Курс лекций дисциплины вариативной части математического и естественнонаучного цикла (855805), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Впростейшем случае система представляет собой устройство (физическое иливиртуальное – в виде математической модели) и содержит один входнойсигнал и один выходной сигнал. Классическим примером такой системыслужат аналоговые частотно-избирательные фильтры.Системы делят на линейные и нелинейные. В линейных системах, вотличие от нелинейных, справедлив принцип суперпозиции (реакция системына сумму сигналов эквивалентна сумме реакций системы на каждый входнойсигнал в отдельности).Система стационарна, если произвольная задержка входного сигналаприводит к такой же задержке выходного сигнала (система с постояннымикоэффициентами),Стационарностьвпротивномсистемыслучаеозначает–системанезависимостьнестационарна.отвременииинвариантность к сдвигу во времени.Фактически все системы цифровой обработки сигналов являютсялинейными инвариантными во времени системами (сокращенное названиеЛИС или ЛИВ).Дискретные ЛИС системы описываются: во временной области – импульсной характеристикой (реакция системы наединичный импульс); в частотной области – функцией передачи (передаточной функцией).Рассмотрим простейшую ЛИС систему, на вход которой подан входнойдискретный (или цифровой) сигнал x(n ) и на выходе наблюдается выходнойдискретный (или цифровой) сигнал y (n ) .x(n)ЛИС системаy(n)85Тогда, зная импульсную характеристику системы h(n ) , можно связатьвыходной сигнал с входным посредством разностного уравнения:∑ an y(k − n ) = ∑ bm x(k − m ) ,nmгдекоэффициентыan,bmполностьюхарактеризуютимпульснуюхарактеристику системы h(n ) и определяют ее передаточную функцию.В общем случае (теоретически) пределы индексов могут быть иотрицательными.

Это означает, что текущий отсчет системы зависит не толькоот предыстории, но и от будущего (т.е. требует знания отсчетов, которыебудут получены). Поэтому, если отклик системы равен нулю h(k ) = 0 при k<0(отклик системы зависит только от предыстории), то систему называюткаузальной (причинной). В такой системе реакция на входной сигналпоявляется только после поступления сигнала на ее вход. Некаузальныесистемы физически невозможно реализовать в реальном масштабе времени.Если требуется реализовать свертку сигналов с двусторонними операторами(например, при дифференцировании, преобразовании Гильберта, и т.п.), то этовыполняется задержкой (сдвигом) входного сигнала (обычно на количествоотрицательных индексов в выражении свертки).Пример каузальной ЛИС системы.Пусть имеются отсчеты импульсной характеристики{h(0), h(1), h(2)},тогда y (n ) = x (n )h(0 ) + x (n − 1)h(1) + x (n − 2 )h(2 )x(n)задержказадержкаx(n-1)x(n-2)h(2)h(1)Σy(n)h(0)Рис. 3.1 – Блок схема ЛИС системы86Таким образом, зная импульсную характеристику системы h(k ) (какмножество отсчетов длины K) всегда можно рассчитать отклик y (n ) на любуюK −1входную последовательность x(n ) : y (n ) = ∑ x(n − k )h(k ) .k =0Как известно, свертке во временной области соответствует произведениеФурье образов функций в частотной области.

Если известно h(n ) , то возможнорассчитать (с помощью ДПФ) спектр импульсной характеристики H (k ) –передаточная функция системы. Аналогично для входного сигнала x(n )рассчитаем спектр X (k ) . Тогда спектр выходного сигнала y (n ) равен:Y (k ) = H (k ) X (k ) . Выполнив ОДПФ последовательности Y (k ) можно получитьвременную зависимость y (n ) . Это один из путей практической реализациицифровых систем.873.1 Z-преобразованиеВ общем случае, дискретные системы, как и аналоговые, описываются спомощью дифференциальных уравнений. Отличия состоят в представлениирешения. В непрерывных функциях применялось преобразование ЛапласаF (s ) = ∫ f (t )e − st dt , позволяющее свести дифференциальное уравнение калгебраическому. В случае дискретных функций (сигналов) применяется zпреобразование, применяемое к разностному уравнению.Смысл z-преобразования состоит в том, что последовательности h(k )ставится в соответствие функция комплексной переменной, определяемаяследующим образом: H ( z ) =∞∑ h(k ) z −k ,k = −∞функция H ( z ) определена для тех z, при которых ряд сходится.3.1.1 Z-преобразование основных сигналов1.

Единичная импульсная функция1, n = 0x(n ) = 0, n ≠ 0X (z ) =∞∑ x(k )z −k = z 0 = 1 ,k = −∞функция определена на всей комплексной плоскости2. Единичный скачок1, n ≥ 0x(n ) = 0, n < 0X (z ) =∞∑ x(k )z−kk = −∞∞= ∑ z −k ,k =0ряд (геометрическая прогрессия) сходится при z > 1 : X ( z ) =11 − z −13. Степенная функцияa n , n ≥ 0x(n ) = 0, n < 088X (z ) =∑ x(k )z −k = ∑ a k z −k = ∑ (a −1 z ) ,∞∞∞k = −∞k =0k =0−kряд (геометрическая прогрессия) сходится при z > a : X ( z ) =11 − az −14. Затухающая синусоида x(n ) = a n cos(nt s +  )e j (kts + ) + e − j (kts + ) k −kX ( z ) = ∑ x(k )z = ∑a z =2k = −∞k =0ke j ∞e − j ∞j t s k − k((=ae ) z +ae − jts ) z −k∑∑2 k =02 k =0∞−k∞cos( ) − z −1a cos(t s −  )X (z ) =1 − z −1 2a cos(t s ) + a 2 z −23.1.2 Связь z-преобразования с Фурье преобразованиемДискретное z-преобразование связано с преобразованием Лапласа исоответственно с преобразованием Фурье.∞Рассмотрим сигнал x(t ) = ∑ x(k ) (t − kt s ) , применим преобразованиеk =0∞∞∞0k =00Лапласа: X (s ) = ∫ x(t )e − st dt = ∑ x(k )∫  (t − kt s )e − st dt .Далее,используяфильтрующеесвойстводельтафункции,получим:∞X (s ) = ∑ x(k ) e − skts .k =0∞Делая подстановку z = e sts , запишем выражение: X ( z ) = ∑ x(k ) z −k .k =0Такимобразом,связьмеждупреобразованиемЛапласаиz-преобразованием выражается следующим образом:1X ( z ) = X  s = ln z  и X (s ) = X z = e sts .ts()Аналогично для Фурье преобразования: 1X ( z ) = X ln z  и X ( j ) = X (e jts ). jt s893.1.3 Свойства z-преобразованияПусть сигналы x1 (n ) , x2 (n ) имеют z-преобразования X 1 ( z ) и X 2 ( z )соответственно.1.

ЛинейностьZ-преобразование линейной комбинации сигналов ax1 (n ) + bx2 (n ) естьлинейная комбинация их z-преобразований aX 1 ( z ) + bX 2 ( z ) , где a, b ∈ ℜ2. ЗадержкаZ-преобразование последовательности x1 (n ) задержанной на n0 отсчетов:y (n ) = x1 (n − n0 ) естьY (z ) =∞∑ x1 (n − n0 )z −n = z −n0n = −∞∞∑ x1 (n − n0 )z −(n−n ) = z −n0n = −∞0X 1 (z )Множитель z − n0 называется оператором задержки на n0 отсчетов (тактов).3.

СверткаZ-преобразование выражения свертки сигналов y (n ) =∞∑ x1 (k )x2 (n − k )естьk = −∞произведение их z-преобразований:Y (z ) == ∞n = −∞  k = −∞∞ ∞n = −∞  k = −∞∞∑  ∑ x1 (k )x2 (n − k ) z −n = ∑  ∑ x1 (k )x2 (n − k )z −(n−k ) z −k  =∞∞∑ x1 (k )z ∑ x2 (n − k )z −(n−k ) = X 1 (z )X 2 (z )k = −∞−kn = −∞3.1.4 Обратное z-преобразованиеСоответствие между дискретной последовательностью (цифровымсигналом) и ее z-преобразованием является взаимно-однозначным. Поэтомупереходизz-областикпоследовательностивовременнойобластиосуществляется по формуле:x(k ) =1X ( z )z k −1dz∫j 2где интегрирование ведется по контуру в области сходимости функции X ( z ) ,охватывающему все ее полюса.90На практике обратное z-преобразование находят разложением функцииX ( z ) на простые дроби и последующим сопоставлением в соответствиекаждому слагаемому (простой дроби) одно из типовых разложений (поаналогии с нахождением оригинала функции в операторном методе).913.2 Описание цифровой системы в z-областиЛИС система цифровой обработки сигналов аналогично системеаналоговой обработки сигналов характеризуются во временной области:импульсной характеристикой h(k ) и в частотной области – передаточнойфункцией H ( z ) .

Причем связь между ними в соответствии с определением zпреобразования осуществляется следующим образом:H (z ) =Y (z ) ∞= ∑ h(k ) z −k ,X ( z ) k =0Система{h(k)}x(k)y(k)где Y ( z ), X ( z ) – z-преобразования выходного и входного сигналов.В общем случае, система взвешивает отсчеты входного сигнала x(k ) иотсчеты выходного сигнала y (k ) во временной области, реализуя, такимобразом, дробно-рациональную функцию H ( z ) , определяющую частотныехарактеристики (делая подстановку z = e jts и разлагая комплексную функциюна модуль и аргумент, получаем АЧХ и ФЧХ системы).

Поэтому во временнойобластицифровыесистемыописываютсяразностнымуравнением(свещественными коэффициентами bm и an):∞∞m =0n =1y (k ) = ∑ bm x(k − m ) − ∑ an y (k − n ) .Применив к разностному уравнению z-преобразование, получим∞∞−n Y ( z )1 + ∑ an z  = X ( z )∑ bm z −m .m =0 n=1∞Следовательно H ( z ) =∑ bm z −mm =0∞1 + ∑ an z– передаточная функция в z-области.−nn =1Характеристикисистемызависятотколичестваивеличинкоэффициентов bm и an. Разложив числитель и знаменатель функции передачина множители получим выражение:92H (z ) = K 0∏ (1 − z m z −1 )m∏ (1 − pn z)−1,nгде zm – нули функции, pn – полюса функции, K0 – коэффициент усиления.Как и в аналоговых системах полюса могут быть комплексно-сопряженнымиили действительными, в том числе кратными.3.2.1 Устойчивость дискретных системСистема называется устойчивой, если при любых начальных условияхсвободные колебания (собственные) являются затухающими, т.е.

lim y (k ) = 0k →∞при x(k ) = 0 .Поскольку любой сигнал на выходе ЛИС системы есть линейнаякомбинация задержанных во времени импульсных характеристик, то дляобеспечения устойчивости необходимо, чтобы импульсная характеристикасистемы была затухающей.Как и в случае дифференциальных уравнений, так и в случае разностныхуравнений, описывающих дискретную систему, – их решения могут иметьнескольковидов(илиихсочетаний)взависимостиоткорнейхарактеристического уравнения (полюсов передаточной функции):- действительные отрицательные корни;- комплексно-сопряженные корни;- кратные корни.Выражение H ( z ) можно разложить на простые дроби:N RnH ( z ) = ∑∑n =1 r =1qnr(1 − p z )−1 rn+M∑ k m z −m ,m =0где pn – полюса функции H ( z ) (корни знаменателя), qnr – соответствующие имвычеты, Rn – кратность корня, коэффициенты km характеризуют целую частьфункции H ( z ) .93Тогда в импульсной характеристике h(k ) слагаемым видаRn∑r =1qnr(1 − p z )−1 rnбудут соответствовать слагаемые типа:qn pnk – для отрицательных некратных корней;Rn∑ Ai−1k i−1 pnk– для кратных корней;i =1qn pnk + qn* ( pn* ) = 2 qn pn cos( n k + arg(qn )) – для комплексно-сопряженныхkkкорней ( pn =  n + j n ).Следовательно, для затухания импульсной характеристики необходимочтобы модули полюсов системы были меньше единицы: pn < 1 .

Другимисловами: дискретная система устойчива, если ее полюса лежат на комплекснойплоскости внутри круга единичного радиуса.3.2.2 Фазовая и групповая задержкаЗадержкараспространениясигналоввовремениотноситсякхарактерной особенности каузальных систем. Фазовая задержка – это прямаяхарактеристика временной задержки системой гармонических колебаний. Приподаче на вход системы гармоники sin (t ) , сигнал на выходе каузальнойсистемы, без учета изменения его амплитуды, равен sin (t −  ) , при этом:sin ( t −  ) = sin [ (t − t d )] , т.е. задержка td на частоте ω равна: t d =Распространяя результат на каждую частоту: t d () =.( ).Постоянство значения t d ( ) в определенном частотном диапазонеобеспечивает для всех гармоник сигнала такое же соотношение их фазовыххарактеристик, какое было на входе системы, т.е.

не изменяет формы сигнала(при постоянстве АЧХ в этом же частотном диапазоне).Каузальные системы, как правило, имеют в рабочем диапазонеопределенную зависимость значения td от частоты, которая характеризуетсягрупповым временем запаздывания (ГВЗ). ГВЗ характеризует среднюю94временную задержку составного сигнала (содержащего набор гармоническихколебаний).Допустим, что сигнал на входе системы представляет собой сумму двухгармоник с близкими частотами: x(t ) = cos(1t ) + cos( 2 t ) , что тождественнотригонометрической записи: x(t ) = 2 cos[0.5(1 +  2 )t ]cos[0.5(1 −  2 )t ] .

Этоозначает, что сумму двух гармоник с частотами ω1 и ω2 можно рассматривать,как амплитудную модуляцию гармоники с частотой 0.5(ω1+ω2) гармоникой счастотой 0.5(ω1-ω2).При прохождении через систему каждая из гармоник ω1 и ω2 можетполучить различную задержку, при этом сигнал на выходе фильтра, без учетаамплитудных изменений: y (t ) = cos(1t −  1 ) + cos( 2 t −  2 ) ,что тождественно:y (t ) = 2 cos[0.5(1 +  2 )t − 0.5( 1 +  2 )] ⋅ cos[0.5(1 −  2 )t − 0.5( 1 −  2 )] .Пульсацию колебаний (определяется меньшей частотой) выразим черезгрупповую временную задержку tg:cos[0.5(1 −  2 )t − 0.5(1 −  2 )] = cos[0.5(1 −  2 )(t − t g )] .Отсюда: (1 −  2 )t g = (1 −  2 ) и t g = 1 −  2 – наклон фазочастотной=1 −  2 характеристики системы. При распространении выражения на непрерывнуючастотную характеристику получим: t g ( ) =d.dТаким образом, для того чтобы система обладала линейной фазовойхарактеристикой необходимо и достаточно обеспечить постоянную величинуГВЗ.

Характеристики

Список файлов лекций