Курс лекций дисциплины вариативной части математического и естественнонаучного цикла (855805), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

2.14 – Временное и частотное представление сигнала x(k) при f0=60 ГцВывод: спектр несоответствует ожиданиям, но, если выполнить ОДПФ, тополучим исходную временную функцию.Явление, наблюдаемое на рис. 2.14, известно как утечка спектра(размытие спектра). Эффект связан с тем, что частота гармоники (сигнала) некратна разрешению преобразования Фурье по частоте (в данном примеревеличина 60 Гц некратна 25 Гц). Поэтому такая гармоника не можетотображатьсявдискретномспектре,чтоприводиткаддитивномураспределению ее энергии по соседним частотным отсчетам (бинам).Другими словами, некратность частоты сигнала и разрешения ДПФ почастоте приводит к тому, что в выборке сигнала во временной областисодержится не целое число периодов сигнала (в данном примере: 2.4 периода).При вычислении ДПФ предполагаются бесконечные пределы интегрирования75– для периодического сигнала – аналитическое продолжение.

В результатеобразуется скачек – рис. 2.15, что эквивалентно умножению функции вовремени на сигнал прямоугольной формы. Это, в свою очередь, приводит ксвертке спектра исходного сигнала и спектра прямоугольного сигнала, что инаблюдается в частотной области в виде эффекта размытия.x(t)исходная выборка сигнала длиной Nаналитическое продолжениеωtРис. 2.15 – Интерпретация конечной выборки сигнала как периодическойпоследовательности762.3 Методы преодоления эффекта утечки спектраДля устранения утечки спектра необходимо, чтобы в выборке сигнала(подлежащего к вычислению спектра) содержалось целое число периодовсигнала, так чтобы при аналитическом продолжении выборки не возникалоскачка (разрыва функции). Таким образом, если частота сигнала известна, товозможно выбрать такую частоту дискретизации и/или длину выборки, чтобыобеспечить отсутствие эффекта утечки спектра.Однако на практике, частота сигнала, подлежащего анализу, частонеизвестна (или известна с погрешностью) или требуется анализироватьсигналы с разной частотой.

В этом случае возникает задача минимизацииэффекта. Для этого применяют один из двух методов: взвешивание сигнала окном; передискретизация сигнала.2.3.1 Окна анализаДля предотвращения образования разрыва сигнала при аналитическомпродолжении его выборку взвешивают окном анализа (умножают отсчеты вовременной области на специально подобранную функцию). Этим добиваются,чтобы на краях выборки отсчеты имели нулевое значение (близкое к нулю). Насамом деле, всякий раз, при рассмотрении конечной выборки сигналаполучается, что к сигналу применяется прямоугольное окно (все отсчетысигнала по умолчанию умножаются на 1 и на 0 – за пределами длительностивыборки). При этом в случае некратности частоты сигнала и разрешения почастоте, осцилляции спектральных составляющих описываются функцией sinc,которая представляет собой преобразование Фурье от прямоугольнойфункции.Таким образом, с учетом применения окна анализа w(k), ДПФ длясигнала длительностью N отсчетов имеет вид:1X w (m ) =NN −1∑ w(k ) x(k ) e−j2 mkN.k =077В нижеследующей таблице приводятся наиболее распространенные окнаанализа.

Параметрами окна считают:- ширину главного лепестка;- уровень бокового лепестка по отношению к главному;- положение первого минимума.№Тип окна w(n )Таблица 2. Окна анализаГрафик(временная и частотная области)1 Прямоугольное1, 0 ≤ n < N0, иначе• уровень бокового лепестка: -13.3 дБ• положение первого минимума: fs/N2 Треугольное 2n N , 0 ≤ n < 0 .5 N2n2 − , 0.5 N ≤ n < NN0, иначе• уровень бокового лепестка: -26.5 дБ• положение первого минимума: 2fs/N783 фон Ханна (Хеннинга) 2n , 0 ≤ n < N0.5 − 0.5 cos N − 10, иначе• уровень бокового лепестка: -31.5 дБ• положение первого минимума: 2fs/N4 Хемминга 2n , 0 ≤ n < N0.54 − 0.46 cos N − 10, иначе• уровень бокового лепестка: -42.6 дБ• положение первого минимума: 2fs/N6 Блэкмана 2n  4n 0.42 − 0.5 cos N − 1  + 0.08 cos N − 1 ,0≤n< N0, иначе• уровень бокового лепестка: -58.1 дБ• положение первого минимума: 3fs/N797 Кайзера2  2n−N+1 I0  1 −    N − 1  , 0≤n< N()I00, иначеβ=7где I0 – модифицированная функция Бесселяпервого рода нулевого порядка, β – параметр,определяющий долю энергии в главномлепестке (чем больше величина - тем ширеглавный лепесток и меньше уровень боковыхлепестков, обычно β=2÷9• уровень бокового лепестка: -29.9 дБ• положение первого минимума: 1.63fs/NИзвестны также окна Чебышева, Барлетта, Тьюки, гауссово окно и различныелинейные комбинации рассмотренных выше окон (Барлетта-Ханна, БлэкманаХарриса и т.п.).Каждое окно по своим параметрам является компромиссом междушириной главного лепестка (разрешающей способностью по частоте) иуровнем боковых лепестков.

Сравнение окон по параметрам осуществляетсяотносительно прямоугольного окна.Прямоугольные окна обеспечивают хорошее разрешение по частоте иполезны, таким образом, для оценки типа гармоник, присутствующих всигнале. Поскольку затухание прямоугольного окна в частотной областиописываетсяsincфункцией,онивводятнекотороеослабление.Альтернативные функции с меньшим ослаблением (с плоской вершиной и80Блэкмана-Харриса) дают максимальную амплитуду, жертвуя разрешением почастоте. Окна Хемминга и фон Ханна (Хеннинга) наиболее приемлемы дляобщего применения на непрерывных сигналах.

В частности, поэтому они поумолчанию применяются во всех цифровых осциллографах.Например, применив к сигналу x(k ) = 2 sin (2f 0 kt s ) + sin (6f 0 kt s + 45°) (счастотойf0=50 и 60 Гц, ts-1=400 Гц) окно Хеннинга можно получитьследующую аппроксимацию спектра сигнала (длина выборки N=64) – рис.2.16и рис. 2.17 – тот же сигнал с прямоугольным окном.Рис. 2.16 – Спектры сигнала с окном Хеннинга при f0=50 Гц (слева) и f0=60 Гц (справа)Рис.

2.17 – Спектры сигнала с прямоугольным окном при f0=50 Гц (слева) и f0=60 Гц(справа)81В идеальном случае основной лепесток окна должен быть как можноболее узким и плоским, чтобы эффективно дискриминировать все частотныекомпоненты, а боковые лепестки должны иметь бесконечное ослабление.2.3.2 Передискретизация сигналаДляпреодоленияэффектаутечкиспектравыполняютпередискретизацию сигнала, т.е. изменяют число дискретных отсчетов напериоде сигнала. Этот подход требует знания частоты сигнала, котораяаприори неизвестна, а измеряется с погрешностью. Поэтому, на практике,удается лишь эффективно минимизировать утечку. В общем случае дляреализации передискретизации сигнала (повышения частоты дискретизацииили ее понижения) применяется интерполирование (обычно на практике:линейноеиликвадратичное).Вчастныхслучаяхможнообойтисьдискретными операциями децимации и/или интерполяции.Децимация цифрового сигналаДецимация дискретной последовательности (цифрового сигнала) навеличину M есть прореживание последовательности (понижение частотыдискретизации в M раз), при котором из исходного множества отсчетовберется только каждый M-ый отсчет – рис.

2.18.Исходная последовательность, частота дискретизации fsx(0)x(1)x(2)...x(M-1)x(M)x(M+1)...x(n)y(0)y(1)y(2)...x(2M)↓M...y(k)Прореженная последовательность, частота дискретизации fs/MРис. 2.18 – Децимация дискретного сигналаПри выполнении децимации следует помнить об уменьшении частотыдискретизации сигнала, что может привести к наложению спектра. Дляпредотвращения наложения необходимо чтобы выполнялись условия теоремыКотельникова:fs> 2 f в , где fs – частота дискретизации исходного сигнала, fв –M82верхняя частота исходного сигнала, M – порядок децимации. Рис.

2.19наглядно иллюстрирует сближение спектральных компонент при децимации.Случай: fs>2Mfв (M=3)fвfs/3fвfs/3fs2fs/33fs/3Случай: fs<2Mfв (M=4)fв fs/4fsfв fs/4 fs/2fsРис. 2.19 – Спектры сигнала до и после децимацииОперация децимации является неинвариантной во времени и не влияетна амплитуду сигнала.Зададим сигнал: x(n ) = {x(0 ), x(1), x(2 ), x(3), x(4 ), x(5), x(6 ),}, выполнимпрореживание на M=3: y (n ) = {x(0 ), x(3), x(6 ), x(9 ), x(12 ),}.Задержим исходный сигнал (последовательность) на один отсчет:x1 (n ) = {x(1), x(2 ), x(3), x(4 ), x(5), x(6 ),}, выполнив прореживание сигнала x1 наM=3, получим последовательность: y ′(n ) = {x(1), x(4 ), x(7 ), x(10 ),}, которая неявляется задержанной на один отсчет копией последовательности y (n ) , т.е.ожидаемым множеством отсчетов {x(3), x(6 ), x(9 ), x(12 ),} .Интерполяция цифрового сигналаИнтерполирование – это процесс повышения частоты дискретизации.Для увеличения последней в M раз, необходимо между каждой парой отсчетовисходного сигнала x(n ) добавить M-1 отсчет.

Наx(n)практике в исходную последовательность вводят нули.↑My(k)Рассмотрим сигнал: x(n ) = {x(0 ), x(1), x(2 ), x(3), x(4 ), x(5), x(6 ),}.Интерполируем его в M=3 раз, получим новую последовательность:y (k ) = {x(0 ),0,0, x(1),0,0, x(2 ),0,0, x(3),0,0, x(4 ),0,0, x(5),0,0, x(6 ),0,0,}.83Соответственно частота дискретизации нового дискретного сигнала y (k ) в 3раза больше частоты дискретизации (fs) исходного сигнала x(n ) . Послевведения дополнительных отсчетов и соответственно увеличения частотыдискретизации для получения правильного спектра необходимо удалитьненужные копии спектра исходного сигнала, которые называются фантомамиили изображениями – рис.2.20.Спектр исходного сигнала счастотой дискретизации fsfвfs2fs3fsфантомыСпектр интерполированногосигнала (М=3), частотадискретизации Fs=3fsfвfs2fs3fs=FsСпектр исходного сигналапосле интерполяции (М=3),частота дискретизации Fs=3fsfвfs2fsFsРис.

2.20 – Спектры сигнала до и после интерполяцииПример.Изменить частоту дискретизации сигнала в 1.5 раза.x(t)↑3y(t)↓2v1xv2fвfsfвfsfвfs 1.5fs3fsfвfs 1.5fs3fsv1ФНЧс линейной фазой2fs3fsv2АЧХФНЧfвfsyРис. 2.21 – Процесс изменения частоты дискретизации сигнала в 1.5 раза84Раздел 3. Системы обработки сигналовВ самом общем случае под системой обработки сигналов понимаетсякакой-либо преобразователь входных сигналов в выходные сигналы.

Характеристики

Список файлов лекций