Пособие по МКЭ (864300), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Налицо экономия машинной памяти, что важно при ограниченных размерах оперативной памяти ЭВМ.Численное интегрирование применяется при вычислении матриц восьмиузлового элемента, поскольку невозможно непосредственно вычислить числа, составляющие матрицу.Достигаемое за счёт использования местной системы координатувеличение гибкости аппроксимации элементом пространства не лишено недостатков.
Матрицы элементов должны в этом случае определяться с помощью численных методов интегрирования, что приводит к заметному росту необходимого для получения этих матриц машинного времени, причём это время пропорционально числу узловэлемента в третьей степени. Но в настоящее время в связи с увеличением быстродействия и объема памяти ЭВМ указанная проблема взначительной мере потеряла свою актуальность.
С помощью изопараметрических восьмиузловых мультиплекс-элементов легко производить неавтоматическую разбивку крановых узлов, а с использованием тетраэдров можно провести очень точную аппроксимациюсварных узлов сложной геометрии.Сходным образом записываются аналогичные выражения длятетраэдрального элемента (рис. 26,а). Перемещение любой его точкиопределяется тремя компонентами u, v, w в направлении координат x,y, z. Таким образом, вектор перемещения имеет вид:{ f } = {u v w}' .(1.80)Можно заметить, чтоu = α1 + α 2 x + α 3 y + α 4 z .(1.81)Приравнивая эти выражения перемещениям узловых точек, получаем четыре уравнения типа:57Основы метода конечных элементовРис. 26. Трёхмерные конечные элементыui = α1 + α 2 xi + α 3 yi + α 4 ziu j = α1 + α 2 x j + α 3 y j + α 4 z j(1.82)um = α1 + α 2 xm + α 3 ym + α 4 z mu p = α1 + α 2 x p + α 3 y p + α 4 z pИз этих уравнений определяем коэффициенты α1, ..., α 4 .Запишем соотношение (1.81) в другой форме с использованиемопределителя:1u=(ai + bi x + ci y + d i z )ui + (a j + b j x + c j y + d j z )u j +6Ve(1.83)[+ (am + bm x + cm y + d m z )um + (a pОбъем тетраэдра составляетyi1 xi1 xj yj6Ve = det1 xm y m1 xp yp]+ b p x + c p y + d p z )u p .zizjzm.(1.84)zpКоэффициенты в выражении (1.83) определяются следующимизависимостями58Основы метода конечных элементовxiyiziai = det xmymzm ;xpypzp1yizibi = det 1 ymzm ;1 ypzp(1.85)xi1zici = det xm 1 z m ;xp 1 zpxid i = det xmxpyi1ym 1 .yp 1Остальные коэффициенты получаются циклической перестановкой индексов p, i, j, m.Перемещение элемента определяется 12-ю компонентами перемещений его узлов:⎧ δi ⎫⎪δ ⎪e ⎪ j⎪{δ } = ⎨ ⎬ ,(1.86)δ⎪ m⎪⎪⎩δ p ⎪⎭причем⎧u j ⎫⎧u p ⎫⎧ ui ⎫⎧ um ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪{δ i } = ⎨ vi ⎬ , {δ j } = ⎨ v j ⎬ , {δ m } = ⎨ vm ⎬ , {δ p } = ⎨ v p ⎬ .⎪w ⎪⎪w ⎪⎪w ⎪⎪w ⎪⎩ i⎭⎩ m⎭⎩ j⎭⎩ p⎭Перемещение произвольной точки можно записать в виде{ f } = IN i IN j IN m IN p {δ }e ,(1.87)где скалярные величины определяются соотношениямиa + b x + ci y + d i z;Ni = i i6Ve[]59Основы метода конечных элементовNj =a j + bjx + c j y + d jz;(1.88)6Vea + b x + cm y + d m z;Nm = m m6Vea p + bp x + c p y + d p z,Np =6Veгде I – единичная матрица размерности 3 × 3.Из (1.73) и (1.88) следует, что матрица производных функцийформы для тетраэдрального элемента имеет вид:⎡bi 0 0 b j 0 0 bm 0 0 bp 0 0 ⎤⎢0 c 0 0 c0 0 cm 0 0 c p 0 ⎥ij⎢⎥⎢00d00d00d00d1ijmp⎥e[B ] =⎢⎥ .
(1.89)6Ve ⎢ ci bi 0 c j b j 0 cm bm 0 c p bp 0 ⎥⎢ 0 di ci 0 d j c j 0 dm c0 d p cp ⎥⎢⎥⎢⎣di 0 bi d j 0 b j dm 0 bm d p 0 bp ⎥⎦Матрицы тетраэдрального элемента определяются значительнопроще, чем аналогичные для восьмиузлового элемента. Это происходит из-за того, что основные подынтегральные выражения в этомслучае являются постоянными в диапазоне пределов интегрирования.Так, например, матрица жесткости тетраэдрального элементаимеет вид:[ K e ] = ∫∫∫[ B e ]'[ D ][ B e ]dV = [ B e ][ D ][ B e ]Ve .(1.90)VeПри этом удается избежать введения местных координат и численного интегрирования при вычислении матриц элемента.Вектор нагрузки для тетраэдрального конечного элемента имеет вид60Основы метода конечных элементов⎧ Xi ⎫⎪Y ⎪⎪ i ⎪⎪ Zi ⎪⎪ ⎪⎧1⎫⎪X j ⎪⎪1⎪⎪ Yj ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪V ⎪ Z j ⎪ α V E (∆T ) T ⎪1⎪ Sijm{ f e} = e ⎨ ⎬ +[ B] ⎨ ⎬ +34 ⎪X m ⎪1− µ⎪0⎪⎪ Ym ⎪⎪0⎪⎪ ⎪⎪ ⎪Z⎩0⎭⎪ m⎪⎪X p ⎪⎪ ⎪⎪ Yp ⎪⎪Z ⎪⎩ p⎭⎧ pix ⎫⎪p ⎪⎪ iy ⎪⎪ piz ⎪⎪⎪⎪ p jx ⎪⎪ p jy ⎪⎪⎪p⎪ jz ⎪⎨⎬⎪ pmx ⎪⎪ pmy ⎪⎪⎪p⎪ mz ⎪⎪ p px ⎪⎪⎪p⎪ py ⎪⎪ p ⎪,⎩ pz ⎭(1.91)где α - коэффициент линейного температурного расширения материала конечного элемента; ∆T - перепад температур элемента в нерабочем и рабочем состояниях эксплуатации конструкции; Sijm - площадь грани ijm конечного элемента.Первое слагаемое в выражении (1.91) характеризует поузловыесосредоточенные силы (в проекциях на оси координат XYZ ), второе –температурную нагрузку (задача термоупругости), третье – поверхностные распределенные нагрузки (в проекциях на оси координатXYZ ).
В выражении (1.91) считается, что поверхностные распределенные нагрузки действуют только на одну грань конечного элемента– грань ijm. Если есть аналогичные нагрузки и на другие грани, то вправую часть выражения (1.91) добавляются подобные слагаемые.Таким образом, если определяем только остаточные напряженияи деформации, то глобальный вектор нагрузки формируется толькоиз вторых слагаемых, а если есть и силовая нагрузка, то добавляютсяи другие соответствующие слагаемые.На рис.
27 представлен пример решения упругой задачи с помощью разработанных программных средств для консольно-закрепленной балки. Предложенная задача была решена в качестве тестовой. На рисунке для сравнения также указаны теоретические значения напряжений и деформаций. Сравнение показывает хорошую сходимость результатов.61Основы метода конечных элементовРис. 27. Результаты решения задачи определения напряжений и деформацийдля упругой консольной балки под действием поперечной нагрузки.По представленным алгоритмам на кафедре «Подъемно-транспортные системы» МГТУ им.
Н.Э. Баумана была разработана программа расчета МКЭ пространственных узлов. Пример примененияданной программы представлен на рис. 28 - 30.Задача определения напряжений и деформаций в узлах металлических конструкций подъемно-транспортных машин может быть решена не только при линейной связи между напряжениями и деформациями, но и при реальной диаграмме «напряжение-деформация». Вэтом случае решается упругопластическая задача.
Другими словами,решение упругой задачи в перемещениях сводится к решению линейного матричного уравнения при линейном законе соотношения между напряжениями и деформациями. Упруго-пластическая задача приводит к необходимости учета нелинейной зависимости между напряжениями и деформациями. Наиболее целесообразно применять для62Основы метода конечных элементовРис. 28. Создание исходных данных для расчета МКЭРис. 29. Результаты расчета напряжений МКЭ63Основы метода конечных элементовРис.
30. График напряжений в опорном сечениирешения такой задачи итерационный метод и так называемые принципы упругих решений, которые позволяют представить задачу теории пластичности в виде последовательно уточняемых задач теорииупругости с некоторыми дополнительными условиями. Обычно принимается допущение о малых деформациях, что соответствует физической картине напряженно-деформированного состояния сварногоузла металлической конструкции крана.Часто не удается сформулировать соотношения связи междуполными напряжениями и деформациями, однако можно получитьзависимость между приращениями напряжений и деформаций. В этихслучаях итерационные методы применяются для каждого приращения нагрузки в задачах ползучести.На рис.
31 представлен результат решения упруго-пластического деформирования консольной балки при приложении поперечнойнагрузки. Сравнение расчетных результатов с теоретическими показывает хорошее совпадение.Разработанные алгоритмы и программы нашли практическоеприменение. Был выполнен численный анализ напряжённо-деформированного состояния типового сварного узла крановой металлической конструкции, составленного из листовых элементов (узла, обра64Основы метода конечных элементовРис. 31. Результаты решения тестовой задачизованного в результате сквозного пересечения двух листов). Данныйвариант конструкторского решения представлен на рис. 32.
Здесь водном из листов имеется отверстие, сквозь которое пропускаетсядругой. Имеется сварной шов, выполненный по кромке отверстия.Узел подобной топологии наличествует в металлоконструкции мостового перегружателя МП 32–76,2. Он располагается в месте крепления опоры к основной конструкции.
В мостовых перегружателях подобного типа, эксплуатирующихся в системе РАО ЕЭС РФ (Каширская ТЭЦ, Омская ТЭЦ и др.), по истечении некоторого времени вместах окончания сварных швов узла возникают трещины. Учитываясложный характер нагружения при эксплуатации крана, была поставлена задача установления с точки зрения уровня и распределения напряжений и деформаций тех причин, которые впоследствии и привели к образованию этих дефектов.65Основы метода конечных элементовРис.
32. Сварной узел мостового перегружателя МП 32–76,2Вопросы для самоконтроля1. В чём основные идеи метода конечных элементов (МКЭ)?2. Для моделирования каких металлических конструкций подъёмно-транспортных машин используются стержневые элементы?Приведите примеры.3. Как получается матрица податливости для стержневого конечного элемента, имеющего постоянное по длине поперечное сечение. Приведите примеры.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
