Пособие по МКЭ (864300), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Как правило, этипорталы являются двухстоечными, они менее чувствительны к неровностям пути и погрешностям изготовления. Современные методырасчета и внедрение ЭВМ в практику проектирования позволяютприменять расчетные схемы, отражающие реальную работу металлоконструкции, и с высокой степенью достоверности исследовать работу крановых металлоконструкций для удовлетворения условиямпрочности и деформативности.
Для более глубокого понимания какметодов расчёта, так и работы проектируемой металлоконструкции,при обучении инженеров необходимо уделять внимание и аналитическим, и численным методам расчёта.Отличительными особенностями проектного расчета являютсямножественность вариантов решения и неполнота исходных данных,необходимых для выполнения расчета, т.е.
неопределенными являются точный вес конструкции и динамические нагрузки, посколькуони зависят, в том числе, и от размеров поперечных сечений несущихэлементов конструкции. Поэтому расчет приходится проводить сприменением последовательных приближений, определяя в результате наиболее оптимальные размеры поперечных сечений. Проверочные расчеты выполняют параллельно с окончательной конструктивной проработкой крана. Они включают проверку прочности отдельных конструктивных элементов и их соединений, проверку местной иобщей устойчивости, деформативности.8Основы метода конечных элементов1.1.
Краткие сведения о методе конечных элементовОсновная идея МКЭ состоит в том, что любую непрерывную величину, такую как температура, перемещение, давление и т.п., можноаппроксимировать дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечномчисле подобластей. Основные зависимости метода конечных элементов основываются на следующих предпосылках и допущениях:• непрерывная величина (перемещение, напряжение, температура и т.п.) заменяется кусочно-непрерывной дискретной моделью;• кусочно-непрерывные функции определяются с помощьюзначений непрерывной величины в конечном числе точек рассматриваемой расчетной области, сама область разбивается на конечноечисло подобластей, называемых конечными элементами;• свойства материалов смежных конечных элементов могут небыть одинаковыми, однако свойства материала внутри одного элементаодинаковы и постоянны во время выполнения одного расчетного шага.МКЭ при своей реализации в качестве начального шага требует разбиения рассматриваемой области на элементы одномерные,двухмерные (плоские или осесимметричные), трёхмерные с фиксированием конечного числа точек.
Некоторые трехмерные конечныеэлементы представлены на рис. 1.Для любого конечного элемента значение непрерывной величины Φ (температуры, перемещения, координаты и т.д.) в произвольной точке элемента определяются через узловые значения посредством функций формы следующим образом:n{Φ} = ∑ N i Φ i = [ N ]{Φ узл },i =1где n - число узлов, в которых известно значение непрерывнойвеличины; Ni - функция формы i-го узла; Φi - значение непрерывнойвеличины Φ в i-м узле; [N] – прямоугольная матрица функций формыэлемента; {Φузл} - вектор узловых значений величины Φ.Функции формы Ni называются так, потому что эти функции содержат только переменные, зависящие от координат узлов.
Функцииформы обычно записывают в местной системе координат, связаннойс элементом, что позволяет упростить интегрирование при получениисистемы уравнений для узловых значений неизвестных величин.9Основы метода конечных элементовРис. 1. Примеры трёхмерных конечных элементовДостигаемое за счёт использования местной системы координатувеличение гибкости аппроксимации элементом пространства не лишено недостатков. Для выполнения расчётов теперь приходится применять численные методы интегрирования, что приводит к заметномуросту необходимого для получения результатов времени, причем этовремя пропорционально числу узлов элемента в третьей степени.1.2.
Метод конечных элементов для стержневых системВ последние десятилетия среди численных методов метод конечных элементов получил широкое распространение применительнок расчету металлических конструкций кранов. Данный метод базируется на представлении конструкции в расчетной схеме в виде совокупности отдельных конструктивных элементов, соединенных в конечном числе узловых точек.
В узловых точках прикладываются некоторые фиктивные силы взаимодействия элементов, определяющиедействие внутренних напряжений, и силы от внешней нагрузки.В сплошной среде число точек связи бесконечно, что представляет определенные трудности с точки зрения разбиения тела на элементы.Применительно к непрерывным средам МКЭ – приближенный метод.При рассмотрении стержневых систем на основе допущений, принятыхв строительной механике, определение напряженно-деформированногосостояния с помощью метода МКЭ является точным.10Основы метода конечных элементовНа рис. 2,а представлена плоская ферма, нагруженная в узлах,на рис. 2,б - узловые перемещения в общей системе координат XY, ана рис. 2,в - узловые перемещения для отдельных элементов в общейсистеме координат и местные системы координат XeYe.Рис.
2. Схема разбивки фермы на отдельные элементыНа рис. 3,а изображена плоская рама под нагрузкой, на рис. 3,бпоказаны узловые перемещения (без учета действия продольных сил)конструкции в общей системе координат, а на рис. 3,в - узловые перемещения для отдельных элементов в местных системах координат XeYe.Каждому узловому перемещению соответствует своя сила. Совокупность этих сил определяет влияние смежных элементов (стержней) конструкции на рассматриваемый элемент.Упругие свойства отдельных элементов, на которые разбиваются конструкции, описываются матрицей податливости или матрицейжесткости в зависимости от того, какой способ расчета применяется,способ сил или способ перемещений. Эти матрицы определяют связьмежду узловыми силами и узловыми перемещениями рассматриваемого конечного элемента.МКЭ широко использует матричные преобразования.
Необходимые сведения из матричной алгебры приведены, например, в [22].11Основы метода конечных элементов1.2.1. Матрица податливости элементаРассмотрим получение матрицы податливости для элементастержня, имеющего постоянное по длине поперечное сечение.Рис. 3. Схема разбивки рамы на отдельные элементыНа рис. 4,а представлен элемент-стержень, воспринимающийобобщенную силу F2ej , которой соответствует обобщенное перемещение u2e j :(1.1)u2e j = F2ej l / EA или {u2e j } = [δ ]{F2ej } ,где [δ] = [l/EA] – матрица (размерностью 1×1) коэффициентов податливости стержня длиной l и площадью поперечного сечения A, воспринимающего только продольную силу и изготовленного из материала с модулем упругости E.Здесь и далее для сил и перемещений нижние первые знаки указывают номер фиксированного направления силовых воздействий иперемещений, а вторые - номер узла.
Порядок матрицы податливостиотдельного элемента-стержня определяется числом независимых сил,12Основы метода конечных элементовприложенных к нему. На рис. 4,б показан стержень, нагруженный вузлах изгибающими моментами F1ej и F2ej . Направления действиямоментов и угловых перемещений соответствуют положительнымзначениям. При учете только угловых перемещений будем иметьматрицу податливости второго порядка.
Угловые перемещения узловв данном случае находят следующим образом:u1ej = δ11F1ej + δ12 F2ej ,u2e j = δ 21F1ej + δ 22 F2ej ,что соответствует матричной форме⎧⎪ u1ej ⎫⎪ ⎡δ11 δ12 ⎤ ⎧⎪ F1ej ⎫⎪⎨ e ⎬=⎢⎥⎨ e ⎬ .δδ⎪⎩u2 j ⎪⎭ ⎣ 21 22 ⎦ ⎪⎩ F2 j ⎪⎭(1.2)Рис. 4. Деформированные состояния стержня для метода сил прирастяжении-сжатии (а) и изгибе (б)Углы поворота при действии единичных изгибающих моментовв опорных сечениях определяют по формуле Мора:δ11 = δ 22 = l /(3EJ ) , δ12 = δ 21 = l /(6 EJ ) ,(1.3)где l – длина стержня; E – модуль упругости материала стержня; J –момент инерции поперечного сечения стержня при изгибе.Подставляя (1.3) в выражение (1.2), получаем:e⎧⎪ u1e j ⎫⎪⎧⎪ F1ej ⎫⎪l ⎡ 2 − 1⎤ ⎧⎪ F1 j ⎫⎪(1.4)⎨ e ⎬=⎥ ⎨ e ⎬ = [δ ]⎨ e ⎬ ,⎢⎪⎩u2 j ⎪⎭ 6 EJ ⎣− 1 2 ⎦ ⎪⎩ F2 j ⎪⎭⎪⎩ F2 j ⎪⎭где [δ] – матрица податливости прямолинейного стержня постоянногосечения при изгибе.13Основы метода конечных элементовПри действии на стержень одной пары сил порядок матрицы податливости понижается до первого, т.е.l[δ ] =[1] .(1.5)6 EJМатрицы податливости применяются при расчете методом сил.1.2.2.
Матрица жёсткости элементаРассмотрим получение матрицы жёсткости для элемента стержня при растяжении-сжатии (рис. 5).Рис. 5. Деформированные состояния стержня (метод перемещений)при осевом растяжении-сжатии (а) и изгибе (б)Имеем две обобщенные силы F1ei и F2ej , которым соответствуютперемещения: u1ei – линейное перемещение левого узла вдоль осистержня; u2e j –линейное перемещение правого узла вдоль оси стержня.Обобщенные силы связаны с перемещениями следующим образом:EA e EA eF1ei =u1i −u2 j ,llEA e EA eF2ej = −u1i +u2 jllили⎧⎪ F1ei ⎫⎪ ⎡ 1 − 1⎤ ⎧⎪ u1ei ⎫⎪⎧ e⎫e ⎪ u1i ⎪(1.6)⎨ e ⎬=⎢⎥ ⎨u e ⎬ = K ⎨u e ⎬ ,−11F⎪⎩ 2 j ⎪⎭ ⎣⎪⎩ 2 j ⎪⎭⎦ ⎪⎩ 2 j ⎪⎭[ ]14Основы метода конечных элементовгде [ K e ] – матрица жёсткости прямолинейного элемента-стержня прирастяжении-сжатии.Представленный на рис.
5,а стержень не закреплён в пространстве, поэтому каждое узловое перемещение u1e j или u2e j зависит от неопределённых перемещений стержня как твердого тела. Степень свободы стержня (рис. 5,а) равна единице. При этом матрица жесткости[ K e ] стержня будет особенной. Ранг матрицы меньше её порядка начисло степеней свободы стержня как твердого тела. Для исключенияперемещений стержня как твердого тела следует ввести кинематическое закрепление в одном из узлов по направлению обобщенной узловой координаты X e . Исключение из матрицы [ K e ] строки и столбца,соответствующих узловому перемещению, на которое наложена кинематическая связь, делает матрицу жесткости [ K*e ] неособенной.Полагая u1ej = 0 или u2e j = 0, получим:EA[ K*e ] =[1] .(1.7)lИз сопоставления матрицы податливости (1.5) и неособеннойматрицы жесткости (1.7) для стержня, нагруженного продольной силой, имеем:[ K*e ] = [δ ]−1 ,т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
