Курс лекций дисциплины вариативной части математического и естественнонаучного цикла (855805), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Таким образом, при подаче на вход системы сигнала длиной N>>Kв начале результата расчета свертки (относительно нулевого отсчета) будетиметь место переходной процесс длительностью K-1 отсчет. Для устранениявлияния переходного процесса в выходном сигнале необходимы K-1предыдущих отсчетов сигнала, обеспечивающих «запуск» расчета свертки кмоменту времени, соответствующему отсчету y(n) выходного сигнала –рис.4.38.… x(n) x(n+1) x(n+2) … x(n+M-2) x(n+M-1) x(n+M) …… 0 0 0 x(n) x(n+1) x(n+2) … x(n+M-2) x(n+M-1) 0 0 …h(K-1) … h(2) h(1) h(0)K −1y (n ) = ∑ h(k )x(n − k )y(n) y(n+1) … y(n+K-1) … y(n+M-1) … y(n+M+K-1)k =0Отсчеты искаженыпереходным процессом… x(n-K+1) … x(n-1) x(n) x(n+1) x(n+2) … x(n+M-2) x(n+M-1) x(n+M)…x(n-K+1) … x(n-1) x(n) x(n+1) x(n+2) … x(n+M-2) x(n+M-1) 0 0 …h(K-1) …h(1) h(0)y(n) y(n+1) … y(n+K-1) … y(n+M-1) … y(n+M+K-1)Рис.

4.38 – Идеология метода перекрытия с накоплениемТаким образом, желая в выходном сигнале получать секции данныхрасчета свертки сигналов длиной N, необходимо входной сигнал x(n) разбитьна неперекрывающиеся секции длиной N-K+1 отсчет и добавить перекрытие вK-1 отсчет слева – рис. 4.39. При этом для получения выходного сигнала163необходимо собрать результат: составляя выходные секции методом «стык встык».Отсчеты сигнала x(n)секция 1N-1 отсчетсекция 2h(n)…секция mK-1 отсчетсекция m+1…Выходные отсчеты y(n)отклик 1отклик 2…отклик mотклик m+1…Рис.4.39 – Метод перекрытия с накоплениемКроме того, расчет линейной свертки можно производить только для Nотсчетов (вместо N+K-1), в противном случае – правые K-1 отсчетынеобходимо отбросить.

Для достижения вычислительной эффективностисвертку в каждой секции выполняют с помощью эффективных алгоритмов,например: с помощью БПФ.1644.7.3 Скользящее ДПФЧасто возникает задача получения спектра сигнала с той жеинтенсивностью, с которой поступают отсчеты сигнала. Одним из решенийявляется применение алгоритма Герцеля. Однако в случае необходимостирасчета спектра по приходу каждого нового отсчета сигнала часть расчетов(операций) повторяется, поэтому в этом случае возможно уменьшить числоопераций. Такой алгоритм известен как скользящее ДПФ (СДПФ).Алгоритм СДПФ вычисляет значение одного бина ДПФ длины N,используя результаты предыдущего расчета.1Для m-го бина известно: X (m ) =NN −1∑ x(n ) e−j2mnN.n =0Рассмотрим процесс вычисления ДПФ от сигнала при сдвиге на одинотсчет – рис.

4.40.x(0)x(1)…x(N-1)x(N)…x(p)…x(p+N-1)…X0(m)X1(m)………Xp(m)……Рис. 4.40 – Соответствие выборок при скользящем ДПФПо рис. 4.40 видно, что из скользящего окна крайний левый отсчет удаляется исправа прибавляется новый отсчет. Поэтому записав выражение ДПФ длясигнала, начиная с произвольного индекса p, и для того же сигнала, начиная синдекса p+1, получим связь между спектрами двух выборок длины N:1X p (m ) =NN −1∑ x( p + n ) e−j2mnNn =0165N −11X p +1 (m ) =N=e∑ x( p + 1 + n ) e−j2mnN2− j m ( n −1)1 N= ∑ x( p + n ) e N=N n=1n =0j2mNNN∑ x( p + n ) ej2mN2− j mn N −1= ∑ x( p + n ) e N − x( p ) + x( p + N )N  n =02− j mnNen =1Перегруппировав слагаемые и подставляя выражение для Xp(m), получим:1X p +1 (m ) = NN −1∑ x( p + n ) e−j2mnNn =0x( p + N ) − x( p ) j N m+=eN2x( p + N ) − x( p ) j N m=  X p (m ) + eN2В полученном выражении присутствует слагаемое x(p+N) – отсчеты «избудущего».

Однако надо учитывать, что расчет ДПФ подразумеваетнакопление буфера в N отсчетов, т.е. задержку в N отсчетов. Учитывая этотфакт, без потери общности можно ввести новую переменную (индексацию),учитывающую временной сдвиг:x( p ) − x( p − N ) j N mX p (m ) =  X p −1 (m ) + eN2Важным фактом применения этого выражения является:− для расчета очередного спектра сигнала достаточно двух действительныхсложений, действительного умножения и комплексного умножения;− расчет очередного спектра не зависит от величины N.Полученный результат можно представить в виде соединения фильтров(гребенчатого и комплексного резонатора) – рис. 4.41.ej2mNx(n)+N-1+×Xp(m)Xp-1(m)z-Nz-1гребенкаКомплексный резонаторРис.

4.41 – Структура однобинового СДПФ166При необходимости расчета нескольких бинов потребуются несколькокомплексных резонаторов на каждую частоту m, включенных параллельно.Имея разностное уравнение можно найти передаточную функцию:2X ( z ) − X ( z )z − N  j N m−1X p ( z ) =  X p ( z )z +eNH (z ) =(1 − z )e−N1− ej2mNj2mNz −1Этот комплексный фильтр имеет N нулей, расположенных равномерно наединичной окружности в z-плоскости и единственный полюс, подавляющийноль в точке z = ej2mN. Полученная характеристика повторяет зависимость,полученную при рассмотрении алгоритма Герцеля, но требует меньшихвычислительных затрат при расчете очередного спектра. Эквивалентностьрассматриваемого алгоритма расчету одного бина ДПФ приводит кнеобходимости рассмотрения вопроса утечки спектра.

В соответствии стеоремой о свертке применение окна можно осуществить и в частотнойобласти. Пример применения окна Хэмминга представлен на рис. 4.42.x(n)+N-1ze-NXp(m-1)+×j2( m −1)Nz-1×-0.23гребенкаXp(m)Xp(m)+ej2mNz-1Xp(m+1)+e×××j2( m +1)Nz-1+0.54×-0.23Рис. 4.42 – Структура СДПФ с окном Хемминга167Обращая внимание на комплексный резонатор, имеющий полюс наединичной окружности, можно говорить о проблеме устойчивости СДПФ.Действительно, при реализации алгоритма в устройствах с конечнойразрядной сеткой неизбежно возникают округления, которые приводят кпроблемам аналогичным при реализации БИХ фильтров.

Для предотвращениявозможного «выхода» полюса за пределы единичного круга вводяткоэффициент затухания r (величина близка к 1):H уст ( z ) =(1 − rNz−N1− re)r e2j mNj2mNz −1Соответствующая выражению структура фильтра представлена на рис. 4.43.rej2mNx(n)+N-1+×Xp(m)z-NXp-1(m)×rNгребенкаz-1Комплексный резонаторРис. 4.43 – Структура устойчивого однобинового СДПФДругим методом решения проблемы устойчивости вычисления отдельновзятогобинаявляетсяуменьшениенаибольшей(действительной или мнимой) коэффициента ej2mNсоставляющейна величину младшегоразряда.1684.8 Фильтры ФарроуОдной из основных задач анализа сигналов, как уже отмечалось,является эффективное вычисление спектров и, в частности обеспечениеусловий отсутствия эффекта размытия спектра.

Одним из способов решениязадачи является передискретизация сигнала (раздел 2.3). В общем случаепередискретизация является задачей интерполяции. Этот же механизм можноприменять для решения другой важной задачи – задержка дискретного сигналана время некратное периоду дискретизации (т.е. на «доли индекса» отсчета).Задачу математической интерполяции функции удобно рассматривать ввиде поиска коэффициентов полинома проходящего по отсчетам сигнала(узлам интерполяции). Положим, имеется N отсчетов сигнала x(n). Допустимнеобходимо выполнить передискретизацию сигнала (resampling) x(n). Длярешения задачи представим сигнал (или его участок) полиномом, что позволитвычислить любые значения функции между узлами интерполяции – т.е.получить сигнал с другой частотой дискретизации или сигнал сдвинутый на«долю индекса отсчета» – рис. 4.44 (черным для наглядности показананалоговый сигнал, красным – имеющийся дискретный сигнал с периодомдискретизации ts, синими ромбиками отмечены отсчеты дискретного сигналасдвинутого на время v=0.4ts, зеленым пунктиром показан сигнал с другимпериодом дискретизации tsn=1.2ts).tsx(n)vtsntsnРис.

4.44 – Процесс интерполирования дискретного сигналаИзвестно, что через N точек (отсчетов) проходит единственный полиномстепени N-1. Таким образом, выходной сигнал представим в виде:N −1y (t ) = PN −1 (t ) = ∑ ak t k , где коэффициенты ak необходимо определить поk =0исходному сигналу x(n).169Дляэтогонеобходиморешитьсистемууравнений(значенияинтерполирующего полинома в узлах интерполяции совпадает со значениямисигнала):N −1()x0=∑ a k 0 k = a0k =0N −1N −1 x(1) = a 1k = a∑ k∑ kk =0k =0N −1k() x 2 = ∑ ak 2k =0N −1 x( N − 1) = ∑ ak ( N − 1)kk =0Однако появление каждого нового отсчета сигнала требует нахожденияновых коэффициентов полинома, т.е.

решения новой системы уравнений,имеющей вычислительную сложность порядка N3 операций умножения запериод дискретизации. Подобное решение должно считаться неэффективнымв плане необходимой производительности вычислительного устройства.Например,реализацияинтерполяцииN=4порядкадляопределениякоэффициентов полинома требуется 64 умножения и 3 умножения длявычисления каждой точки нового сигнала. Если же, к примеру, частотадискретизации сигнала 44.1 кГц (обработка музыкального контента), топроизводительностьвычислительнойсистемыдолжнапревосходить44100х67=2954700 умножений в секунду (на каждый канал стерео сигнала),чтотребуетприменениясерьезныхвычислительныхпроцессоровисоответствующего потребления энергии, что просто нерационально.На самом деле задачу интерполяции полиномом можно упростить и, вчастности, достичь решения рассмотренной задачи (N=4) при использованиитолько трех умножений. В основе подхода лежит представление сигнала спомощью ортогональных полиномов, например – полиномов Лагранжа:N −1y (t ) = ∑ x(n )LNn −1 (t )n =0170N −1N −1nПолином Лагранжа L(t ) =∏ (t − t k )k =0 ,k ≠ nN −1∏ (t n − t k )это полином N-1 степени, равныйk =0 ,k ≠ nединице в точке t=nts – момент дискретизации n-го отсчета и равен нулю вдругие моменты дискретизации.

Характеристики

Список файлов лекций