Курс лекций дисциплины вариативной части математического и естественнонаучного цикла (855805), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

0V11. 0Vu(t), В022. 0V0Vu1-1-1. 0V11. 0V-2-2. 0V0s0. 2msV( MULT1: OUT)000.2u(t), В0Vu2-1-1. 0V0sV( V2: +)0. 2msV( V1: +)00.20. 4ms0.40. 6msTi me0.60. 8ms0.81. 0mst, мс33. 0V0. 4ms0.40. 6msTi me0.60. 8ms0.81. 0mst, мсСумма:u1 (t ) + u 2 (t )Задержкасигнала u1на 0.1 мс22. 0V11. 0V00V-1-1.

0V0su(t), В0V( SUM1: OUT)0. 2ms0. 4ms0.20.40. 6msTi me0.60. 8ms0.81. 0mst, мс21000.20.40.60.8t, мсРис. 1.5 – Примеры операций над сигналами111.2 Пространство сигналовДля удобства анализа и обработки информации, которая заключена всигналах, их множество «помещают» в подходящее метрическое пространство(как правило, линейное, с заранее оговоренными свойствами и единицамиизмерений). Это позволяет выделять из множества сигналов сигналы сопределенными параметрами, сравнивать сигналы друг с другом, оценивать ихизменение при их прохождении через системы обработки данных и т.п.Линейное пространство аналоговых сигналов с введенным скалярнымпроизведением (положительно определенным) называется Гильбертовымпространством Н (второе распространенное обозначение – L2), представляетсобой обобщение Евклидова пространства на бесконечномерный случай.Линейное пространство дискретных и цифровых сигналов называетсяпространством Эвклида (обозначение пространства – R2).

В пространствахГильберта и Эвклида определяют норму и метрику в соответствии свыражениями: s(t ) =s, s =∞2∫ s (t ) и (s, v ) = s(t ) − v(t )соответственно.−∞В этих пространствах справедливо неравенство Коши-Буняковского:s(t ), v(t ) ≤ s(t ) ⋅ v(t )– скалярное произведение векторов не превосходитпроизведения их норм.1.2.1 Разложение сигнала по базисным функциямВ линейном пространстве L (размерности N) всегда можно выделитьмножествовекторов{xn ; n = 0, 1, 2,, N − 1},для которыхвыполняетсяN −1равенство нулю их линейной комбинации:∑  n xn = 0только при условииn =0равенства нулю всех значений  n .

Такое множество векторов называетсялинейно независимым. Ни один вектор линейно независимого множества неможет быть выражен в виде какой-либо линейной комбинации другихвекторов этого пространства. Такое множество векторов называется базисомN-мерного пространстваL. Линейная комбинация такихNлинейно12независимых векторов образует векторное пространство, где каждый вектор Uможет быть выражен единственной линейной комбинацией векторов xn:U=N −1∑  n xn . Совокупность чисел { n } называется спектром вектора U в этомn =0базисе.

Спектр вектора в общем случае может быть комплексным.Произвольный сигнал s(t ) ∈ H (пространство Гильберта), заданный наинтервале [a, b] , может быть разложен в ряд по упорядоченной системе∞ортонормированных базисных функций u n (t ) : s(t ) = ∑ cn u n (t ) .n =0Для нахождения значений коэффициентов сn умножим обе части данноговыражения на базисную функцию u m (t ) с произвольным номером m ипроинтегрируем результаты по переменной t, при этом получим:∞bb∫ s(t )u m (t )dt = k∑=0 ck ∫ u m u k dt .aaС учетом ортонормированности функций u i (t ) , в правой части этого равенстваbостается только один член суммы с номером m=k при ∫ u k u k dt = 1 , который, поaлевой части уравнения, представляет собой скалярное произведение сигнала исоответствующего m=k базисного вектора, т.е.

проекцию сигнала наbсоответствующее базисное направление: ck = ∫ s(t )u k (t )dt .aТакимобразом,вгеометрическойинтерпретациикоэффициентысkпредставляют собой проекции вектора (сигнала s(t ) ) на соответствующиебазисные направленияs(t )u k (t ) , т.е. координаты вектораобразованному системой ортогональныхфункцийu (t ) ,в базисе,в пределе –бесконечномерной.Возможностьобобщенныерядыразложенияпонепрерывныхсистемамсигналовортогональныхифункцийфункцийвимеетпринципиальное значение, так как позволяет вместо изучения несчетногомножества точек сигнала ограничиться счетной системой коэффициентов13ряда.К системам базисных функций, которые используются при разложениисигналов, предъявляют следующие основные требования:-для любого сигнала ряд разложения должен сходиться;-при ограничении ряда по уровню остаточной погрешности расхождения сзаданным сигналом количество членов ряда должно быть минимальным;-базисные функции должны иметь достаточно простую аналитическуюформу и коэффициенты разложения в ряд должны вычислятьсяотносительно просто.Согласно теореме Дирихле, любой сигнал s(t ) , имеющий конечноечисло точек нарушения непрерывности первого рода, и конечный по энергиина интервале [a, b] , может быть разложен по системе ортонормированныхфункций, если существуют интегралы модуля сигнала и модуля его первойbпроизводной:∫ s(t ) dt < ∞ ,ab∫ s′(t ) dt < ∞ .aЭто означает, что любой физически полученный сигнал представим вовременной области (в виде функции) и имеет спектр (в частности, припредставлении сигнала по базису гармонических функций– сигналпредставим также в частотной области).Именнопредставлениесигналоввпространствепозволяетихрассматривать как множество векторов и применять методы математическогоанализа, статистики.1.2.2 Примеры ортогональных систем в L2Широкое применение в цифровой обработке сигналов нашли некоторыефункциональныебазисыортогональныхфункций.Рассмотримчастовстречающиеся базисы.∞ 2kt  2kt 1.

Тригонометрическая система функций 1, cos, sin  T  T  k =1является полной в пространстве L2 [a, a + T ] на любом отрезке t ∈ [a, a + T ].142. Система функций Уолша {wn ( x )}n=0 является полной в пространстве L2 [0, 1]∞и ортонормирована на полуинтервале [0, 1) . Представим целое число n≥0 вKвиде двоичного разложения: n = ∑ nk 2 k , где nk ={0, 1}.k =0Тогда функции системы Уолша выражаются следующим образом:wn ( x ) = ∏ [rk ( x )] k , гдеKnk =0число K – определяется номером функции Уолша n<2K;rk(x) – функция Радамахера.ФункцииУолшаnn200123450001167Таблица 1. Значения функций Уолшаwn ( x )n1n0w0 ( x ) = 100w1 ( x ) = r0 ( x )0111000101110111принимаютw2 ( x ) = r1 ( x )w3 ( x ) = r1 ( x ) r0 ( x )w4 ( x ) = r2 ( x )w5 ( x ) = r2 ( x ) r0 ( x )w6 ( x ) = r2 ( x ) r1 ( x )w7 ( x ) = r2 ( x ) r1 ( x ) r0 ( x )значения±1,чтоудобноприпрограммировании.w3(x)w5(x)1w7(x)10.51x-111-1x1-10.125 0.5x0.125 0.5Рис.

1.6 – Функции Уолша3. Система функций Хаара{hn (x )}∞n=0на полуинтервалеортонормированной, полной в пространстве[0, 1)являетсяL2 [0, 1] и определяетсяследующим образом.Положим h0 ( x ) = 1, для n>0 представим номер базисной функции в виде:n = 2 k + m , где целые числа k≥0 и 0 ≤ m ≤ 2 k − 1 .

Тогда15 0.5 k 2m 2m + 1 2приx∈ 2 k +1 , 2 k +1  2m + 1 2m + 2 hn ( x ) = − 2 0.5 k при x ∈  k +1 , k +1 2 20в других случаяхn=1; k=0; m=0h1(x)n=2; k=1; m=0h2(x)20.510.520.5x12x1-1n=4; k=2; m=0h5(x)0.5n=5; k=2; m=120.5x10.5n=6; k=2; m=2h6(x)20.25x10.5h4(x)n=3; k=1; m=1h3(x)0.25x10.5x1Рис. 1.7 – Функции Хаара(*) Функция Радамахера определяются для x ∈ [0, 1) :1 при x ∈ [0; 0.5),r0 ( x ) = )[−1приx∈0.5;1причем r0(x) периодически продолжается на всю числовую ось.Остальные функции Радамахера определяются выражением:rk ( x ) = r0 (2 k x ), k=1, 2, …r0(x)r1(x)1r2(x)10.51-11x0.51x-11-1x0.125 0.5Рис.

1.8 – Функции Радамахера (k=0, 1, 2)(*) Ортогональная система функций{ k }∞k =0 ⊂ Hявляется полной вгильбертовом пространстве тогда и только тогда, когда ∀x ∈ H выполняется:∞x = ∑ 2k  k22(равенство Парсеваля-Стеклова). Иначе говоря, существуетk =0∞разложение x = ∑  k  k – ряд Фурье, числа k – коэффициенты ряда Фурье.k =0161.3 Корреляция сигналовАвтокорреляционная функция сигнала x(t ) есть скалярное произведение+∞сигнала и сдвинутой во времени его копии: R( ) = ∫ x(t ) x(t −  )dt .−∞+∞Взаимная корреляционная функция: B( ) = ∫ x1 (t ) x2 (t −  )dt .−∞Корреляционная функция применяется в случаях, когда необходимообнаружить сигнал в смеси нескольких сигналов разной природы, т.к.корреляционная функция характеризует степень сходства сигналов (чем двавектора ближе по длине и направлению, тем больше величина их скалярногопроизведения).yā1y1y2βx1ā2x2a1 , a 2 = a1 a 2 = a1 a 2 cos ( ) = x1 x2 + y1 y2xРис.

1.9 – Геометрическая интерпретация скалярного произведенияСвойства автокорреляционной функции:+∞1) значение функции при τ=0 есть энергия сигнала: R(0 ) = ∫ x 2 (t )dt−∞и при τ≠0 значение R( ) ≤ R(0 )2) функция четна: R( ) = R(−  )3) функция от сигналов с конечной энергией затухает4) если сигнал не содержит особенностей в виде дельта функции, то егокорреляционная функция непрерывна5) если функция периодична, то ее автокорреляционная функция имеет тот жепериод.Примеры расчета корреляционных функций.1) Автокорреляционная функция прямоугольного сигнала с периодом T=1 мси длительностью импульса Tи≤T17x(t)AtTиTR(τ) A 2 (Tи −  ), 0 ≤  ≤ TиR( ) = ∫ x(t )x(t −  )dt =  A 2 (Tи +  ), − Tи ≤  ≤ 0−T0,  ≥ TиA2TиTTи=0.5 мс-Tи0TиτTи=0.4 мсРис.

1.10 – Автокорреляционная функция прямоугольного сигнала сдлительностью импульса Tи2) Автокорреляция гармонического сигнала x(t ) = A cos( 0 t +  ) с периодом0.5TA222cos( 0  ): R( ) = ∫ A cos( 0 t +  )cos( 0 (t −  ) +  )dt =T=20−0.5TАвтокорреляционная функция гармонического сигнала не зависит отначальной фазы и также является гармонической функцией с тем жепериодом.3) Автокорреляционная функция экспоненциального импульса с постояннойзатухания τ: x(t ) = Ae − t /  , t≥0.Автокорреляционная функция экспоненциального импульса являетсяэкспоненциальной функцией.∞−tR (t1 ) = ∫ Ae Ae0−t + t1dt = A e2−t1 ∞∫e0−2tA 2  − 1dt =e2t18RRτ=1 мсτ=0.1 мсt1t1Рис. 1.11 – Автокорреляционная функция экспоненциального сигналас постоянной времени τ4) Корреляционная функция зашумленного сигнала с ожидаемым, имеющимформу прямоугольного импульсаРис.

Характеристики

Список файлов лекций