Курс лекций дисциплины вариативной части математического и естественнонаучного цикла (855805), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Сформируем комплексныйсигнал, состоящий из четных и нечетных отсчетов сигнала x(n ) :v(n ) = x(2n ) + jx(2n + 1), n = 0,, N − 1 (этот сигнал в два раза короче).Определим спектр комплексного сигнала v(n ) :−j1 N −1V (k ) = ∑ [x(2n ) + jx(2n + 1)]eN n =0k = 0,  , N − 12 knN1=NN −1∑ x(2n )en =0−j2 knNj+NN −1∑ x(2n + 1)e−j2 knNn =0Первое слагаемое это ДПФ масштабированного сигнала:N −1∑ x(2n )e−j2 knNn =0=1X чет  22Второе слагаемое это ДПФ масштабированного и сдвинутого сигнала:N −1∑ x(2n + 1)e−j2 knNn =0=1X нечет  e j 0.522Делая замену переменных: x1 (n ) =11x(2n ) и x2 (n ) = x(2n + 1) сводим кNNзадаче метода двойного преобразования:N −1V (k ) = ∑ x1 (n )en =0−j2 knNN −1+ j ∑ x2 (n )en =0−j2 knN=N −1N −1  2k   2k  2k   2k  = ∑ x1 (n ) cosn  − j sin n   + j ∑ x2 (n ) cosn  − j sin n =n =0n =0 N  N   N   N N −1 2k  2k   2k  2k  = ∑  x1 cosn  + x2 sin n   + j ∑  x2 cosn  − x1 sin n =n =0 n =0  N  N  N  N = Vre (k ) + jVim (k )N −1Аналогично:N −1 2k  2k  X ( N − k ) = ∑  x1 cosn  − x2 sin n +n =0  N  N N −1 2k  2k  + j ∑  x2 cosn  + x1 sin n   = Vre ( N − k ) + jVim ( N − k )n =0  N  N 138Тогда с учетом свойств масштабирования и сдвига можно получить: k X re (k ) = 0.5[Vre (k ) + Vre ( N − k )] + 0.5[Vim ( N − k ) + Vim (k )]cos  −N k 0.5[Vre (k ) − Vre ( N − k )]sin  N k X im (k ) = 0.5[Vim (k ) − Vim ( N − k )] − 0.5[Vim (k ) + Vim ( N − k )]sin   −N k 0.5[Vre (k ) − Vre ( N − k )]cos NЭффективность вычислений теоретически меньше чем у методадвойного преобразования.

В таблице 4.3 представлено аналитическоесравнение метода с расчетом двух независимых БПФ для каждого сигнала.Таблица 4.3 – Эффективность метода «удвоенной длины сигнала»Вид алгоритмаОперацииСложенияУмножения6 N log 2 N4 N log 2 N3 N log 2 N + 8 N2 N log 2 N + 8 NДва БПФУдвоенная длинаТогда можно вычислить коэффициент эффективности в зависимости отдлины преобразования (считая, что операции умножения и сложения имеютодинаковую трудоемкость вычисления):  =log 2 N − 2100% . На рис. 4.162 log 2 N + 2построена полученная зависимость.η, %504030201001102103104N10Рис. 4.16 – Эффективность метода БПФ удвоенной длины сигнала1394.3 Преобразование случайного сигнала в дискретной системеРассмотрим дискретную систему с импульсной характеристикой h(k ) .Пусть на ее вход поступает стационарный случайный процесс{x(k )}скорреляционной функцией Rx.{x(k )}y (k )Блок обработкисигналовh(k )Рис.4.17 – Цифровая система обработки сигналовТогда по определению корреляционной функции: R y (n ) =∞∑ y(k ) y(k + n ) .k = −∞Выходной сигнал является результатом свертки входного сигнала иимпульсной характеристики системы:y (k ) =∞∑ x(k − m1 )h(m1 ) и y(k + n ) =m1= −∞∞∑ x(k + n − m2 )h(m2 )m 2 = −∞В результате, преобразовав произведение сумм в сумму произведений ипоменяв порядок суммирования, получим:R y (n ) ===∞ ∞ ∞()()xk−mhm∑  ∑11   ∑ x (k + n − m2 )h(m2 )  =k = −∞   m1= −∞ m 2=−∞∞∞∞∑ ∑ ∑ x(k − m1 )x(k + n − m2 )h(m1 )h(m2 ) =m1= −∞ m 2 = −∞ k = −∞∞∞∑ ∑ Rx (n − m2 + m1 )h(m1 )h(m2 )m1= −∞ m 2 = −∞Введем новый индекс m = m2 − m1 :R y (n ) ==∞∑m = −∞∞∞m1= −∞m = −∞Rx (n − m )∑ h(m1 )h(m2 ) = ∑Rx (n − m )∞∑ h(m1 )h(m + m1 ) =m1= −∞∞∑ Rx (n − m )Bh (m )m = −∞где Bh(m) – корреляционная функция импульсной характеристики.Таким образом, корреляционная функция случайного сигнала на выходесистемы представляет собой свертку корреляционной функции входного шумаи корреляционной функции системы.Дисперсия выходного случайного процесса есть140D y = R y (0 ) =∞∑ Rx (m )Bh (m ) .m = −∞Если входной случайный процесс является белым шумом, тогда:R y (m ) = Dx Bh (m ) и D y = R y (0 ) = Dx∞∑ h 2 (m )m = −∞т.е.

при воздействии на вход системы белого шума дисперсия выходногосигнала пропорциональна сумме квадратов импульсной характеристики.1414.4 Усреднение сигналовРеальные данные (получаемые в результате измерений) содержат шум.Одним из простых способов снижения его влияния является усреднение. Вцифровой обработке сигналов усреднение предполагает суммирование рядаотсчетов и деление суммы на их количество. Фактически усреднение повыборке сигнала, длина которой определяется количеством отсчетов в сумме –порядком усреднения, является математическим ожиданием: xср =1Количественной мерой флуктуации является дисперсия:  =N21NN −1∑ x(k ) .k =0∑ [x(k ) − xср ]N −12,k =0где σ – среднеквадратическое отклонение (СКО).Различают когерентное и некогерентное усреднение.Когерентное усреднение заключается в том, что усредняемые значениявыборок сигнала синхронизированы по фазе, в то время как шумнекоррелирован с сигналом.

Поэтому когерентное усреднение приводит куменьшению дисперсии шума и как следствие – к улучшению ОСШ.Рассмотрим выборку сигнала x(k), включающую N отсчетов. Получим M такихвыборок в предположении, что все они синхронизированы относительно фазысигнала (когерентны). Таким образом, получены данные:Набор 1: x1(0), x1(1), x1(2), …, x1(N-1)Набор 2: x2(0), x2(1), x2(2), …, x2(N-1)…Набор M: xM(0), xM (1), xM (2), …, xM (N-1)Рассматривая i-ый отсчет в каждом наборе можно утверждать, что он являетсясуммой некоторого точного значения сигнала и шумовой составляющей.Поэтому величина xср (i ) =1MM∑ xk (i ) =k =11M∑ [xточное (i ) + k ] = xточное (i ) +Mk =11MM∑ kk =1при случайном процессе (шуме) ηk с нулевым средним величина xср(i)стремится к точному значению сигнала xточное(i), где i∈[0; N-1].142Дляоценкиэффективностиусреднениясравниваютдисперсиюусредненного сигнала σср2 с дисперсией исходного сигнала σх2 :1 =М2ср∑ [xср (i ) − xточное (i )]M2k =1∑ [ xk (i ) − xточное (i )]M1=М21 M =∑ k  M 2 ∑  k k =1 k =1 MM1Мгдеi – номер отсчета в наборе (выборке) с номером k;k =1=2∑ [k ] 2x =21М1∑Mk =1 M2k =1xточное(i) – по смыслу есть математическое ожидание, вокруг которогофлуктуирует сигнал xk(i) и к которому стремится среднее значение xср(i).M k ∑k =1Величину2в соответствии с биномом Ньютона можно2преобразовать в выражение:MM −1 MM 2=+2∑ k ∑ ∑ i  j .

Рассматриваяk∑k =1k =1i =1 j =i +1второе слагаемое можно переобозначить переменную суммирования j:M −1 MM −1M −i +1∑ ∑ i  j = ∑ ∑ i i+ j , гдеi =1 j =i +1i =1j =1отсчеты шума k с индексами k>M равны нулю(требование формальное). Поэтому можно продолжить равенство и записать:M −1 M∑M M∑ i  j = ∑∑ i i+ j .i =1 j =i +1Полученноевыражениеестьсуммаотсчетовj =1 i =1автокорреляционной функции белого шума (с исключенной точкой «нулевогосдвига», соответствующей энергии сигнала):M MMj =1 i =1m =1∑∑ i i+ j = ∑ R (m ) .

Поэтому сучетом свойств отсчетов белого шума (любая пара некоррелирована) можно2MM записать: ∑ k  = ∑ 2k .k =1 k =1 2ТогдаM k 2∑ срk =1 = 1 ,=M2xM ∑ 2k Mт.е. 2x =M2ср–дисперсияшумавk =1усредненном сигнале в M раз меньше дисперсии шума в исходном сигнале.Таким образом, коэффициент улучшения ОСШ сигнала при когерентном143усреднении равен M (как отношение ОСШ сигнала на входе фильтра к ОСШсигнала на его выходе). На практике когерентное усреднение активноприменяется в современных цифровых осциллографах.Усреднение некогерентных данных (известно как среднеквадратическоеили скалярное усреднение) применяется в частотной области (к модулюспектра), т.к.

во временной области его применение малоэффективно (подобноФНЧ с посредственными характеристиками). Например, измеряется спектрпериодического сигнала, содержащего некоррелированный шум – рис. 4.18.X(f)Спектр сигнала без шумаf, Гцk=1k=2k=3k=4Рис.4.18 – Спектры смеси сигнала с шумом при уровне некогерентного усреднения k144Рассчитали ДПФ сигнала – получили оценку его спектра X 1 (k ) . Затем,получили другую выборку того же сигнала (может пересекаться с предыдущейвыборкой) и снова рассчитали ДПФ – получили оценку спектра X 2 (k ) и такдалее, пока не будет получено X M (k ) .Поскольку модуль спектра не зависит от фазы сигнала, то усреднение вчастной области на каждой частоте (бине с номером k) становитсякогерентным: X ср (k ) =вовременной1MM∑ X m (k ) .

Но в отличие от когерентного усредненияm =1областисреднеезначениешумовыхсоставляющих(присутствующих в X m (k ) ) стремится не к нулю, а к некоторому значению(математическое ожидание положительных величин отлично от нуля). Приэтом среднее значение точной составляющей бина остается без изменений, т.е.данный метод уменьшает дисперсию шума, но не улучшает отношениемощности сигнала к мощности шума.

Выигрыш по критерию ОСШ приусреднении в частотной области составляетMраз, где M – порядокусреднения.Реализация усредняющего фильтра возможна в виде как КИХ фильтра –рис. 4.19, так и в виде БИХ фильтра – рис. 4.20 (эти схемы эквивалентны принулевых начальных условиях). Усредняющие фильтры также называютсяоднородными (когда все коэффициенты фильтра одинаковы h(n) =1N–импульсная характеристика фильтра), что обеспечивает минимум величины∑ h 2 (n ), где величина (N-1) – порядок усредняющего фильтра.n145x(n)z-1x(n-1)z-1…z-1x(n-M)…1H (z ) =NN −1∑zΣ−kN-1y(n)k =0Рис.

Характеристики

Список файлов лекций