Курс лекций дисциплины вариативной части математического и естественнонаучного цикла (855805), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Следовательно, синусоиды с частотами f 0 и f 0 + mf s64невозможно различить по дискретной последовательности чисел с частотойдискретизации fs (в этом случае частоты со значениями f 0 + mf s при m>0называютложными).Этофундаментальноесвойстводискретнойпоследовательности, которое приводит к более общему утверждению:поскольку каждая гармоническая составляющая любого сигнала имеетнесколько копий, то спектры сложных сигналов (состоящих из множествагармоник) также являются периодичными – с частотой повторения равнойчастотедискретизации(вчастности,этоследуетизопределенияпреобразования Фурье).Для снятия неопределенности необходимо чтобы сигнал не содержалгармонических составляющих с частотой более 0.5 f s , эту величину называютчастотой Найквиста.

Действительно, множество возможных значений m,определяющих величины ложных частот f 0 + mf s , при ограниченной полосе0.5 f s есть нулевой элемент.Итак, дискретный сигнал имеет периодический спектр. Это приводит ктому, что у каждой гармонической составляющей спектра существуетбесконечное множество копий отстоящих от оригинала на величину частотыдискретизации.Рассмотрим периодический сигнал x(t ) , дискретный спектр X ( )которого ограничен частотой fв. Выполним дискретизацию сигнала x(t ) счастотой дискретизации fs – рис.

2.8.|X(f)||X(f)|копиякопияf-fв0fв-0.5 fs -fв 0 fв 0.5fsfsfРис. 2.8 – Спектры аналогового сигнала x(t) (слева) и дискретногосигнала x(kts) (справа)fs+ fвДалее, постепенно уменьшая частоту дискретизации (при неизменном сигналеи значении fв), можно видеть, что спектры исходного сигнала и его копий65сближаются и пересекутся при f s ≤ 2 f в – возникнет наложение спектров(aliasing) – рис.

2.9.|X(f)|копия-fвкопия0fвfsfРис. 2.9 – Искажение спектра сигнала при недостаточновысокой частоте дискретизацииНаглядным примером наложения может служить иллюзия, когда колесоавтомобиля (велосипеда, кареты и т.п.) начинает вращаться против егодвижения, если между последовательными кадрами оно совершает более чемполовины оборота.Пример.Сигналx(k ) = sin (2f 0 kt s ) + 0.2 sin (8f 0 kt s ) ,содержащийпервуюичетвертую гармоники (f0=1 кГц), дискретизирован с частотой fs. Рассмотримдва случая, определив спектр сигнала и сопоставив его с временной функцией(исходным сигналом), результаты представлены на рис. 2.10 и рис. 2.11.66x(k)1) fs=12 кГц (fs>2fв), наложение отсутствует – сигнал не искажаетсяX(f)Время (индекс k)f, ГцПолоса сигналаКопия спектраРис.

2.10 – Дискретный сигнал x(k) при fs=12 кГц и его спектрКак и следовало ожидать, спектр периодического сигнала дискретен исодержит ровно столько частотных компонент (в полосе частот 0.5fs)сколько гармоник присутствует в исходном сигнале.67x(k)2) fs=7 кГц (fs<2fв), присутствует искажение спектраВремя (индекс k)X(f)Ось симметрии спектра 0.5fsЛожная частотаf, ГцПолоса исх. сигналаxиск (k ) = sin (2f 0 kt s ) + 0.2 sin (6f 0 kt s )x(k)xиск(t)Время (индекс k)Рис.

2.11 – Дискретный сигнал x(k) при fs=7 кГц, его искаженный спектр исигнал во временной области соответствующий искаженному спектруИскажение спектра из-за эффекта наложения приводит к неправильнойтрактовке гармонического состава исходного сигнала.68Теорема отсчетовТеорема отсчетов (также известна как теорема Котельникова (1933),Найквиста (1928), Шеннона (1949)) устанавливает условия и способоднозначногопредставлениядискретногосигнала.В1999годуМеждународный научный фонд Эдуарда Рейна (Германия) признал приоритетВ. А.

Котельникова.Теорема отсчетов.Если аналоговый сигнал x(t ) имеет финитный (ограниченный по ширине)спектр (верхняя частота сигнала – fв), то он может быть восстановленоднозначно и без потерь по своим дискретным отсчётам, взятым с частотойдискретизации строго большей удвоенной верхней частоты сигнала:f s > 2 fв .Восстановление аналогового сигнала по дискретным отсчетам при0 < ts <x(t ) =1возможно по интерполяционной формуле:2 fвsin (f (t − kt ))∑ x(kt s ) f (st − kt )s .∞k = −∞s(*) Выражениеssin ( x )известно как sinc функция – рис. 2.12.xsinc(x)Главный лепестокБоковые лепесткиxРис.

2.12 – График sinc функции692.2 Дискретное преобразование ФурьеДискретное преобразование Фурье (ДПФ) – распространенная процедурацифровой обработки сигналов. ДПФ позволяет реализовать операции ссигналами, которые недоступны при аналоговой их обработке. ДПФ – этоматематическая операция, позволяющая определить спектр дискретногосигнала.Дискретный сигнал xд (t ) можно представить суммой произведенияотсчетов на сдвинутые во времени дельта-функции (в виде решетчатойфункции):∞∞k = −∞k = −∞xд (t ) = ∑ x(kt s ) (t − kt s ) = ∑ x(t ) (t − kt s ) ,где x(t ) – непрерывный сигнал (до дискретизации).Спектр такого сигнала (необходимо взять преобразование Фурье):X д ( ) =∞∞x(kt s ) (t − kt s ) e∫ k∑= −∞−∞− j tdt =∞∞k = −∞−∞∑ x(kt s ) ∫ (t − kt s ) e − jt dt .Применяя фильтрующее свойство дельта функции получим:X д ( ) =∞∑ x(kt s ) e − jkts– спектральная плотность дискретного сигнала.k = −∞Если входной сигнал периодичен (или мы полагаем, что он периодичен:на периоде сигнала T взято N отсчетов с периодом дискретизации ts), то всоответствии со свойствами преобразования Фурье спектр дискретен и тоже2– расстояние междуN tsпериодичен (разрешение по частоте составляетсоседними частотными отсчетами, которые часто называют бинами):2 k−jnt s 2  N −1 2f sNt s()X k=xnte=X± 2f s  .k∑s N N t s  n =0Для удобства записи значение ts в аргументах функций опускают,N −1оставляя только индексы отсчетов: X (k ) = ∑ x(n )en =0−j2 knN, где k ∈ [0, N − 1] .70Величина X (k ) является спектральной плотностью сигнала (являетсякомплексной величиной).

Но на практике интересен спектр сигнала,характеризующий амплитудный и/или фазовый состав сигнала. Для этогоспектральную плотность нормируют. В частности, придавая физическийсмысл нулевой гармонике – как постоянной составляющей сигнала получаютследующее выражение для ДПФ (которое часто можно встретить в1литературе): X (k ) =NN −1∑ x(n ) e−j2 knNn =0, k ∈ [0, N − 1] .N −1Обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ): x(n ) = ∑ X (k ) ej2 nkN.k =0Таким образом, ДПФ – взаимное однозначное преобразование Nотсчетов одной области (пространства) в N отсчетов в другой области.Основные свойства ДПФ:1. Сопряженная симметрия – для любого вещественного сигнала x(n):X (k ) = X ( N − k )*2. Линейность: x(n ) = ax1 (n ) + bx2 (n ) ↔X (k ) = a X 1 (k ) + b X 2 (k )3.

Циклический сдвиг сигнала на m позиций вправоX = {x0 , x1 , x2 ,, x N −2 , x N −1 } → X′ = {x N −m ,, x N −2 , x N −1 , x0 , x1 ,, x N −m−1 }Y = F {X} Y′ = F {X′}y′k = y k e−j2 kmN, т.е. спектр циклически сдвинутогосигнала есть исходный спектр с измененными фазами спектральныхсоставляющих.(*) сдвиг влево: y ′ k = y k ej2 kmN.Следствие: амплитудный спектр сигнала инвариантен к сдвигу.4. ДПФ сверткиСвертка дискретных сигналов A = {a0 , a1 ,, a N −1 }; B = {b0 , b1 ,, bN −1 }N −1N −1j =0j =0ck = ∑ a j bk − j = ∑ ak − j b jam = 0 и bm = 0 если m < 0 или m ≥ Nk = 0,1,,2 N − 171C = A∗B ↔F {C} = 0.5 N F {A}F {B}:c k = 0 .5 N a k b kПример расчета спектра.Рассмотрим дискретный периодический сигнал с частотой первойгармоники f0 и периодом дискретизации ts:x(k ) = 2 sin (2f 0 kt s ) + sin (6f 0 kt s + 45°) .Вычислим ДПФ сигнала с длиной выборки N=16 отсчетов при fs=400 Гц длядвух случаев: f0=50 Гц и f0=60 Гц (разрешение преобразования Фурье почастоте в этом случае составляетfs=25 Гц, условия теоремы КотельниковаNвыполняются f s > 2 f в ):2 n−jk1 151 151 15 n  n X (n ) = ∑ x(k )e 16 = ∑ x(k )cos k  − j ∑ x(k )sin  k  , n ∈ [0, 15] .N k =0N k =0N k =0 8  8 Теоретически ожидается, что в результате расчета дискретного спектра вчастотной полосе 200 Гц в каждом случае будет две ненулевые составляющиесоответствующие первой и третьей гармоникам.1) f0=50 ГцX (0 ) =1 15∑ x(k ) = 016 k =0X (1) =1 151 15  ()xkcosk−jx(k )sin  k  = 0∑∑16 k =016 k =08 8 X (2 ) =1 151 15  x(k )cos k  − j ∑ x(k )sin  k  = − j1∑16 k =016 k =04 4 1 151 15 3  3 X (3) = ∑ x(k )cos k  − j ∑ x(k )sin  k  = 016 k =016 k =0 8  8 X (4 ) =1 151 15  ()xkcosk−jx(k )sin  k  = 0∑∑16 k =016 k =02 2 X (5) =1 151 15 5  5 ()xkcosk−jx(k )sin  k  = 0∑∑16 k =016 k =0 8  8 X (6 ) =1 151 15 3  3 x(k )cos k  − j ∑ x(k )sin  k  = 0.3535 − j 0.3535 = 0.5∠ − 45°∑16 k =016 k =0 4  4 72X (7 ) =1 151 15 7  7 ()xkcosk−jx(k )sin  k  = 0∑∑16 k =016 k =0 8  8 X (8) =1 151 151 15()()()()(− 1)k x(k ) = 0xkcosk−jxksink=∑∑∑16 k =016 k =016 k =0X (9 ) =1 151 15 9  9  1 15 kx(k )cos k  − j ∑ x(k )sin  k  = ∑ (− 1) x(k )cos k  −∑16 k =016 k =0 8  8  16 k =08 − j1 15(− 1)k x(k )sin  k  = 0∑16 k =08 1 151 15 5  5  1 15 kX (10 ) = ∑ x(k )cos k  − j ∑ x(k )sin  k  = ∑ (− 1) x(k )cos k  −16 k =016 k =0 4  4  16 k =04 1 15 k− j ∑ (− 1) x(k )sin  k  = 0.3535 + j 0.3535 = 0.5∠45°16 k =04 1 151 15 11  11  1 15 3 k()()xkcosk−jxksink  = ∑ (− 1) x(k )cos k  −∑∑16 k =016 k =0 8  8  16 k =0 8 X (11) =1 15 3 k− j ∑ (− 1) x(k )sin  k  = 016 k =0 8 X (12 ) =1 151 15 3  3  1 15 k()()xkcosk−jxksin k  = ∑ (− 1) x(k )cos k  −∑∑16 k =016 k =0 2  2  16 k =02 − jX (13) =1 15(− 1)k x(k )sin  k  = 0∑16 k =02 1 151 15 13  13  1 15 5 kx(k )cosk  − j ∑ x(k )sin k  = ∑ (− 1) x(k )cos k  −∑16 k =016 k =0 8  8  16 k =0 8 − j1 15(− 1)k x(k )sin 5 k  = 0∑16 k =0 8 1 151 15 7  7   1 15 3 kX (14 ) = ∑ x(k )cos k  − j ∑ x(k )sin  k  = ∑ (− 1) x(k )cos k  −16 k =016 k =0 4  4  16 k =0 4 1 15 3 k− j ∑ (− 1) x(k )sin  k  = j116 k =0 4 X (15) =1 151 15 15  15  1 15 7 k()()xkcosk−jxksink  = ∑ (− 1) x(k )cos k  −∑∑16 k =016 k =0 8  8  16 k =0 8 1 15 7 k− j ∑ (− 1) x(k )sin  k  = 016 k =0 8 73x(t)2πωtX(n)n50 Гц150 Гц0.5fsРис.

2.13 – Временное и частотное представление сигнала x(k) при f0=50 ГцВывод: спектр соответствует ожиданиям и гармоническому составу сигнала.Отметим,плотность.чтографикПоэтомудляпоказываетопределениянормированнуюамплитудсигналаспектральнуюнеобходимонормированную спектральную плотность умножить на 2, т.к. каждаягармоника представляется суммой экспонент половинной амплитуды (Am):Am sin ( x ) =Am jx(e − e − jx )2икаждойэкспонентевовременнойобластисоответствует дискретная дельта функция в частотной области с половиннойамплитудой. Таким образом, амплитуда первой гармоники (частота 50 Гц)имеет величину 2, а амплитуда третьей гармоники (частота 150 Гц) – 1.Гармоники с номерами 10 и 14 – являются симметричными (строго говоря, это«проявление» гармоник с отрицательной частотой).742) f0=60 Гц (расчет производится по тем же формулам, что и в п.1)x(t)2πωtX(n)n50 Гц150 Гц0.5fsРис.

Характеристики

Список файлов лекций