетсобой сумму энергии деформации в теле и потенциальной энергиимассовых сил и приложенных поверхностных сил.
Запишем полнуюпотенциальную энергию в видеП = Э + Wп ,(1.55)где Э - энергия деформации; Wп - потенциальная энергия приложенных сил.Работа внешних сил противоположна по знаку их потенциальной энергии и составляетW = −Wп ,(1.56)Тогда имеемП = Э −W .(1.57)После разбиения области на элементы равенство (1.58) записывается в виде суммыEП = ∑ (Э e − W e ) .(1.59)e =1Энергия деформации бесконечно малого объема dV определяется зависимостью111dЭ = {ε }'{σ } − {ε 0 }'{σ } + {ε }'{σ 0 } ,222(1.60)где {ε} – вектор полной деформации; {ε0} – вектор начальной деформации; {σ} – вектор напряжений; {σ0} – вектор начальных напряжений. Величина dЭ называется плотностью энергии деформации, аполная энергия деформации получается интегрированием этой величины по объёму тела:1Э = ∫∫∫ ({ε }'{σ } − {ε 0 }'{σ } + {ε }'{σ 0 })dV .(1.61)2V45Основы метода конечных элементовВид векторных столбцов {ε} и {σ} зависит от того, какая задачарешается. Например, для двухмерного случая плоской деформацииэти векторы имеют вид:⎧ε xx ⎫⎧σ xx ⎫⎪ ⎪⎪⎪{ε } = ⎨ε yy ⎬ и {σ } = ⎨σ yy ⎬ .(1.62)⎪γ ⎪⎪τ ⎪⎩ xy ⎭⎩ xy ⎭В основе курса теории упругости лежат два важных соотношения: закон Гука, который связывает соотношения компонентов тензоров напряжений и деформаций, и соотношения Коши, которые связывают перемещения и деформации.
Закон Гука в общей форме имеет вид:{σ } = [ D]{ε } − [ D]{ε 0 } + {σ 0 } ,(1.63)где [D] – матрица упругих постоянных материала; {σ0} – начальныенапряжения; {ε0} – начальная деформация.Вид матрицы [D] зависит от того, какая задача решается.Соотношения связи между деформациями и перемещениями записываются следующим образом:∂uε xx = ;∂x∂vε yy = ;∂y∂w;ε zz =∂z(1.64)∂u ∂vγ xy = + ;∂y ∂x∂v ∂wγ yz = +;∂z ∂y∂u ∂wγ xz = +,∂z ∂xгде u, v и w – компоненты перемещений в направлении координатныхосей x, y и z соответственно. Для любого конечного элемента этикомпоненты перемещений внутри элемента можно выразить черезузловые значения этих компонент и функции формы элемента:{u} = [ N ]{U },(1.65)где {u} – вектор перемещений; [N] – матрица функций формы элемента; {U} – вектор узловых значений перемещений для элемента.46Основы метода конечных элементовС помощью формул (1.64) можно выразить вектор деформации{ε} через узловые перемещения элемента {U}.
Общая форма этих соотношений такова:{ε } = [ B ]{U } ,(1.66)где [B] – матрица, получаемая дифференцированием матрицы [N],или матрица производных функций формы; {U} – векторный столбец узловых перемещений по направлению осей x, y, z.Фактические значения коэффициентов матрицы [B] зависят отвида элемента и от того, какая задача решается.В случае объемного напряженного состояния необходимо рассматривать по шесть компонент напряжения и деформаций. При этомнапряжения и деформации представляют собой векторы, которые записываются в виде:⎧σ x ⎫⎧εx ⎫⎪σ ⎪⎪ε ⎪y⎪ ⎪⎪ y⎪⎪σ ⎪⎪ε ⎪{σ } = ⎨ z ⎬и {ε } = ⎨ z ⎬ ,(1.67)τγ⎪ xy ⎪⎪ xy ⎪⎪τ yz ⎪⎪γ yz ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪τ⎩ zx ⎭⎩γ zx ⎭где {σ}, {ε} – векторы-столбцы напряжений и деформаций соответственно; σx , σy , σz - нормальные напряжения по осям х, y и z соответственно; τxy , τyz , τzx - касательные напряжения в плоскостях xoy, yoz, zoxсоответственно; εx , εy , εz - деформации в направлении осей x, y, z соответственно; γxy , γyz , γzx - cдвиговые деформации в плоскостях xoy,yoz, zox соответственно.Минимизация выражения (1.61) для полной потенциальнойэнергии конструкции приводит к уравнению, которое выглядит следующим образом:[ K ]{δ } = {F } ,(1.68)где [K] – глобальная матрица жесткости; {F} – глобальный векторстолбец нагрузки; {δ} – неизвестный вектор-столбец узловых перемещений.В результате решения данного матричного уравнения определяется вектор узловых перемещений, который затем используется длявычисления напряжений и деформаций в рассматриваемой конструкции.
Глобальная матрица жесткости конструкции [K] и глобальный47Основы метода конечных элементоввектор-столбец нагрузки {F} строятся путем суммирования матрицотдельных элементов.Реализация МКЭ для расчёта узлов металлических конструкцийподъёмно-транспортных машин выполняется со следующими основными этапами.1. Задание исходной информации о конструкции, которая должна включать:а) расположение узловых точек;б) взаимное расположение конечных элементов (топологиюконструкции);в) значения геометрических и жесткостных параметров каждогоэлемента конструкции.2. Вычисление матрицы жёсткости для каждого элемента.3. Определение общей матрицы жесткости всего узла (глобальной матрицы жесткости) путём записи (прибавления) компонентоввычисленных матриц жёсткости отдельных элементов в соответствующие ячейки глобальной матрицы жесткости.4.
Наложение связей на перемещение узла, как твердого тела,приводящее к изменению полной глобальной матрицы жесткости узла.5. Построение глобального вектора нагрузки.6. Обращение глобальной матрицы жесткости (или модификация глобальной матрицы жесткости для упрощения решения системылинейных алгебраических уравнений) и вычисление глобального вектора перемещений всей конструкции.7. Нахождение перемещений узлов каждого отдельного элемента конструкции.8.
Определение компонент деформации, а затем и напряженийкаждого отдельного элемента.Решение проводится численными методами с использованиемЭВМ. Это обусловлено как сложностью геометрии, так и большимразнообразием узлов крановых металлоконструкций.Как уже говорилось выше, при реализации МКЭ в качестве начального шага требуется разбиение рассматриваемой области на элементы с фиксированием конечного числа точек.
Для решения задачив трёхмерной постановке существует множество типов элементов,отличающихся как по форме, так и по количеству точек в элементе.Некоторые трёхмерные конечные элементы представлены на рис. 1.Выбор типов применяемых элементов сильно влияет на эффектив48Основы метода конечных элементовность расчета. Простейшая форма идеализации трехмерной задачисостоит в использовании тетраэдров с узлами, расположенными ввершинах; по 12 степеней свободы на элемент. Эти элементы началиприменять в числе первых в самом начале развития МКЭ. Использование элементов с большим числом степеней свободы уменьшаетобщее число степеней свободы системы, необходимое для достижения заданной точности. Однако при этом возрастает время вычисления матриц жесткости элементов и увеличивается память для хранения матрицы жесткости системы уравнений равновесия, что такжеведет к увеличению продолжительности счета.
Заметим, что различияв деталях при формулировке элементов, искусство программированияи вид электронно-вычислительных устройств сильно влияют на получаемые выводы. Поэтому, хотя построены различные специальные иальтернативные виды трехмерных элементов (например, пятигранный или клинообразный), при анализе трехмерных конструкций проектировщики отдают предпочтение тетраэдральным элементам.Как уже отмечалось, для любого конечного элемента значениянепрерывной величины Ф (температуры, перемещения, координаты ит.д.) в произвольной точке элемента определяются через узловые величины посредством функций формы следующим образом:i =nΦ = ∑ N i Φ i = [ N ]{Φ узл } ,(1.69)i =1где n - число узлов, в которых известно значение непрерывной величины; N i - функция формы i-го узла; Φ i - значение непрерывной величины Φ в i-м узле; [ N ] - матрица функций формы элемента;{Φ узл } - вектор узловых значений величины Φ .Матрицы призматического элемента можно определять двумяспособами.
Первый из них связан с численным интегрированием выражений для матрицы. Для этого при произвольной форме элементавводятся местные координаты, связанные с элементом: ξ, η, ζ. Узлынумеруются, как указано на рис 25. При этом местные координатысвязаны с декартовыми посредством функций формы.49Основы метода конечных элементовРис. 25. Конечные элементы, применяемые для определения полей напряженийи деформаций узлах металлоконструкций:а – восьмиузловой, б - параллелепипед, в – двадцатиузловойФункции формы в местной системе координат для узлов, например, восьмиузлового элемента при нумерации рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
