Курс лекций дисциплины вариативной части математического и естественнонаучного цикла (855805), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Передаточная функция общей системы равна суммепередаточных функций фильтров в нее входящих: H ( z ) = ∑ H n ( z ) .nx(k)H1(z)H2(z)H3(z)…HN(z)y(k)+H(z)Рис. 3.14 – Параллельное соединение фильтровСоединение обратной связи. Сигнал первого фильтра подается на выходсистемы и одновременно на вход фильтра обратной связи, выходной сигналкоторого суммируется (со знаком плюс или минус в зависимости от видасвязи: отрицательной или положительной), с входным сигналом системы.Эквивалентная передаточная функция системы: H ( z ) =H1 (z ).1 ± H 1 ( z )H 2 ( z )x(k)+H1(z)y(k)H2(z)H(z)Рис. 3.15 – Соединение с обратной связью1063.4 Обобщенное описание дискретной сверткиВыражениелинейнойсверткиy (k ) =M −1∑ h(m )x(k − m )применялосьm =0неоднократно и кажется простым.

Однако, рассмотрим дискретный сигналx(n ) (N отсчетов) и импульсную характеристику h(m ) (M отсчетов), тогдарезультат фильтрации сигнала, строго говоря, будет содержать K = N + M − 1отсчетов.Рассмотрим пример:h(m ) = {0.25,0.5,0.25} (M=3, фильтр 2-го порядка),x(m ) = {1,1,1,1,1} (N=5) при 0≤m≤4 и x(m ) = 0 при других значениях m.Тогда свертка определяется следующим образом (7 отсчетов):y (0 ) = h(0 )x(0 ) + h(1)x(− 1) + h(2 )x(− 2 ) = 0.25y (1) = h(0 )x(1) + h(1)x(0 ) + h(2 )x(− 1) = 0.75y (2 ) = h(0 )x(2 ) + h(1)x(1) + h(2 )x(0 ) = 1.0y (3) = h(0 )x(3) + h(1)x(2 ) + h(2 )x(1) = 1.0y (4 ) = h(0 )x(4 ) + h(1)x(3) + h(2 )x(2 ) = 1.0y (5) = h(0 )x(5) + h(1)x(4 ) + h(2 )x(3) = 0.75y (6 ) = h(0 )x(6 ) + h(1)x(5) + h(2 )x(4 ) = 0.25k=0x(5)0x(4)1x(3)1x(2)1x(1)1k=100x(4)x(3)x(2)k=2000x(4)x(3)h(0)0.25h(1)0.5h(2)0.25x(0)1x(-1)0x(-2)0h(0)h(1)h(2)x(1)x(0)0h(0)h(1)h(2)x(2)x(1)x(0)y (0 ) =x(-3)0x(-5)00x(-6)0M −1∑ h(m )x(1 − m )m =00y (2 ) =0∑ h(m )x(− m )m =0x(-4)0y (1) =0M −100M −1∑ h(m )x(2 − m )m =000107h(0)k=30000x(4)k=400000k=500000k=600000h(1)h(2)x(3)x(2)x(1)h(0)h(1)h(2)x(4)x(3)x(2)h(0)h(1)h(2)0x(4)x(3)h(0)h(1)h(2)00x(4)y (3) =x(0)0M −1∑ h(m )x(4 − m )m =000M −1∑ h(m )x(5 − m )m =0x(1)y (6 ) =x(3)0x(0)y (5) =x(2)∑ h(m )x(3 − m )m =00y (4 ) =x(1)M −1x(0)0M −1∑ h(m )x(6 − m )m =0x(2)x(1)x(0)Рассматривая процесс вычисления свертки и обращая внимание наиндексы, можно отметить:− в общем случае, при свертке двух последовательностей неважно какую мыназываем сигналом и какую импульсной характеристикой, поэтому неважнокакую последовательность дополним нулями;− отрицательныеиндексысоответствуют«будущему»,всегдаможнопереиндексировать последовательность дополненную нулями так чтобы небыло отрицательных индексов:x′(m ) = {0,0,1,1,1,1,1} (в данном примере на M-1 нулевой отсчет);− суммирование произведений соответствует умножению вектора на строкуматрицы.Поэтому операцию линейной свертки можно представить в видепроизведения матриц:108000 h(2 ) h(1)   x(0 ) y (0 )  h(0 ) 0 000 h(2 )  x(1)  y (1)   h(1) h(0 ) 0  y (2 ) h(2 ) h(1) h(0 ) 0000   x(2 )  y (3) =  0 h(2 ) h(1) h(0 ) 000   x(3)  y (4 )  00 h(2 ) h(1) h(0 ) 00   x(4 )  y (5)  000 h(2 ) h(1) h(0 ) 00   y (6 )  0000 h(2 ) h(1) h(0 )  0  Или в общем случае: Y = TX (для определенности положим N>M)Y = [ y (0 ),..., y ( N + M − 1)] , X = [x(0 ),..., x( N − 1),0,,0]TКвадратнаяматрицаTTявляетсятеплицевойматрицейразмерностьюK = N + M − 1.0 h0 hh0 1 h2h1... ...hM −2 hM −3 hM −1 hM −2 0 hM −1T=0 0 ......0 0 00 ......0 0 0000h0...hM −4hM −3hM −2hM −1...00...00..........................................000...h0h1h2h3...000...0h0h1h2...000...00h0h1...000...000h0......

00... 00... 00... ..................... ......... h00... h1h0... ... ... ... ... ......0 0 0 0 ... hM −1 hM −20 0 0 0 ... 0 hM −1..........................................h2 h1  0h3 h2  1h4 h3  2... ...  …0 hM −1  M-200  M-100  M00  M+1... ...  …00  N-100  N... ...  …h0 0  M+N-2h1 h0  M+N-11093.5 Циклическая сверткаРассмотрим произведение двух дискретных сигналов{x1 (n )}, {x2 (n )}одинаковой длины N: y (n ) = x1 (n )x2 (n ) .

Определим спектр этого произведения:Y (k ) =1NN −1∑ X 1 (n )X 2 (k − n ) , где X1 и X2 – спектры сигналовn =0x1 и x2 .При вычислениях по этой формуле потребуются отсчеты с номерами,[0, N − 1] .выходящими за пределы интервалаВ этом случае учтемпериодичность спектра X 2 (k ) = X 2 (k ± N ) .

Тогда индексы в слагаемых суммыбудут «зациклены». Поэтому это выражение называют круговой илициклической сверткой. На практике, в отличие от линейной свертки,циклическую свертку реализуют не дополнением последовательности нулями,N −1а модулярной арифметикой индексов: y (k ) = ∑ x1 (n )x2 ((k − n ) mod N ) ,n =0где операция (k − n ) mod N означает вычисление остатка от деления числа(k − n ) на число N.Поэтому в матричной форме, в отличие от матрицы линейной свертки,матрица ДПФ будет симметричной, а не теплицевой, и представлять собойциклическую свертку степеней комплексной экспоненты на сигнал.A ДПФ11122−j−j 2Nee N122−j 2−j 4N1 ee N=.........22− j ( N −2 )− j 2( N −2 )1 e Ne N22− j ( N −1)− j 2 ( N −1) 1 e Ne N.........1ee−j.........

e2− j ( N −1)N22( N −2 )N...e2− j ( N − 2 )2N−je2− j 2 ( N −1) e N...2− j ( N − 2 )( N −1)Ne2− j ( N −1)2Ne12− j ( N −2 )N2( N − 2 )( N −1)NY = A ДПФ X – ДПФ как преобразование вектора X в вектор Y. При правильномвыборедлиныпреобразованиявекторYбудетотождествлятьсясоспектральной плотностью сигнала X. Порядок вычислительной сложностиопределяется N2 операций умножения и N(N-1) операций сложения.1103.6 ДПФ как фильтрация сигналаРассматривая формулу прямого вычисления ДПФ (спектральнойN −1плотности сигнала) X (n ) = ∑ x(k ) e−j2 nkNможно отметить, что выражениеk =0идентично выражению свертки, с учетом eN −1X (n ) = ∑ x(k ) ej2 n( N −k )N−j2 nkN=e−j2 nNNe−j2 n(k − N )Nj=e2 n( N −k )N:, т.е. коэффициенты фильтра есть комплексные значенияk =0экспоненты hn (k ) = ej2 nkN(для каждого частотного отсчета n будет свой наборкоэффициентов фильтра). Поэтому коэффициент передачи: H n ( z ) =N −1∑ej2 nkNz −kk =0представляет собой ряд – геометрическую прогрессию:H n (z ) =1 − z−N1− ej2 nNzи H n ( j ) =−11 − e − j t s N1− ej2 nNe(ts – период дискретизации).− j t s f sin   N sin (0.5t s N ) fs АЧХ фильтра имеет вид: H n ( ) =.=2n    fnsin  0.5 t s −  sin   −  N N  fsH2(ω)H6(ω)Hn(ω)~0.632H3(ω)f/fsРис.

3.16 – АЧХ каналов ДПФ111Таким образом, ДПФ представляет собой N фильтров полосового типа(длиной N отсчетов), настроенных на свои центральные частоты f n =образующихканалыДПФ.Еслизаметить, f − f n  f n  f − fn fn +  = N  + NN = N fsN fs  f s  f s чтоnfs иNfn f − fn− =fs Nfsи(πn – поворот фазы, намодуль не влияет), то можно записать АЧХ канала ДПФ в виде:f − fn sin  Nfs,H n ( ) = f − fn sin  fsв математике выражение такого вида известно как ядро Дирихле:1 n jkx 1 nsin (nx + 0.5 x )Dn ( x ) = ∑ e = + ∑ cos(kx ) =(свертка с ядром Дирихле дает2 k =− n2 k =12 sin (0.5 x )частичную сумму тригонометрического ряда Фурье).Совокупность АЧХ фильтров образует флуктуацию амплитудногоспектра. Поэтому амплитуда частотной составляющей на частоте междуцентральными частотами соседних каналов ДПФ будет ослаблена, в данномпримере на частоте f=0.25fs почти на 4 дБ (0.632 раз).

Этот эффект известен какгребешковые искажения ДПФ (или эффект частокола). Этому эффектуподвержены все окна анализа (у каждого окна уровень гребешковыхискажений свой, минимален он у плоского окна).1123.7 Эффекты квантованияВ системах цифровой обработки сигналов при совершении операций надсигналамиможновыделитьнесколькоисточниковвозникновенияпогрешности от эффектов представления чисел в разрядной сетке конечнойдлины:− шум квантования, возникающий при оцифровке аналогового сигнала(посредством аналого-цифрового преобразования);− искажение характеристик системы при квантовании коэффициентовцифровых фильтров, нормирующих множителей и т.п.;− переполнение разрядной сетки при вычислениях (внутри системы);− округления промежуточных и/или выходных значений.3.7.1 Шум квантованияОбработка сигналов в цифровой форме возможна в виде:− чисел с фиксированной точкой (например: целочисленное представление)− чисел с плавающей точкой (представление чисел в виде m ⋅ 2 p , m – мантиссачисла, p – порядок числа)При представлении чисел в целочисленном формате (r - разрядов), чтохарактернодляработыаналого-цифровыхпреобразователей(АЦП),определяют:− значение младшего значащего разряда (МЗР) как отношение диапазонавходного напряжения к 2r (величина означает, что без погрешности будутпредставляться уровни напряжения кратные величине МЗР, остальныезначения будут округляться – шум квантования);− динамический диапазон, как отношение наибольшего числа (2r-1) кнаименьшему (1): D = 20 lg(2 r − 1) ≈ 6.02r (дБ) при условии 2 r >> 1.Таким образом, шум квантования (ошибка округления) для идеального АЦПне превышает величины 0.5МЗР, а по своемуpМЗР-1характеру является случайным процессом сравномерной функцией плотности вероятности.0.5МЗР0Значение0.5МЗР ошибки11321  V pp  =  r  , Vpp – размах12  2 2Тогда дисперсия квантователя составит:напряжения (peak to peak), для синусоидального сигнала равен двумамплитудам.Для оценки качества процессов применяют понятие SNR (SNR – signalnoise ratio) – отношение сигнал шум (ОСШ) – как отношение дисперсии2сигнала  сигналк дисперсии шума квантования  2 .

Тогда для гармоническогосигнала с амплитудой Am ОСШ имеет вид:()2 A2m ≈ 6.02r + 1.761 (дБ).SNR = 10 lg (2 A 2 r )2 12 mНа практике из-за неидеальности АЦП полагают, что ОСШ на 4-6 дБ хуже(усредненные показатели). Например, для 8-разрядного АЦП ОСШ составляет49.9 дБ (на практике: не более 45 дБ). В частности, для типового 12-разрядногоАЦП max1421 (Maxim) SNR по документации составляет 66 дБ, а по формулеполучаем 74 дБ.3.7.2 Квантование коэффициентовКаждаяцифроваясистемахарактеризуетсяимпульснойхарактеристикой.

В частности, цифровые фильтры задаются наборомкоэффициентов,которыеквантуютсядляпредставлениявнутривычислительного устройства. При этом округление коэффициентов вызываетизменениехарактеристикфильтраотносительнохарактеристикиснеквантованными коэффициентами. Особенно ярко это проявляется врекурсивных, адаптивных системах. Масштабы искажений характеристикизависят не только от разрядности коэффициентов, но и от положения полюсовфункции передачи системы (искажения носят нелинейный характер: маломуизменению коэффициентов может соответствовать большое изменениефункции передачи).Пример.114Пусть фильтр описывается уравнением y (k ) = 0.25 x(k ) + 0.7612 y (k − 1) .Тогда при квантовании коэффициентов фильтра в 3-разрядной сетке получим:yкв (k ) = 0.25 x(k ) + 0.75 y (k − 1) ,т.е.ошибкаокруглениякоэффициентасоставляет менее 1.48%.

Построим функцию ошибки задания АЧХ фильтра:err =H ( ) − H кв ( )100% .H ( )err, %f/fsРис. 3.17 – Функция ошибки задания АЧХ при квантованиикоэффициентов фильтраКак видно, ошибка задания АЧХ низкочастотного БИХ фильтра достигаетмаксимального значения (3.5-4.5)% как раз в полосе пропускания фильтра.Кроме того, чем выше порядок фильтра, тем «чувствительнее» его АЧХ кквантованию коэффициентов, уже не говоря о случаях, когда квантованиекоэффициентов приводит к смещению полюсов функции за пределыединичной окружности (неустойчивость фильтра).3.7.3 Переполнение разрядной сеткиДругим источником искажений сигнала при прохождении через системуобработки сигналов является переполнение разрядной сетки. Дело в том, что,проектируя систему обработки сигналов, следует помнить, что на входустройства кроме полезного сигнала поступают помехи.

Характеристики

Список файлов лекций