Пособие по МКЭ (864300), страница 4
Текст из файла (страница 4)
⎥ ⎪ ... ⎪⎥⎪⎪[ K m 2 ] ... [ K mi ] ... [ K mm ]⎦⎥ ⎪⎩{u m }⎪⎭(1.33)(1.34)(1.35)(1.36)Из (1.36) следует выражение для силы {F i}, приложенной в i-м{Fi } = [ K i1 ]{u1 } + ... + [ K ij ]{u j } + ... + [ K im ]{u m } .(1.37)Каждая из внешних сил {Fi } имеет столько же компонент,сколько и узловые силы {F i}э элементов рассматриваемой конструкции, определяемые выражением (1.21). Члены [Kij] представляет собой подматрицы, размерность которых определяется числом компонент силы в соответствующем узле. Компоненты {F i}e и {Fi } направлены по координатным осям X, Y, Z.
Силу {Fi } находят суммированием сил элементов в соответствующем i-м узле:э= n{Fi } = ∑ {Fi }э ,э=1(1.38)где n – общее число элементов.23Основы метода конечных элементовУчитывая (1.9), получим выражение для сил в узле i:⎛ э= n⎞⎛ э= n⎞⎛ э= n⎞{Fi } = ⎜ ∑ [ K i1 ]э ⎟{u1} + ⎜ ∑ [ K i 2 ]э ⎟{u 2 } + ... + ⎜ ∑ [ K im ]э ⎟{u m } , (1.39)⎝ э=1⎠⎝ э=1⎠⎝ э=1⎠Сравнивая (1.39) и (1.37), видим, что члены матрицы жёсткостиконструкции представляют собой сумму соответствующих членовматриц жёсткости элементов, соединяющихся в узле i, т.е.:э= n[ K ij ] = ∑ [ K ij ] э ,э =1(1.40)Так как рассматриваются только стержневые системы с прямолинейными элементами, то на основании выражений (1.36) и (1.40) можнозаметить, что в (1.36) отсутствуют те члены, которые содержат перемещения узлов j, непосредственно не связанных с узлом i каким-либостержнем.
Если же узлы i и j связаны стержнем, то для таких узловэ=n[ K ij ] = ∑ [ K ij ] э ,э =1(1.41)Для диагональных элементов на основании (1.40) получимэ=n[ K ii ] = ∑ [ K ii ] э .э =1(1.42)Выражение (1.40) общее.Фрагмент программы, осуществляющий вычисление матрицыжёсткости всей конструкции из матриц жёсткости отдельных элементов-стержней, определяемых выражением (1.13), приведён в прил.
1.1.2.5. Матрица нагрузкиВ п. 1.2.4 была представлена матрица внешней нагрузки {F} ввиде (1.33), где каждая из узловых сил {Fi } в общей системе координат содержит столько же компонент, что и узловые силы элементовконструкции в той же системе координат. Последовательность записиэтих компонент аналогична последовательности для отдельных элементов. Так, например, для балочного элемента в плоской системекоординат (рис. 9,б) имеем:{Fi } = {FiX FiY M i F jX F jY M j }' .(1.43)В общем случае для балочных и рамных конструкций на элемент действуют не только узловые, но и внеузловые нагрузки. В соответствии с выражениями (1.36) и (1.39) рассматривается равновесие24Основы метода конечных элементовузлов.
Поэтому матрица {F'} узловой нагрузки должна содержать нетолько узловые внешние силы, приложенные непосредственно к узлам, но и эквивалентные узловые силы от действия внеузловой нагрузки. Внеузловая нагрузка вызывает появление реакций в виде сили моментов сил в узлах.
Принимаем за положительные направленияузловых реакций те же направления, которые показаны на рис. 9,а.Рассмотрим в качестве примера стержневой элемент в местныхкоординатах для двух типичных случаев внеузловой нагрузки (рис.10 и 11). При действии постоянной поперечной нагрузки q (рис. 10,а)матрица узловых реакций (рис. 10,б) выглядит следующим образом:'⎧qlql 2ql ql 2 ⎫{Ri } = ⎨0−0⎬(1.44)2122 12 ⎭ .⎩Матрица эквивалентных узловых сил от действия q (рис. 10,в)имеет вид22 '⎧⎫qlqlqlql{Fi e } = ⎨0 −0 −−⎬(1.45)2 12212 ⎭ .⎩Можно заметить, что в выражениях (1.44) и (1.45) знаки соответствующих компонент сил противоположны. При замене внеузловойнагрузки эквивалентной узловой нагрузкой необходимо помнить, чтоРис. 10. Приведение распределенной нагрузки к узловой25Основы метода конечных элементовРис.
11. Приведение внеузловой сосредоточенной нагрузки к узловойв элементе имеются изгибающие моменты (рис. 10,б). В дальнейшемпри определении окончательных значений изгибающих моментовследует учитывать действие как заданных узловых внешних сил, таки внеузловой нагрузки.На рис.
11,а показано действие внеузловой сосредоточенной силыF. Матрица узловых реакций при этом равна (рис. 11,б):'⎧⎫Fb(3 − b 2 )Fla (1 − b 2 )Fa 2 (3 − a ){Ri } = ⎨000⎬ , (1.46)−222⎩⎭а матрица эквивалентных узловых сил от действия силы F (рис. 11,в):'⎧⎫Fb(3 − b 2 ) Fla (1 − b 2 )Fa 2 (3 − a )e{Fi } = ⎨0 −0 −0⎬ , (1.47)222⎩⎭При приложении внеузловой сосредоточенной нагрузки (например, рис. 11) возможен и другой путь. В точке c приложения силы Fвводится новый узел, а стержень разбивается на два: ic и cj.
Такимобразом, сила оказывается приложенной в узле c.Эквивалентные узловые силы {F e i}, определяемые выражения-ми (1.45) и (1.47), даны в местных координатах X eY e элемента. Вычислим вектор этих сил в общей системе координат с помощью зависимости (1.21):26Основы метода конечных элементов{Fi }э = [T ]'{Fi e } .(1.48)Затем компоненты эквивалентных узловых сил элементов суммируют с соответствующими компонентами внешних сил в общихузлах рассматриваемой конструкции:э= n{Fi } = {Fi }внеш + ∑ {Fi }э .э =1(1.49)Суммирование в (1.49) проводится по всем элементам, сходящимся в i-м узле.1.2.6.
Расчет стержневых конструкций по методу перемещенийДля конструкций в общей системе координат составляется матричное уравнение типа (1.36):{F } = [ K к ]{u} ,(1.50)где общая матрица жесткости конструкции [ K к ] определяется, какуказано в п. 1.2.4. Выражение (1.50) содержит уравнения равновесия(1.37) всех узлов конструкции. До сих пор система рассматриваласькак не закрепленная в пространстве, в связи с чем каждое узловое перемещение зависело от неопределенных значений перемещений конструкции как твердого тела.
Это определяет то обстоятельство, чтоматрица жесткости конструкции [ K к ] является особенной.Решение системы уравнений (1.50) возможно после того, какбудут учтены граничные условия, т.е. в данном случае закрепленияконструкции. Введение определенного числа кинематических закреплений в отдельных узлах по направлениям опорных связей приводитк исключению из матрицы [ K к ] соответствующих строк и столбцов.Матрица [ K к ] становится неособенной урезанной матрицей [ K к* ] .Уравнение равновесия (1.50) принимает вид{F*} = [ K к* ]{u*} .(1.51)Однако такая операция довольно трудоемка и неудобна. Поэтому часто применяют искусственные приемы, которые позволяют сохранить общее число уравнений в системе неизменным.
При этомпреобразуются некоторые элементы матрицы [ K к ] . Допустим, чтоимеется некоторая система из m уравнений:27Основы метода конечных элементов⎧ F1 ⎫ ⎡ k11 k12 ... k1 p ... k1m ⎤ ⎧ u1 ⎫⎪ F ⎪ ⎢kk 22 ... k 2 p ... k 2 m ⎥ ⎪ u2 ⎪212⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢... ... ... ... ... ⎥ ⎪ ... ⎪⎪ ... ⎪ ⎢ ...=(1.52)⎥⎨ ⎬ .⎨ ⎬ ⎢......kkkkFup2pppm ⎥ ⎪ p ⎪⎪ p ⎪ ⎢ p1⎪ ... ⎪ ⎢ ...... ... ... ... ...
⎥ ⎪ ... ⎪⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢......kkkkF⎥ ⎩um ⎭mpmm ⎦⎩ m ⎭ ⎣⎢ m1 m 2Кроме того, пусть, например, up = 0. В этом случае Fp = 0, а остальные члены Fi при i, не равном p, останутся без изменений. Всечлены p-й строки и p-го столбца приравниваются нулю, а диагональный член kpp – единице. Матрица жёсткости конструкции, полученнаяиз (1.52) после подобных преобразований, называется преобразованной матрицей жесткости [ K п ] .После нахождения обратной матрицы [ K п ]−1 определяем узловые перемещения конструкции в общей системе координат:{u} = [ K п ] −1 {F } .(1.53)eДалее находим узловые перемещения {u } для элемента в местной системе координат с помощью выражения (1.14) и узловые силы{F e } – с помощью выражения (1.9).
Для оценки прочности какоголибо стержневого элемента определяют компоненты напряжений вразличных сечениях.На рис. 12 приведена блок-схема расчёта конструкции по методу конечных элементов.В большинстве случаев необходимо определить реакции вопорных точках, т.е. в тех, в которых в соответствии с выражением(1.52) были приняты перемещения, равные 0. Для нахождения этихреакций {R}, являющихся внешними нагрузками по отношению кконструкции, воспользуемся выражением (1.39), из которого следует:j =m{R p } = {F p } − ∑ [ K pj ]{u j } ,j =1(1.54)при этом j = p.Таким образом, вектор сил {Rp} определяется через найденныеперемещения узлов {uj}.28Основы метода конечных элементовНачало работыВвод исходных данных:координаты узлов в общей системе координат, взаимное расположение элементов, характеристики сеченийэлементов, внешняя нагрузка, закрепленияФормирование матрицы жёсткости конструкции [ K к ] :координаты узлов в местных системах координат,матрица жёсткости элемента в местной системе [Ke],матрица преобразований координат [T], матрица жёсткости элемента в общей системе координат [K]Учёт закреплений, получение матрицы [Kп]Вычисление матрицы, обратной [Kп] = [Kп]-1Формирование вектора нагрузок {F'}Вычисление перемещений узлов {u}(т.е.
решение уравнения {u} = [Kп] -1 {F})Вычисление для элементов в местной системе координат перемещений узлов, узловых сил, компонентнапряженийВывод расчётных значений перемещений, напряженийи деформацийОкончание работыРис. 12. Блок-схема расчёта конструкций по методу конечных элементов1.2.7. Примеры расчёта металлоконструкцийНа основании приведенных алгоритмов на кафедре «Подъёмнотранспортные системы» МГТУ им. Н.Э. Баумана была разработанапрограмма расчета на ЭВМ пространственных решетчатых и балоч29Основы метода конечных элементовных конструкций, которая вычисляет значения перемещений узлов,внутренние силы в элементах и напряжения в сечениях каждогостержня.Данная программа является частью программного комплексаKPAH_PK4.EXE. Для проверки работоспособности программы былирешены различные тестовые задачи.На рис.
13 представлены расчётные схемы двух тестовых задач:изгиба балки, закрепленной одним концом, и деформирования двухстержневой консоли.Для консольной балки приняты следующие характеристики элемента-стержня: модуль упругости материала E = 2·105 МПа, моментинерции поперечного сечения элемента-стержня J = 1 см4, площадьпоперечного сечения элемента-стержня A = 1 см2. Балка консольно нагружена силой 10 Н. Вертикальное перемещение консольной точки,полученное в результате расчета по программе, равно 13,333 мм, теоретическое значение, полученное по формуле Мора, равно 13,333 мм.Поворот консольной точки: по программе равен 0,010 рад, по формулеМора равен 0,010 рад.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
