Курс лекций дисциплины вариативной части математического и естественнонаучного цикла (855805), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Информационные случайные сигналыпредставляют собой осмысленные сообщения, получаемые какой-либостатистической моделью.Строго математически, случайный процесс (или случайный сигнал) x(t )– это функция, характеризующаяся тем, что значения, принимаемые ею влюбой момент времени t, являются случайными величинами.До регистрации (приема) случайного сигнала, его следует рассматриватькак случайный процесс, который представляет собой ансамбль функцийвремени. Одна из этих функций после регистрации (приема) сигналастановится известной и называется реализацией случайного процесса.Типичнымипримерамислучайногосигналаявляютсязвуковыеколебания (например: речь другого относительно нас человека, шумводопада), колебания температуры в какой-либо местности, сила ветра,колебания частоты в городской электросети, уровень пульсаций напряженияна выходе генератора, ошибка округления чисел при представлении вконечной разрядной сетке и т.п.1.8.1 Вероятностные характеристики случайных сигналовПусть X (t ) – случайный процесс, заданный ансамблем реализаций{ x1 (t ) , x 2 (t ) , …, x k (t ) , …}.

Выберем произвольный момент времени t1 иполучимсовокупность(вектор){ x1 (t1 ) ,x 2 (t1 ) ,…,x k (t1 ) ,…},представляющую собой случайную величину X (t1 ) .44Функция распределения вероятности (cumulative distribution function),обозначаемая как F ( x, t1 ) , равна вероятности того, что в момент времени t1значение случайного процесса не превосходит x: F ( x, t1 ) = P( X (t1 ) ≤ x ) .Функция F ( x, t1 ) является неубывающей и лежит в диапазоне [0, 1].

Вчастности: F (− ∞, t1 ) = 0 и F (∞, t1 ) = 1 .Вероятность попадания значения случайного процесса в интервал (a, b]равна разности значений функции распределения на концах этого интервала:P(a < X (t1 ) ≤ b ) = F (b, t1 ) − F (a, t1 ) .Плотность вероятности представляет собой производную от функциираспределения: p( x, t1 ) =∂F ( x, t1 ).∂xМатематическое ожидание случайного процесса:+∞m x (t ) = M {X (t )} = ∫ x p( x, t )dx .−∞{}+∞Дисперсия Dx (t ) = M [ X (t ) − m x (t )] = ∫ x 2 p( x, t )dx − m x2 (t ) .2−∞Среднее квадратичное отклонение (СКО):  x (t ) = Dx (t ) .Некоторые типовые распространенные распределения и их характеристики.1.

Равномерное распределение0, x < a x − aF (x ) = , a≤ x≤bb−a1, x > b 1, a≤ x≤b,p( x ) =  b − a0, иначеxa+bdx =2ab−abm x (t ) = ∫x2 a + b  (b − a )Dx (t ) = ∫dx −  =12 2 ab−ab222. Нормальное распределение (Гауссов закон распределения)45p( x ) =1x2x−mx exp − 0.52  x   (x − mx ) F ( x ) = Ф 2 x 1Интеграл вероятности Ф( x ) =2x−0.5t∫ e dt – табулированная функция.2−∞1.8.2 Корреляционные функции случайных процессовКовариационная функция случайного процесса – это математическоеожидание произведения реализаций случайного процесса (или случайныхпроцессов):K (t1 , t 2 ) = M {x(t1 ) x(t 2 )} =∞ ∞∫ ∫ x1 x2 p(x1 , x2 , t1 , t 2 )dx1dx2−∞−∞где p( x1 , x2 , t1 , t 2 ) – двухмерная плотность вероятности, определяемая какdxdx p( x1 , x2 , t1 , t 2 )dx1dx2 = P  X (t1 ) − x1 ≤ 1 , X (t 2 ) − x2 ≤ 2  – вероятность того,22 что реализация случайного процесса X (t ) в момент времени t1 попадает вбесконечно малый интервал dx1 в окрестности x1, и в момент времени t2 – вбесконечно малый интервал dx2 в окрестности x2.Корреляционнаясоставляющую)естьфункция(характеризуетстатистическифлуктуационнуюусредненноепроизведениецентрированной случайной функции X (t ) − m x (t ) в моменты времени t1 и t2:R(t1 , t 2 ) = M {[x(t1 ) − mx (t1 )] [x(t 2 ) − mx (t 2 )]} = K (t1 , t 2 ) − mx (t1 )mx (t 2 ) .Если t1=t2=t (при совмещении сечений случайного процесса): R(t , t ) = Dx (t ) .Рассматривая два случайных процесса (или две реализации одногопроцесса) между ними может существовать либо отсутствовать статистическаясвязь.

Отсутствие связи говорит о независимости одной случайной величиныот другой. Тогда двумерная плотность вероятности: p( x1 , x2 ) = p( x1 ) p( x2 ) .46Это выражение известно как условие статистической независимости.Мерой линейной статистической связи является коэффициент корреляции:r12 =M {x1 x2 } − M {x1}M {x2 }, очевидно r12 ≤ 1 .D{x1}D{x2 }Если r12 = 0 , то между случайными величинами отсутствует статистическаясвязь, т.е. они некоррелированны, при этом M {x1 x2 } = M {x1} M {x2 }.1.8.3 Стационарные процессыВ общем случае вероятностные характеристики случайных процессовзависят от времени (моментов выборки, т.е. получения реализации). Однакосуществуетобширныйкласспроцессов,укоторыхвероятностныехарактеристики не зависят от времени, т.е.

одинаковы у различных реализацийслучайного процесса. Такие процессы называются стационарными.Строго говоря, случайный процесс стационарен, если его многомернаяплотностьвероятностиp( x1 , x2 ,  , xn , t1 , t 2 ,  t n )неизменяетсяприодновременном сдвиге временных сечений tk вдоль оси времени напроизвольную величину τ.Таким образом, для стационарного сигнала математическое ожидание идисперсия не зависят от времени, а корреляционная функция зависит только отинтервала  = t 2 − t1 : R (t1 , t 2 ) = R ( ) , причем R( ) = R(−  ) и R( ) ≤ R(0 ) = Dx .Стационарный процесс называется эргодическим, если при определенииего статистических характеристик усреднение по ансамблю реализацийэквивалентно усреднению по времени одной (любой) реализации.

Тогдаматематическое ожидание и дисперсию эргодического процесса можноопределить через бесконечно длинную реализацию:+∞1 0.5Tm x = M {X (t )} = ∫ x p( x )dx = lim∫ x(t )dtT →∞ T−∞−0.5TDx =+∞1 0.5T 22∫ x (t )dt − mxT →∞ T−0.5T22∫ x p(x )dx − mx = lim−∞47Таким образом, математическое ожидание эргодического процесса естьпостоянная составляющая его реализации, а смысл дисперсии – мощностьпеременной составляющей.Достаточным условием эргодичности случайного процесса являетсястремление к нулю его корреляционной функции с ростом временного сдвигаτ: lim R( ) = 0 . →∞1.8.4 Спектральные характеристики случайных процессовКаждая реализация случайного процесса представляет собой ужеизвестную функцию (измеренную зависимость) к которой можно применитьпреобразование Фурье. При этом, конечно каждая реализация будет иметьсвой спектр.

На практике интересуются усредненными характеристиками:∞S ср ( ) = ∫ xср (t )e− j t−∞∞dt = ∫ m x (t )e − jt dt−∞Таким образом, усредненный спектр случайного процесса есть спектр егоматематического ожидания. В частности, если m x (t ) = 0 то и S ср () = 0 (ноS ср () ≠ 0 – т.е. фазы спектральных составляющих в различных реализацияхпроцесса случайны и независимы).Случайный сигнал во временной области обладает энергией, котораяравна энергии в частотном представлении сигнала – в соответствии сравенством Парсеваля.

Мысленно ограничивая случайный процесс интервалом[-0.5T, 0.5T] и разделив энергию на величину T, получим среднюю мощность:PT =1 0.5T 21x (t )e − jt dt =∫T −0.5T2T∞∫ X ()2d−∞Далее совершая предельный переход при T → ∞ , получим выражениеспектральной плотности средней мощности реализации x(t ) :X ( )W ( ) = limи соответственноT →∞T2∞1 ∞∫ x (t )dt = 2 ∫ W ()d .−∞−∞248Однако на практике этими формулами не пользуются, т.к.

часто модельслучайного процесса не позволяет произвести непосредственное вычислениепредела.1.8.5 Теорема Винера-ХинчинаКакизвестнокорреляционнаяфункциясигналасвязанасегопреобразованием Фурье (рассматривая сигнал длительностью T):0.5T∫ x(t )x(t −  )dt =−0.5T1 ∞2X ( ) e j d∫2 −∞Разделив обе части уравнения на T и переходя в пределе при T → ∞ , получим:X ( ) j1 0.5T1 ∞()()limxtxt−dt=lime d∫∫T →∞ T2  − ∞ T →∞ T−0.5T2Теорема: Корреляционная функция случайного процесса и его спектральнаяплотность мощности связаны преобразованием Фурье.Таким образом, для эргодического процесса R( ) =1 ∞W ( )e j d .∫2 −∞Учитывая четность и вещественность функций R(τ) и W(ω) можно записать:∞1∞R( ) = ∫ W ( )cos( )d и W ( ) = 2 ∫ R( )cos( )d .001.8.6 Интервал корреляцииРассматривая корреляционную функцию случайного процесса можноотметить, что она убывает с ростом величины сдвига τ.

Причем скоростьзатухания функции характеризует степень статистической связи междузначениями случайного сигнала в разные моменты времени. Числовойхарактеристикойизмененияреализацийслучайного процесса являетсявеличина интервала корреляции:1 ∞к =∫ R( ) d .R(0 ) 0491.8.7 Эффективная ширина спектра случайного сигналаПусть имеется случайный сигнал со спектром плотности мощностиW(ω), который имеет максимальное значение Wmax. Мысленно представим себедругой случайный процесс, у которого спектральная плотность мощностипостоянна и равна Wmax в некоторой (очевидно более узкой полосе) полосечастот.

Характеристики

Список файлов лекций