Курс лекций дисциплины вариативной части математического и естественнонаучного цикла (855805), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

1.12 – Эталонный сигнал и его автокорреляционная функция (слева),зашумленный и сдвинутый эталонный сигнал и его корреляционнаяфункция (справа)191.4 Преобразование ФурьеПреобразование Фурье сигнала s(t) есть:+∞S ( ) = ∫ s(t ) e − jt dt– фактически представляет собой разложение сигнала по−∞системе базисных тригонометрических функций (т.е. скалярное произведениесигнала на базисные функции).КомплекснуювеличинуS(ω)называюткомплекснымспектром(спектральной плотностью) сигнала s(t), ω – круговая частота.Обратное преобразование Фурье: s(t ) =1 +∞S ( ) e jt d .∫2 −∞(*) Напомним, что для представления функции в виде интеграла Фурье∞необходимо, чтобы функция была абсолютно интегрируемой:∫ s(t ) dt < ∞и−∞являлась кусочно-гладкой на любом конечном отрезке [a, b] ⊂ (− ∞, ∞ ) .Трудно переоценить значимость тогда еще гипотезы французскогоматематика Фурье (1768-1830 г.) о возможности разложения любой функции внабор синусоид с кратными частотами и наоборот – синтезировать любуюфункцию с помощью взвешенной суммы синусоид.

Поскольку сейчас этоявляется, несомненно, фундаментальной основой многих теоретическихдостижений, в том числе и основ ЦОС. Важнейшим случаем преобразованияФурьеявляетсяпредставлениепериодических∞∞n =1n =1сигналовспериодомповторения T: s(t ) = A0 + ∑ An cos(n 0 t ) + ∑ Bn sin (n 0 t ) , где0 =2– круговая циклическая частота сигнала (основная гармоника);Tn 0 – круговая циклическая частота n-й гармоники;1 0.5TA0 =∫ s(t )dt – постоянная составляющая сигнала;T −0.5T2 0.5T2 0.5T()()An =∫ s t cos n 0t dt , Bn = T ∫ s(t )sin (n 0t )dt – коэффициенты разложения.T −0.5T−0.5T20К примеру: если сигнал симметричный, то все Bn=0, если антисимметричный –все An=0.

Для абсолютно интегрируемой функции (сигнала) коэффициенты Anи Bn стремятся к нулю при n→∞.Записанные выражения есть ряд Фурье, который можно записать черезкомплексные величины, ряд Фурье для действительной функции f(t) есть:f (t ) =∑ C k e − jk t = C 0 + ∑ [C k e − jk t + C −k e jk t ] = a0 + ∑ ak cos(k1t +  k ) ,+∞+∞∞11k = −∞где 1 =1k =1k =12, T – период повторения функции;TC −k = C k – в противном случае сумма*+∞∑ C k e − jk t1будет комплексной, а поk = −∞условию f (t ) – действительная функция (сигнал);a0 =1 +0.5T∫ f (t )dt – среднее значение функции (постоянная составляющая);T −0.5Tak = 2 C k = Ak2 + Bk2– амплитуда гармоники (множество этих величинназывается спектром амплитуд);B k = arg(C k ) = arctg k Ak– фаза гармоники (множество этих величинназывается спектром фаз).Уместно вспомнить аналогию представления переменных токов инапряжений посредством комплексных векторов на плоскости.Комплексные коэффициенты ряда Фурье (проекции сигнала на базисныенаправления) находят из формулы (скалярное произведение сигнала на1 +0.5T2f (t ) e − jk1t dt , где 1 =базисные функции): C k =.∫T −0.5TTКаждый коэффициент представляет собой амплитуду (модуль) и начальнуюфазу (угол) гармоник (компонент спектра).Поэтому между спектральной плотностью одиночного импульса со+∞спектральной плотностью S ( ) = ∫ s(t ) e − jt dt и коэффициентами ряда Фурье−∞212− j kt1 +0.5TT()Ck =stedt∫T −0.5Tдляпериодическойпоследовательноститакихимпульсов (период повторения T, который по величине больше длительностиимпульса) существует связь: C k =1  2k S , т.е.

коэффициенты ряда ФурьеT  T есть аппроксимация огибающей непрерывного спектра одиночного импульса(сигнала с бесконечным периодом повторения).Поскольку частота спектральной компоненты k определяется величиной=2k , то при T→∞ (при предельном переходе от периодическихTпрямоугольных импульсов к одиночному импульсу) шаг по частоте2T(расстояние между спектральными компонентами) становится бесконечномалым и соответственно число коэффициентов Ck растет до бесконечности(поскольку ширина спектра определяется шириной импульса, которая припредельном переходе остается неизменной).Выводы:− спектр непрерывного периодического сигнала дискретен (линейчатый);− спектр непрерывного непериодического сигнала непрерывен (сплошной);− спектр вещественного сигнала симметричен (поэтому область спектра сотрицательными частотами обычно не изображают).1.4.1 Свойства преобразования Фурье+∞Положим: X ( ) = ∫ x(t ) e−∞− jt+∞dt , G ( ) = ∫ g (t ) e− jtdt и Y ( ) =−∞+∞∫ y(t ) e− jtdt .−∞1) Линейность: если y (t ) = x(t ) +  g (t ) , то Y ( ) =  X ( ) + G ( ) , ,  ∈ ℜ2) Задержка сигнала x(t) на время τ, т.е.

y (t ) = x(t −  ) :+∞Y ( ) = ∫ x(t −  ) e−∞− j tdt = e− j+∞∫ x(t −  ) e− j ( t −  )d (t −  ) = X ( )e − j−∞3) Масштабирование сигнала по времени y (t ) = x (at ) :22+∞Y ( ) = ∫ x(at ) e−∞− j t−j t1 +∞1 dt = ∫ x(at ) e a d (at ) = X   , a>0, a ∈ Ra −∞a a4) Дифференцирование сигнала y (t ) =dx(t ):dtx(t +  ) − x(t ) − jtX ( )e j − X ( )Y ( ) = ∫ lim= j X ( ) e dt = lim →0 →0−∞ +∞+∞5) Интегрирование сигнала y (t ) = ∫ x(t )dt : Y ( ) =−∞1X ( ) +  X (0 ) ( )j6) Смещение спектра Y ( ) = X ( −  0 ) :y (t ) =+∞+∞−∞−∞j tj (− )tj tj t∫ X ( −  0 ) e d = e 0 ∫ X ( −  0 ) e 0 d ( −  0 ) = e 0 x(t )7) Спектр произведения сигналов – есть свертка спектров исходных сигналов.Если y (t ) = x(t ) g (t ) , то 1 +∞j t− j t∫  2 ∫ X ( )e d g (t ) e dt =−∞−∞ −∞+∞+∞+∞11=X ( ) ∫ g (t ) e − j (− )t dt d =∫∫ X ( )G ( −  )d = X () * G ()2 −∞2 −∞−∞+∞Y ( ) = ∫ x(t ) g (t ) e − jt dt =+∞8) Спектр свертки сигналов – есть произведение спектров исходных сигналов.Если y (t ) = x(t ) * g (t ) , то+∞+∞ +∞ − j t− j Y ( ) = ∫  ∫ x( ) g (t −  )d  e dt = ∫ x( )e  ∫ g (t −  ) e − j (t − )dt  d =−∞  −∞−∞ −∞= X ( )G ( )+∞9) Спектр действительного сигнала умноженного на гармоническую функцию(частный случай произведения сигналов): y (t ) = x(t ) cos( 0 t +  0 )+∞Y ( ) = ∫ x(t )cos( 0 t +  0 ) e−∞− j t[]1 +∞dt = ∫ x(t ) e j (0t +0 ) + e − j (0t +0 ) e − jt dt =2 −∞+∞+∞11= e j0 ∫ x(t )e − j (−0 )t dt + e − j0 ∫ x(t )e − j (+0 )t dt =22−∞−∞11= e j0 X ( −  0 ) + e − j0 X ( +  0 )2223X(ω)Y(ω)0.5X(ω)ωω0 ωвω0-ω0ω0 ω0+ωвРис.

1.13 – Перенос спектра сигнала при умножении на гармоническую функцию1.4.2 Связь между корреляционными функциями испектрами сигналовПоложим сигналы s1 (t ) и s2 (t ) имеют спектры S 1 ( ) и S 2 ( )соответственно.Тогдаспектрвзаимнойкорреляционнойфункций+∞B12 ( ) = ∫ s1 (t ) s2 (t −  )dt есть произведение спектров исходных сигналов:−∞+∞− j∫ B12 ( ) e d =−∞=+∞ +∞∫ ∫ s1 (t ) s2 (t −  ) e− jdtd =−∞ −∞+∞∫ s1 (t )e−∞− j t+∞∫ s2 (t −  )e− j ( t −  )d (t −  )dt = S 1 ( ) S 2 ( )*−∞*1 +∞S 1 ( ) S 2 ( ) e jt d .или B12 ( ) =∫2 −∞Следовательно, сигналы с неперекрывающимися спектрами являютсянекоррелированными.1.4.3 Примеры расчетов спектров основных сигналов1) Спектральная плотность неинтегрируемых сигналов1а) Постоянный сигнал: x(t ) = A∞X ( ) = ∫ Ae−∞− j tA − j tdt =e− j∞−∞1 ∞ j t= 2A ( ) , т.к.  (t ) =∫ e d2 −∞Постоянный сигнал в частотной области занимает бесконечно узкуюполосу, т.е.

спектральная плотность на нулевой частоте бесконечновелика и равна нулю на других частотах.Наличие постоянной составляющей в периодическом сигнале говорит оналичии гармоники с нулевой частотой и амплитудой равной A.240, t < 01б) Единичный скачок (функция Хевисайда): x(t ) = 1, t ≥ 0∞X () = ∫ x(t )e − jt dt = () +−∞1j1в) Гармонический сигнал: x(t ) = A cos( 0 t +  )∞X ( ) = ∫ A cos( 0 t +  )e− j t−∞=[]A ∞ j (  0t +  )dt = ∫ e+ e − j (0t + ) e − jt dt =2 −∞∞A j ∞ − j (  −  0 ) tAe ∫edt + e − j ∫ e − j (+0 ) t dt =22−∞−∞= Ae j  ( −  0 ) + Ae − j  ( +  0 )Физический смысл выражения заключается в том, что на частотах ±ω0 вбесконечноузкойполосесосредоточенаэнергияспектральныхсоставляющих с конечной амплитудой, поэтому спектральная плотностьна этих частотах бесконечно велика.Коэффициент ряда Фурье (комплексная амплитуда гармоники) C1гармонического сигнала связана со спектральной плотностью X ( ) :C1 =21  2   A jX   = e , где  0 =, T = 2N – период анализа (N=1).TT T  2Таким образом, каждая синусоидальная компонента периодическогосигнала отражается в спектре как линия с половинной амплитудойгармоники (масштабированная дискретная дельта-функция).2) Спектральная плотность прямоугольного импульса (видеоимпульс) сдлительностью Tи:x A, − 0.5Tи ≤ t ≤ 0.5Tиx(t ) = 0, иначеX ( ) =0.5Tи∫Ae−0.5Tи=− j tA − j tdt =e− jAt0.5Tи0.5Tи−0.5Tи=[]A − j 0.5Tиe− e j 0.5Tи =− jsin (0.5Tи )2 A  Tи sin  = ATи0.5Tи 2 253) Спектральная плотность импульсов с высокочастотным заполнением(радиоимпульсы): x(t ) = f (t ) cos( 0 t +  0 )Положим, спектральная плотность огибающей f (t ) известна – F ( ) , тогдас учетом п.1в и свойством преобразования Фурье о спектре произведениясигналов получим:11X ( ) = e j0 F ( −  0 ) + e − j0 F ( +  0 )224) Спектральная плотность Гауссова импульса: x(t ) = Ee −(t  )2∞X ( ) =∫ Ee− (t  )2−∞= Ee  − 2 2∞∫ee − jt dt = E ∫ e −[(t  ) + jt ]dt = E ∫ e∞∞2−∞ t j − + 2 −∞2 t j − + 2 2e  − 2 2dt =−∞  2 − t j d +=Ee2 2Гауссов импульс является самым гладким сигналом, его спектральнаяплотность вещественна и является гауссовой функцией (быстро затухает).5) Спектральная плотность периодического прямоугольного сигнала самплитудой A, периодом T и длительностью импульса τ:x(t ) = A∞A k   2k + 2∑ sin    cost.Tk =1 kT   T  k sin    T  – спектр дискретный.Коэффициенты ряда Фурье: C k = AkTTx(t)AQ-1sin(x )xA2Tτ/2t0τTkСкважность Q=T/τ0Q2Q3Q4QРис.

1.14 – Представление периодических прямоугольных импульсов вовременной и частотной областях261.5 Энергетический спектрЭнергия сигнала (E), по определению, равна интегралу от мощности (w)по всему интервалу существования сигнала (x): E =∞∞−∞−∞2∫ w(t )dt = ∫ x (t )dt .Например, энергия, выделяемая на резисторе (R) при протекании тока (i) иприложенном напряжении (u) или энергия, потребленная от источника (u)Tнагрузкой (R), как известно, есть E = ∫ u (t )i (t )dt =0T1T 2()utdt=Ri 2 (t )dt ,∫∫R00где T – время существования сигнала (для периодического тока – периодколебаний) иp (t ) = u (t ) i (t ) – мгновенная мощность. Для возможностисравнения полагают сопротивление R=1 Ом, т.е. речь идет об удельнойэнергии и мощности (или нормированная мощность).На практике работают с периодическими сигналами или с сигналамиконечной длительности (и бесконечной длительности, которые искусственноделают конечными на основе их «смысла» – часто простым отбрасываниемчасти сигнала).

Характеристики

Список файлов лекций