Курс лекций дисциплины вариативной части математического и естественнонаучного цикла (855805), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Это выполняется, если импульсная характеристика системы h(n )симметрична: h(n ) = h( N − n − 1) или антисимметрична: h(n ) = −h( N − n − 1) ,n=0, 1, …, (N-1)/2, если N – нечетное;n=0, 1, …, (N/2)-1, если N – четное.(*) Примем этот факт без доказательства.953.3 Цифровые фильтрыЦифровая фильтрация является ключевой операцией ЦОС. Как ианалоговые фильтры, цифровые фильтры предназначены для избирательногоизменения спектрального состава сигнала (задачи подавления помех,сглаживания, частотного разделения, выделения сигналов и т.п.).Фильтр является классическим примером ЛИС системы. Поэтомухарактеристики фильтров характеризуются его импульсной характеристикой,которая полностью определяет его частотные свойства (АЧХ и ФЧХ).

Приэтом порядок фильтра определяется числом коэффициентов в разностном∞∞m =0n =1уравнении: y (k ) = ∑ bm x(k − m ) − ∑ a n y (k − n ) .На рис. 3.2 представлена классификация фильтров по основнымпризнакам.Фильтры с конечной импульснойхарактеристикой (КИХ фильтры) –нерекурсивные фильтры,коэффициенты an=0Частотнойселекции:ФНЧ, ФВЧ,ППФ и т.п.Фильтры с бесконечной импульснойхарактеристикой (БИХ фильтры) –рекурсивные фильтрыЭвристические- медианный- авторскиеЦифровые фильтрыОптимальные(квазиоптимальные)АдаптивныеНа основе МНКЛинейные:- фильтры Калмана- максимального ОСШ- фильтры ВинераНелинейные- во временной области- в частотной области- с обратной связьюРекурсивный МНК- прямые- решетчатыеРобастные(с коррекцией импульсной иличастотной характеристик)На основенелинейных методовРис.

3.2 – Обобщенная классификация цифровых фильтров96К основным параметрам фильтров относят:- порядок фильтра (число коэффициентов фильтра);- полоса пропускания;- полоса задерживания;- неравномерность АЧХ в полосе пропускания (δ1);- уровень пульсаций в полосе задерживания (δ2);- групповое время запаздывания.Aпереходная полосаδ1полоса пропусканияполоса задерживанияδ2fРис. 3.3 – Обобщенный вид АЧХ фильтраЦифровые фильтры (ЦФ) по сравнению с аналоговыми обладают рядомпреимуществ:• ЦФ могут иметь параметры, реализация которых невозможна в аналоговыхфильтрах (например, линейную фазовую характеристику);• Работоспособность ЦФ не зависит от дестабилизирующих фактороввнешней среды (например, температуры);• Один ЦФ может обрабатывать несколько входных каналов или сигналов;• Входные и выходные данные можно сохранять для последующегоиспользования;• Точность цифровых фильтров ограничена только разрядностью отсчетов;• Фильтры могут использоваться при очень низких частотах и в большомдиапазонечастот,длячегодостаточнотолькоизменятьчастотудискретизации данных.973.3.1 КИХ-фильтрыНерекурсивные фильтры описываются импульсной характеристикой:My (k ) = ∑ bm x(k − m )m =0Импульсная характеристика КИХ фильтров имеет конечную длину (M+1отсчет), при этом количество используемых предыдущих отсчетов Mназывают порядком фильтра.

Набор коэффициентов bm представляет собойимпульсную характеристику h(k ) .x(n)z-1b0x(n-1)x(n-i)z-1…b1z-1…z-1bix(n-M)bM……Σy(n)Рис. 3.4 – Прямая форма реализации КИХ фильтраВследствие отсутствия обратных связей (текущий отсчет y (k ) зависиттолько от набора входных отсчетов), КИХ фильтры всегда устойчивы. Этообстоятельство и простота их реализации служит широкому распространениюКИХ фильтров. Однако реализация на их основе фильтров с хорошейпрямоугольностью АЧХ требует высокого порядка фильтров (M – донескольких сотен, тысяч).Несомненным достоинством КИХ фильтров является возможностьреализации абсолютно линейной ФЧХ и, следовательно, постоянной величиныГВЗ, что обеспечивает условия отсутствия искажений формы сигнала. Дляобеспечения линейности фазы необходимо чтобы импульсная характеристикабыла симметричной bm = bM −m или антисимметричной bm = −bM −m .

ГВЗ такихфильтров составляет 0.5M отсчетов (или 0.5Mts секунд, ts – периоддискретизации).98КИХ фильтры могут быть и некаузальными: y (k ) =M∑ bm x(k − m ) ,т.е.m=− M ′реализуются сдвигом входных данных на величину M` отсчетов. При M = M ′фильтр называется двусторонним симметричным. Симметричные фильтры, вотличие от односторонних фильтров, не изменяют фазы обрабатываемогосигнала. Интервал суммирования по m получил название "окна" фильтра.Пример 1.Пусть дана импульсная характеристика фильтра h(k ) = {0.25,0.5,0.25}.y (k ) = 0.25 x(k ) + 0.5 x(k − 1) + 0.25 x(k − 2 )Определим частотные характеристики фильтра.H ( z ) = 0.25 z 0 + 0.5 z −1 + 0.25 z −2H ( j ) = 0.25 + 0.5e − jts + 0.25e − j 2 ts = 0.25 + 0.5 cos(t s ) − j 0.5 sin (t s ) ++ 0.25 cos(2t s ) − j 0.25 sin (2t s )АЧХ:H ( ) =(0.25 + 0.5 cos(t s ) + 0.25 cos(2t s ))2 + (0.5 sin (t s ) + 0.25 sin (2t s ))2ФЧХ:( ) = − arctg0.5 sin (t s ) + 0.25 sin (2t s )0.25 + 0.5 cos(t s ) + 0.25 cos(2t s )Рис.

3.5 – АЧХ и ФЧХ фильтра 2-го порядка99Пример 2.Пусть дана импульсная характеристика фильтра h(k ) = {0.25,0.25,0.25,0.25} –усредняющий фильтр: y (k ) =1[x(k ) + x(k − 1) + x(k − 2) + x(k − 3)].4Определим частотные характеристики фильтра: H ( z ) = 0.25(1 + z −1 + z −2 + z −3 ) .H ( j ) =H ( ) =1[1 + cos(t s ) + cos(2t s ) + cos(3t s ) − j (sin (t s ) + sin (2t s ) + sin (3t s ))]4(1 + cos(t s ) + cos(2t s ) + cos(3t s ))2 + (sin (t s ) + sin (2t s ) + sin (3t s ))2sin (t s ) + sin (2t s ) + sin (3t s )( ) = − arctg1 + cos(t s ) + cos(2t s ) + cos(3t s )12Рис.

3.6 – АЧХ и ФЧХ усредняющего фильтра 3-го порядка1003.3.2 БИХ-фильтрыРекурсивные фильтры описываются импульсной характеристикой:MNm =0n =1y (k ) = ∑ bm x(k − m ) − ∑ an y (k − n )Наличие обратной связи (за счет слагаемых с коэффициентами an)позволяет получить фильтры с бесконечной импульсной характеристикой –рис. 3.7. По этой же причине БИХ фильтры могут быть неустойчивыми.x(n)b0y(n)Σz-1z-1b1-a1z-1z-1b2…-a2……bM-1…-aN-1z-1z-1bM-aNРис. 3.7 – Прямая форма реализации БИХ фильтраМысленноразделимслагаемыенадвечасти:рекурсивнуюинерекурсивную, а также объединим слагаемые относительно задержек –получим еще одну форму реализации БИХ фильтра – каноническую (илипрямая форма 2) – рис.

3.8. Каноническая форма требует минимальногообъема памяти для запоминания отсчетов.Если в прямой реализации поменять местами блоки умножения изадержки, а также сгруппировать слагаемые относительно задержек можнополучить транспонированную реализацию БИХ фильтра– рис. 3.9.Транспонированная форма позволяет распараллеливать процесс вычислений.101x(n)Σb0Σy(n)z-1b1-a1……-aM…bM……z-1-aNРис. 3.8 – Каноническая форма реализации БИХ фильтраНаконец, из представления передаточной функции в виде разложения намножители: H ( z ) = K 0∏ (1 − z m z −1 )m∏ (1 − pn z−1)следует возможность реализации БИХnфильтров в виде каскадного соединения фильтров 1-го или 2-го порядков. Этаформа часто применяется на практике, т.к.

позволяет ослабить влияниеэффектов квантования (округлений).Параллельную форму можно получить, воспользовавшись разложениемH ( z ) на простые дроби. Эта форма также содержит звенья 1-го и 2-гопорядков и допускает параллельные вычисления.102x(n)b0y(n)+z-1b1+-a1z-1b2+-a2………bM+-aM……z-1-aNРис. 3.9 – Транспонированная форма реализации БИХ фильтраПример 1.Пусть фильтр описывается уравнением y (k ) = b0 x(k ) − a1 y (k − 1) .Определим его частотные характеристики: H ( z ) =b0, очевидно для1 + a1 z −1устойчивости фильтра необходимо чтобы a1 < 1 .H ( j ) =b0b0=1 + a1e − jts 1 + a1 cos(t s ) − ja1 sin (t s )АЧХ: H ( ) =b0(1 + a1 cos(t s ))2 + (a1 sin (t s ))2ФЧХ: ( ) = − arctg− a1 sin (t s )1 + a1 cos(t s )Зададим коэффициенты фильтра: b0=0.25, a1=-0.75.103Рис.

3.10 – АЧХ и ФЧХ фильтра 1-го порядкаx(n)y(n)0.25+0.25+x(n)y(n)z-1z-10.750.75Рис. 3.11 – Прямая (слева) и каноническая (справа) формы реализации БИХ фильтраПример 2.y (k ) = b0 x(k ) + b1 x(k − 1) − a1 y (k − 1) − a2 y (k − 2 )b0 + b1 z −1H (z ) =1 + a1 z −1 + a2 z −2H ( j ) =b0 + b1 cos(t s ) − jb1 sin (t s )1 + a1 cos(t s ) − ja1 sin (t s ) + a2 cos(2t s ) − ja 2 sin (2t s )Зададим коэффициенты фильтра: b0=0.2, b1=0.2, a1=-0.96, a2=0.36 и рассчитаемчастотные характеристики.Определим полюса функции H ( z ) : z1 = 0.48 + j 0.36 , z 2 = 0.48 − j 0.36 и еенули: z 0 = −1 . Так как полюса комплексные, то реализовать фильтр второгопорядкадвумяфильтрамипервогопорядкасдействительнымикоэффициентами нельзя.104f/fsf/fsРис.

3.12 – АЧХ (слева) и ФЧХ (справа) БИХ фильтра 2-го порядкаПример 3.Дана передаточная функция:3 z −2 + 1. Записать разностноеH ( z ) = −22 z − 3 z −1 + 1уравнение и сделать выводы об устойчивости фильтра.Разностное уравнение: y (k ) = x(k ) + 3 x(k − 2 ) − [− 3 y (k − 1) + 2 y (k − 2 )] .Корни знаменателя H(z): 2 z −2 − 3 z −1 + 1 = 0 , откуда z1=1, z2=2.Так как корни лежат вне круга единичного радиуса, то фильтр неустойчив.3.3.3 Соединение фильтровПоследовательноепредшествующегосоединениефильтрафильтров:являетсявходнымвыходнойдлясигналпоследующего.Передаточная функция общей системы равна произведению передаточныхфункций фильтров в нее входящих: H ( z ) = ∏ H n ( z ) .nx(k)H1(z)H2(z)H3(z)…HN(z)y(k)H(z)Рис. 3.13 – Последовательное соединение фильтров105Параллельное соединение фильтров: сигнал подается на входы всехпараллельно соединенных фильтров одновременно, выходные сигналыфильтров суммируются.

Характеристики

Список файлов лекций