Курс лекций дисциплины вариативной части математического и естественнонаучного цикла (855805), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Поэтому с учетом необходимости сравнения энергийразличных сигналов с разной длительностью проводят нормировку:E=1T 2∫ x (t )dt (т.е. говорят о средней энергии),T01T 2в том числе для протяженных сигналов: E = lim ∫ x (t )dt .T →∞ T01.5.1 Теорема РэлеяПусть S 12 ( ) – спектр взаимной корреляционной функции двух сигналовs1(t), s2(t), взаимная корреляционная функция есть:1 +∞B12 ( ) =S 12 ( ) e j d (обратное преобразование Фурье),∫2 −∞+∞B12 ( ) = ∫ s1 (t ) s2 (t −  )dt (определение взаимной корреляции).−∞Тогда при τ=0 получим выражение известное как теорема Рэлея:27+∞∫ s1 (t ) s2 (t )dt =−∞*1 +∞()SS2 ( )d .∫ 12 −∞1.5.2 Равенство Парсеваля+∞Энергия сигнала x(t) во временной области: E = ∫ x 2 (t )dt , энергия−∞сигнала со спектромX ( ) в частотной области:E=+∞2∫ X () d .−∞Таким образом, для сигнала x(t) имеющего спектр X ( ) справедливо:+∞+∞2∫ x (t )dt = ∫ X () d .2−∞−∞Равенство Парсеваля является частным случаем теоремы Рэлея: x(t)=s1(t)=s2(t).ФункцияX ( ) , представляющая собой преобразование Фурье от2корреляционной функции, называется энергетическим спектром.Действительно, пусть сигнал x(t) имеет спектр X(ω), т.е.

наборкоэффициентов ряда Фурье Ck (возможно бесконечное число коэффициентов).Тогда скалярное произведение сигнала на самого себя есть норма сигнала:x(t ) =∞∑ C k e j1kt ,k = −∞∞∑ C m e j1mt =m = −∞Откуда получаем: x(t ) =∞∑ Cm∞∞∑ ∑k = −∞ m = −∞2C k C m e j1kt , e j1mt =∞∞∑ ∑ C k C m (k − m )k = −∞ m = −∞.m = −∞∞С другой стороны норма есть: x(t ) = ∫ x 2 (t )dt .−∞∞Следовательно:2∫ x (t )dt =−∞∞∑ Cmm = −∞2, коэффициенты Cm есть спектр сигнала.Таким образом, мощность сигнала есть сумма квадратов модулейкоэффициентов ряда Фурье.281.5.3 Принцип неопределенности времячастотного представленияОчевидно, чтов соответствиисо свойствамивремя-частотногопредставления сигнала при «сжатии функции f» по оси времени (t) в A раз, т.е.рассмотрении функции fA(t)=f(At), ее спектр растянется во столько же раз:FA(k)=const·F(k/A), поскольку частоты каждой спектральной гармоники ejktэтого разложения должны, очевидно, умножиться на A.

Строго говоря, примерносит довольно частный характер, однако показывает физический смысл:когдамысжимаемсигнал,егочастотнаяполосапропорциональноувеличивается (верно и обратное). Это свойство подобно известномунеравенству Гейзенберга: x  > h m ,где Δx – неопределенность (погрешность измерения) пространственнойкоординаты микрочастицы, Δv –неопределенность скорости частицы, m –масса частицы, а h – постоянная Планка.Поэтому нельзя одновременно измерить энергию системы и указатьмомент времени, которому это измерение соответствует, или нельзяодновременно локализовать сигнал во временной и в частотной областях.Теорема.

Для любого дифференцируемого вещественного сигнала сэнергией (E) произведение полосы (f) и длительности (t) ограничено снизу:f t ≥E.4Поэтому в реальности невозможно измерить спектр ограниченного вовремени сигнала (конечной длительности), т.к. такой спектр имеет бесконечномногосоставляющихиегоприходитсяограничиватьискусственно.Соответственно для бесконечно протяженных сигналов (в т.ч.

периодических)спектр ограничен.291.6 Преобразование ГильбертаАналитическим сигналом называется сигнал s a (t ) = s (t ) + js ⊥ (t ) ,где s(t ) – сигнал; s⊥ (t ) – квадратурное дополнение (сопряжение сигнала).Сопряженный сигнал связан с исходным сигналом преобразованием1 ∞ s( )Гильберта: s⊥ (t ) = ∫d −∞ t − (преобразование – есть свертка сигнала s(t ) с функцией1).tЧастотная характеристика преобразования: j,  < 01K ⊥ ( ) = ∫ e − jt d = 0,  = 0 ,−∞ t− j ,  > 0∞т.е. преобразование Гильберта – идеальный фазовращатель.

В частности, еслина входе преобразователя Гильберта действительный сигнал, то и на выходетоже действительный сигнал.Например: если s (t ) = cos ( 0 t ) , то s ⊥ (t ) = sin ( 0 t ) .Обратное преобразование: s(t ) = −1 ∞ s⊥ ( )d .∫ −∞ t − Рассчитаем спектр аналитического сигнала s a (t ) = s (t ) + js ⊥ (t ) :0,  < 0S a ( ) = S ( ) + j S ⊥ ( ) = S ( )[1 + j K ⊥ ( )] = S (0 ),  = 02 S ( ),  > 030ImReReRe0.50.5-ω0ImIm1.0-ω000ω0ω00ω0-0.5ЧастотаЧастотаs ⊥ (t ) = sin ( 0 t )s (t ) = cos(0t )Частотаs a (t ) = s (t ) + js ⊥ (t )Рис.

1.15 – Графическая интерпретация спектра аналитического сигналаs⊥ (t ) = sin ( 0t )s a (t ) = s (t ) + js⊥ (t )s (t ) = cos(0t )Рис. 1.16 – Графическая интерпретация аналитического сигнала во временной областиТакимs(t ) = cos( 0 t )образом,симметричныйстановитсяспектродносторонним,действительногосовпадающимсосигналаспектромисходного сигнала (для положительных частот, с точностью до множителя2.0).31Важными свойствами аналитического сигнала является возможностьопределения:1) огибающей сигнала A(t ) = s a (t ) = s 2 (t ) + s⊥2 (t ) s⊥ (t ) , если s(t ) ≥ 0arctg s(t ) 2) полной фазы сигнала  (t ) = arg(s a (t )) =  + arctg s⊥ (t ) , если s(t ) < 0 s(t ) Например, рассмотрим амплитудно-модулированный сигнал:s (t ) = [0.4 cos( u t )]cos( 0 t ) ,где ω0 – несущая частота; ωu – частота модулирующего сигнала (ω0>> ωu).Тогда квадратурное дополнение: s ⊥ (t ) = [0.4 cos( u t )]sin ( 0 t ) и огибающаясигнала: A(t ) = 0.4 cos( u t ) .ImImReRe-(ω0+ωu)-ω0-(ω0-ωu)-(ω0+ωu)-ω0-(ω0-ωu)0(ω0-ωu)S ( )ω0(ω0+ωu)0Частота(ω0-ωu)ω0(ω0+ωu)S ⊥ ( )ЧастотаРис.

1.17 – Графическая интерпретация спектра амплитудномодулированного сигнала32s a (t )s⊥ (t )ImA(t ) = s 2 (t ) + s⊥2 (t )Res (t )времяРис. 1.18 – Графическая интерпретация амплитудно-модулированногосигнала во временной области (аналитический сигнал иогибающая)Области применения преобразования Гильберта:− модуляция и демодуляция (связь);− автоматическая регулировка усиления;− оценка мгновенной частоты, измерение задержки сигналов;− анализ двухмерных, трехмерных сигналов;− сжатие изображений и аудиосигналов;− обработка сигналов в радарах, сонарах, телевидении высокой четкости ит.п.331.7 Понятия о модуляции сигналовОдной из важнейших проблем обработки сигналов является задачапередачи сигнала по каналам связи.

Здесь можно выделить два важныхаспекта:1) рациональное использование характеристик канала связи (задача передачикак можно большего количества информации за минимальное время и вузком частотном диапазоне);2) передача данных без искажения (помехоустойчивость передачи).Обе задачи крайне важны с практической точки зрения, т.к. фактическиэффективность их решения обуславливает надежность и стоимость передачи.Например, витая пара 5 класса (как среда передачи сигнала) имеет полосучастот порядка 300 МГц. Допустим необходимо передавать сигнал с полосойпорядка 4 кГц.

Тогда если генератор такого сигнала подключить к витой паре,то приемник естественно получит этот сигнал. Однако возможности кабеля сего полосой пропускания оказываются не востребованными. Кроме того, еслибы необходимо передавать много сигналов с полосой 4 кГц (например: задачагородской телефонии).

Тогда очевидно, возникает задача: как «разместить»низкочастотные сигналы в полосе частот кабеля так, чтобы они не влияли (неискажали) друг на друга. В частности, для решения подобных задачнеобходимо уметь сдвинуть спектры сигнала в другую область частот, длячего, согласно свойствам преобразования Фурье, достаточно умножить сигнална гармоническую функцию – рис 1.19.x1×cos(ω1t)ωx2в канал передачи сигналов×cos(ω2t)ω+y………x1x2xkxk……×cos(ωkt)ω1ω2ωkωωРис. 1.19 – Схематичное представление частотного уплотнения канала34Фактически рассмотренный процесс и есть частный случай модуляциисигнала.

Модуляция сигнала в общем случае рассматривается как изменениеодного параметра сигнала другим. В самом распространенном случаемодуляции подвергается гармонический сигнал с частотой ω0, которыйназывается несущей. По характеру воздействия на несущий синусоидальныйсигнал выделяют четыре вида модуляции (которые нашли практическоеприменение): амплитудная, частотная, фазовая и квадратурная.

При этомсигнал, изменяющий параметр несущей, называется модулирующим. Сампроцессизменения–модуляцией,обратнойоперациейявляется–демодуляция. Типичными практическими задачами, в которых не обойтись безмодуляции, является радиопередача информации (сотовая связь, телевидение,радары и т.п.), поскольку информационные сигналы – это широкополосныенизкочастотные сигналы, которые по физическим законам неудобны дляпередачи антеннами с малыми габаритами и приемлемым КПД системыприема/передачи. Также при радиопередаче данных надо учитывать свойствасвободного пространства – есть частоты, на которых наблюдается сильноезатухание колебаний, например, в атмосфере, гидросфере и т.п.

Поэтому невсякий диапазон частот пригоден для осуществления радиопередачи.1.7.1 Общие сведения об амплитудной модуляцииНаиболее простой для понимания является амплитудная модуляция,которая подразумевает изменение амплитуды несущей информационнымсигналомA(t):s (t ) = A(t )cos ( 0 t ) .Однимизусловийосуществлениямодуляции является требование, что частота несущей много больше частоты(полосы) сигнала.Рассмотрим пример. Пусть A(t ) = sin (1t ) + 0.7 sin (21t ) .Построим сигнал s (t ) = [sin (1t ) + 0.7 sin (21t )]cos ( 0 t ) – рис.

Характеристики

Список файлов лекций