Пособие по МКЭ (864300), страница 3
Текст из файла (страница 3)
матрица жёсткости обратна по отношению к матрице податливости.Для стержня, нагруженного в узлах изгибающими моментами ипоперечными силами (рис. 5,б), имеем четыре фиксированных силовых воздействия F1ej , F2ej , F3ej , F4ej , которым соответствуют четыреперемещения u1e j , u2e j , u3e j , u4e j . Используя по методу перемещенийстандартные решения для балки, закрепленной по торцам, при единичных перемещениях узлов получим:F1ei = 4iu1ei + 2iu 2e j − (6i / l )u3ei + (6i / l )u4e j ;F2ej = 2iu1ei + 4iu2e j − (6i / l )u3ei + (6i / l )u4e j ;F3ei = −(6i / l )u1ei − (6i / l )u2e j + (12i / l )u3ei − (12i / l )u4e j ;F4ej = (6i / l )u1ei + (6i / l )u2e j − (12i / l )u3ei + (12i / l )u4e jили в матричном виде:15Основы метода конечных элементов⎧ F1ei ⎫ ⎡ 4i⎪ e⎪ ⎢⎪ F2 j ⎪ ⎢ 2i⎨ e ⎬=⎪ F3i ⎪ ⎢− 6i / l⎪ F4ej ⎪ ⎢⎣ 6i / l⎩ ⎭2i− 6i / l4i− 6i / l− 6i / l6i / l12i / l− 12i / l6i / l ⎤ ⎧ u1ei ⎫⎪ ⎪6i / l ⎥ ⎪u2e j ⎪⎥⎨ ⎬− 12i / l ⎥ ⎪ u3ei ⎪⎥12i / l ⎦ ⎪⎩u4e j ⎪⎭(1.8)или{F e } = [ K e ]{u e },(1.9)где [ K e ] – матрица жёсткости элемента-стержня при изгибе; i = EJ/l– изгибная жёсткость стержня.Выражение (1.9) является общим при любом виде деформированного состояния стержня.Рис.
6. Два варианта положительных направлений узловых перемещений и силдля балочного конечного элементаВводя кинематические закрепления в узлах по направлению узловой координаты Y e , исключим перемещения стержня как твердоготела. Это приводит к вычеркиванию третьих и четвертых строк истолбцов матрицы [ K e ], в результате чего получим неособенную урезанную матрицу:⎡4i 2i ⎤ 2 EJ ⎡ 2 − 1⎤(1.10)[ K*e ] = ⎢⎥ = l ⎢− 1 2 ⎥ .ii24⎣⎦⎣⎦Данная матрица (1.10) является обратной по отношению к матрице податливости (1.4).При учёте изгиба и растяжения-сжатия для стержня, представ16Основы метода конечных элементовленного на рис. 6,а, матрица жёсткости [ K e ] определяется на основедвух матриц, задаваемых выражениями (1.6) и (1.8):⎧ u1ei ⎫⎧ F1ei ⎫⎪ e ⎪⎪ e⎪F⎪u2 j ⎪⎪ 2j⎪⎪⎪ F e ⎪⎪ ⎡[ K e ] [0] ⎤ ⎪⎪ u e ⎪⎪и3i3i(1.11)⎨ e ⎬=⎢e ⎥ ⎨ e ⎬,FKu[0][]р ⎥⎪ 4 j ⎪ ⎢⎣⎦ ⎪ 4j⎪⎪ue ⎪⎪Fe ⎪5i⎪ e5i ⎪⎪ e⎪⎪⎩u6 j ⎪⎭⎪⎩ F6 j ⎪⎭где [ K иe ] – матрица (1.8) размерности (4 × 4) при учете изгибной деформации; [ K eр ] – матрица (1.6) размерности (2 × 2) при деформацияхрастяжения-сжатия; [0] – нулевая матрица.Для удобства построения матрицы жёсткости стержня в общейсистеме координат XY далее принята нумерация узловых перемещений и сил, показанная на рис.
6,б. В этом случае матрица жёсткостиконечного элемента имеет вид:EA⎤⎡ EA0000−⎥⎢ ll⎢12 EJ6 EJ12 EJ6 EJ ⎥0− 2− 3− 2 ⎥⎢ 03llll ⎥⎢6462EJEJEJEJ⎥⎢ 00−⎢ll ⎥ . (1.12)l2l2[K e ] = ⎢⎥EAEA⎢−0000 ⎥ll⎥⎢12 EJ6 EJ12 EJ6 EJ ⎥⎢ 00− 3− 223⎢llll ⎥⎢6 EJ2 EJ6 EJ4 EJ ⎥0− 2− 2⎥⎢ 0ll ⎦⎣llДанная матрица жёсткости является матрицей жёсткости элемента-стержня для плоской (двухмерной) задачи. В этом случае в каждом узле элемента-стержня имеется по три степени свободы: двалинейных перемещения и угол поворота.
Элемент-стержень работаетна растяжение-сжатие и на изгиб.Матрица жёсткости в этом случае является разреженной, т.е. содержит большое количество нулевых элементов. Это следствие того,17Основы метода конечных элементовчто растяжение-сжатие и изгиб стержня рассматриваются отдельно, исчитается, что они не влияют друг на друга. Матрица жёсткости также является симметричной относительно главной диагонали и особенной, т.е. её определитель равен нулю.Аналогично строятся матрицы жёсткости для стержня при изгибе в двух плоскостях, а также при действии кручения, т.е. для объёмного (трехмерного) элемента-стержня:[K e ] =⎡ EA⎢ l⎢⎢ 0⎢⎢⎢ 0⎢⎢ 0⎢⎢⎢ 0⎢⎢ 0⎢⎢−EA⎢⎢ l⎢⎢ 0⎢⎢ 0⎢⎢⎢ 0⎢=⎢ 0⎢⎢⎢ 0⎣0000000012EJzl30−6EJzl2000−6EJzl212EJyl36EJyGJxl4EJzl0000000000−12EJzl306EJzl2000−6EJzl26EJyl20000l3l200−12EJy6EJy02l0−GJxl4EJyl0−6EJyl200002EJzl0002EJyl−EAl⎤0 ⎥−12EJy6EJy ⎥⎥0000l3l2 ⎥⎥−12EJz−6EJz0000 ⎥32ll⎥−GJx00000 ⎥⎥l⎥6EJz2EJz0000 ⎥2ll⎥−6EJy2EJy ⎥0000l ⎥l2⎥EA00000 ⎥l⎥−6EJy ⎥12EJy0000l3l2 ⎥⎥12EJz6EJz⎥0000l3l2⎥GJx⎥00000 ⎥l⎥6EJz4EJz⎥,0000l⎥l2−6EJy4EJy ⎥0000⎥l ⎦l20000(1.13)где G – модуль упругости второго рода для материала стержня; Jx –момент инерции кручения для поперечного сечения элемента-стержня; Jy, Jz – моменты инерции для поперечного сечения элементастержня при изгибе относительно осей Y и Z соответственно.В общем случае матрица жёсткости элемента всегда являетсяквадратной и симметричной относительно главной диагонали.
Порядок матрицы жёсткости элемента определяется количеством узловэлемента и количеством учитываемых перемещений в узлах элемента(степеней свободы в узле).18Основы метода конечных элементов1.2.3. Матрица преобразования координатВ п.1.2.2 были получены выражения для матриц жесткости [ K e ]стержневых элементов в собственных или местных системах координат X eY e Z e .
Для описания конструкции в целом используют общуюсистему координат XYZ. Компоненты узловых перемещений {ui } иузловых сил {Fi} для элемента переводят из общей системы координат в местную с помощью матрицы преобразования координат [T]:(1.14){uie } = [T ]{ui },{Fie } = [T ]{Fi }.(1.15)В любой системе координат работа соответствующих компонентсил на их перемещениях постоянна ( ' – транспонирование), т.е.{Fi e }'{uie } = {Fi }'{ui } ,(1.16)Подставляя (1.14) в (1.16), получаем{Fi e }'[T ]{u i } = {Fi }'{u i } ,(1.17)или{Fi } = [T ]'{Fi e } .(1.18)Используя (1.18) с учетом (1.9) и (1.14), найдем:{Fi } = [T ]'[ K e ][T ]{u i } ,(1.19)Откуда[ K ] = [T ]'[ K e ][T ] ,(1.20)где [K] – матрица жёсткости элемента в общей системе координат XYZ.Из выражения (1.15) следует(1.21){Fi } = [T ]−1{Fie } .Сопоставляя (1.21) и (1.18), получаем:[T ]−1 = [T ]' .(1.22)Следовательно, матрица преобразования [T] является ортогональной.Введем матрицу [t ] , состоящую из косинусов углов между осямиX eY e Z e и X, Y, Z:⎡cos( X e∧ X ) cos( X e∧Y ) cos( X e∧ Z )⎤⎢⎥[t ] = ⎢ cos(Y e∧ X ) cos(Y e∧Y ) cos(Y e∧ Z ) ⎥ ,⎢ cos( Z e∧ X ) cos( Z e∧Y ) cos( Z e∧ Z ) ⎥⎣⎦(1.23)19Основы метода конечных элементовв которой значения направляющих косинусов определяются черезкоординаты узлов i и j стержня в общей системе координат (рис.
7):Yi − Y jXi − X je∧e∧cos( X X ) =; cos( X Y ) =и т.д.ll−−−−−Здесь l = √ (Xi − X j)2 + ( Yi −Yj)2 + ( Zi − Zj)2 – длина стержня.Рис. 7. Стержни в общей системе координатНа рис. 8 представлены проекции линейного перемещения узла iна оси координат местных и общих.Рис. 1.8. Составляющие перемещения узла i конструкции вдвух системах координат – общей и местной20Основы метода конечных элементовДля линейных перемещений векторы {uei} и {ui} состоят из трёхкомпонент⎧uixe ⎫⎧uix ⎫⎪⎪⎪ ⎪(1.24){uie } = ⎨uiye ⎬ , {ui } = ⎨uiy ⎬ .⎪u e ⎪⎪u ⎪⎩ iz ⎭iz⎩ ⎭Используя матрицу [t] (1.23), получим:(1.25){uie } = [t ]{ui }.Для пространственных ферм матрица перемещений узла iстержня в местной системе координат включает только перемещениеueix , не равное нулю, а перемещения ueiy = uejz = 0.
Поэтому можно записать{uie } = {uixe } = {uix cos( X e∧ X ) + uiy cos( X e∧Y ) + uiz cos( X e∧ Z )} , (1.26)или{uie } = [t1 ]{ui } ,(1.27)где [t1 ] = [cos( X e∧ X ) cos( X e∧Y ) cos( X e∧ Z )] .Для всего стержня пространственной фермы имеем⎧⎪uie ⎫⎪ ⎡[t1 ] [0] ⎤ ⎧ ui ⎫e{u } = ⎨ e ⎬ = ⎢⎥⎨ ⎬ ,⎪⎩u j ⎪⎭ ⎣[0] [t1 ]⎦ ⎩u j ⎭(1.28)где матрица [t1] определяется выражением (1.27).Следовательно, матрица преобразования [T] для элемента пространственной фермы имеет вид:⎡[t ] [0] ⎤[T ] = ⎢ 1(1.29)⎥.t[0][]⎣1 ⎦Для плоской фермы выражение (1.29) для [T] будет таким же восях координат X eY e и XY, но при этом(1.30)[t1 ] = [cos( X e∧ X ) cos( X e∧Y )] ,eа векторы {u i} и {ui} будут равны:⎧⎪uixe ⎫⎪⎧uix ⎫e{ui } = ⎨ e ⎬ , {ui } = ⎨ ⎬ .⎪⎩uiy ⎪⎭⎩uiy ⎭На рис. 9 представлен элемент плоской рамы в общей и местнойсистеме координат.
В матрице преобразований координат [T] (1.29)подматрица [t1] равна21Основы метода конечных элементов⎡cos( X e∧ X ) cos( X e∧Y ) 0⎤⎢⎥[t1 ] = ⎢ cos(Y e∧ X ) cos(Y e∧Y ) 0⎥ .⎢ cos( Z e∧ X ) cos( Z e∧Y ) 1⎥⎣⎦(1.31)Рис. 9. Стержень, работающий на изгиб и растяжение-сжатие в местной (а)и общей (б) системах координатМатрицу жёсткости элемента [K] вXYZ запишем следующим образом⎡ k11 k12 ... k1 j ...⎢k... k 2 j ...k⎢ 21 22... ... ... ...⎢ ...[K ] = ⎢⎢ ki1 ki 2 ...
kij ...⎢ ...... ... ... ...⎢⎢⎣ kn1 kn 2 ... k nj ...общей системе координатk1n ⎤k2n ⎥⎥... ⎥(1.32)⎥.kin ⎥... ⎥⎥knn ⎥⎦Матрица [K] определяется на основании выражения (1.20). Матрицы жёсткости для одного и того же конечного элемента в общей иместной системе координат имеют одинаковый порядок. Однако,матрица [Ke] состоит из квадратных подматриц.1.2.4. Общая матрица жёсткости конструкцииОбщая матрица жёсткости конструкции формируется из матрицжёсткости отдельных стержней.
Построение её осуществляется в общей системе координат XYZ.Рассмотрим общий случай воздействия внешней нагрузки в видесистемы m сил в m узлах упругого тела. Матрицы нагрузки {F} и перемещений узлов {u} по направлениям сил имеют вид22Основы метода конечных элементов⎧ {F1 } ⎫⎪{F }⎪⎪⎪{F } = ⎨ 2 ⎬⎪ ... ⎪ ,⎪⎩{Fm }⎪⎭⎧ {u1} ⎫⎪{u } ⎪⎪⎪{u} = ⎨ 2 ⎬ .⎪ ...
⎪⎪⎩{um }⎪⎭Они связаны соотношением, аналогичным (1.9):{F } = [ K к ]{u} ,где [ K к ] – матрица жёсткости конструкции.Выражение (1.35) представим в развёрнутом виде⎧ {F1 } ⎫ ⎡ [ K 11 ]⎪{F }⎪ ⎢[ K ]⎪ 2 ⎪ ⎢ 21⎪⎪ ... ⎪⎪ ⎢ ...⎨⎬=⎢F{}⎪ i ⎪ ⎢ [ K i1 ]⎪ ... ⎪ ⎢ ...⎪⎪ ⎢⎪⎩{Fm }⎪⎭ ⎣⎢[ K m1 ]узле:[ K 12 ] ... [ K 1i ] ... [ K 1m ] ⎤ ⎧ {u1 } ⎫[ K 22 ] ... [ K 2i ] ... [ K 2 m ]⎥⎥ ⎪⎪{u 2 }⎪⎪............... ⎥ ⎪⎪ ... ⎪⎪⎥⎨⎬[ K i 2 ] ... [ K ii ] ... [ K im ] ⎥ ⎪ {u i } ⎪ ................
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
