Теоретические основы электротехники-1 (855784), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Ìàòðèöà äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè ÿâëÿåòñÿ äèàãîíàëüíîé.Ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå îñåé êîîðäèíàò òåíçîð e íå èçìåíÿåò ñâîåãî âèäà,òîãäà êàê ïðè ïîâîðîòå îñè êîîðäèíàò óæå ïåðåñòàþò ñîâïàäàòü ñ ãëàâíûìè îñÿìè àíèçîòðîïèè; ìàòðèöà òåíçîðà íå áóäåò äèàãîíàëüíîé: â îáùåì ñëó÷àå âñå ååýëåìåíòû íå ðàâíû íóëþ.2. Íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, à òàêæå ïëîòíîñòü ëèíèé íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíû äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè ñðåäû.  ðàññìàòðèâàåìûõ çàäà÷àõ âåêòîð Eíîðìàëåí ê ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà ñðåä, òàê ÷òî ïðè ïåðåõîäå èç îäíîé ñðåäû â äðóãóþ íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ èçìåíÿåòñÿ ñêà÷êîì, ïðèíèìàÿ âñðåäå ñ áîëüøåé äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþìåíüøèå çíà÷åíèÿ.
Çàâèñèìîñòè D(r), E(r), P(r) äëÿÐèñ. Ð1.5âàðèàíòà à èçîáðàæåíû íà ðèñ. Ð1.5.4. Íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íà âíóòðåííåé îáêëàäêå êîíäåíñàòîðà,tíå èìåþùåãî âîçäóøíîãî çàçîðà, ðàâíà E =. Ïîÿâëåíèå çàçîðà âåäåò ê èç2 peRtè íàïðÿæåííîñòü ïîëÿìåíåíèþ íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ äî âåëè÷èíû E =2 pe 0 Râîçðàñòàåò â er ðàç.Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷3756. Âûäåëèì ìàëûé ó÷àñòîê ãðàíèöû ðàçäåëà ñðåä ñ äèýëåêòðè÷åñêèìè ïðîíèöàåìîñòÿìè e1, e2 (ðèñ.
Ð1.6) èîõâàòèì åãî çàìêíóòîé öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ,òîðöåâûå ÷àñòè êîòîðîé ïàðàëëåëüíû ó÷àñòêó S ãðàíèöû. Èíòåãðàë ò P d S = – q¢ ïî ïîâåðõíîñòè öèëèíäðàSçàïèñûâàåì êàê ñóììó èíòåãðàëîâ ïî åãî òîðöåâûì S1,S2 è áîêîâîé Sá ïîâåðõíîñòÿì. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ò P d S = 0,S6ïîëó÷àåì - ò P1 d S + ò P2 d S = -q¢.  ïðåäåëàõ ïëîùàäîêS1S2Ðèñ. Ð1.6S1 è S2 âåêòîð ïîëÿðèçîâàííîñòè ñîõðàíÿåòñÿ ïîñòîÿííûì, ïîýòîìó èìååì (–Ð1 + Ð2)S = –q¢, èëè Ð1 – Ð2 == q¢/S = s¢. Òàêèì îáðàçîì, ïîâåðõíîñòíàÿ ïëîòíîñòü ñâÿçàííîãî ýëåêòðè÷åñêîãîçàðÿäà ÷èñëåííî ðàâíà ðàçíîñòè ïîëÿðèçîâàííîñòåé ïî îáå ñòîðîíû ïîâåðõíîñòè, ðàçäåëÿþùåé ñðåäû ñ ðàçëè÷íûìè äèýëåêòðè÷åñêèìè ïðîíèöàåìîñòÿìè.1.3.
Âèäû ýëåêòðè÷åñêîãî òîêàè ïðèíöèï íåïðåðûâíîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî òîêàÂÎÏÐÎÑÛ1. à) Ýòî åñòü ýëåêòðè÷åñêèé òîê ïðîâîäèìîñòè, íàçûâàåìûé òîêîì óòå÷êè.á) Äâèæåíèå çàðÿæåííûõ ÷àñòèö èëè òåë â ïóñòîòå, æèäêîé èëè ãàçîîáðàçíîéñðåäå åñòü ïðîÿâëåíèÿ òîêà ïåðåíîñà.  òâåðäûõ òåëàõ ïðîòåêàåò ýëåêòðè÷åñêèéòîê ïðîâîäèìîñòè (âàðèàíò â) ëèáî òîê ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ (âàðèàíò ã).2. Ïðè ïåðåìåùåíèè ïðîâîäÿùåãî òåëà â íåîäíîðîäíîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå èçìåíÿåòñÿ ïëîòíîñòü ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ, ðàñïðåäåëåííûõ íà åãî ïîâåðõíîñòè.
Ýòî ïðîèñõîäèò òîëüêî òîãäà, êîãäà çàðÿäû ïåðåìåùàþòñÿ â îáúåìå òåëà,ò. å. åñëè â òåëå ïðîòåêàåò òîê ïðîâîäèìîñòè. Âñëåäñòâèå èçìåíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â îêðóæàþùåì òåëî ïðîñòðàíñòâå â íåì äîëæåí ïðîòåêàòü òîê ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ.3. Âíåñåíèå â ïðîñòðàíñòâî ìåæäó îáêëàäêàìè êîíäåíñàòîðà òåëà, âûïîëíåííîãî èç äèýëåêòðèêà, ïðèâîäèò ê ïîëÿðèçàöèè ïîñëåäíåãî, ïðè êîòîðîé â íåìâîçíèêàåò òîê ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ. Ïðè âíåñåíèè ïðîâîäÿùåãî òåëà â åãîîáúåìå ïîä äåéñòâèåì ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ïðîèñõîäèò ïåðåìåùåíèå ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ, ÷òî îçíà÷àåò ïðîòåêàíèå ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà ïðîâîäèìîñòè.4. Ïðè èçìåíåíèè ðàññòîÿíèÿ ìåæäó îáêëàäêàìè êîíäåíñàòîðà èçìåíÿåòñÿ íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, ÷òî ñâèäåòåëüñòâóåò î ïðîòåêàíèè òîêà ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ â êîíäåíñàòîðå.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èçìåíåíèå ðàññòîÿíèÿìåæäó îáêëàäêàìè îçíà÷àåò èçìåíåíèå åìêîñòè êîíäåíñàòîðà è çàðÿäà íà åãî îáêëàäêàõ, ÷òî ãîâîðèò î ïðîòåêàíèè ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà ïðîâîäèìîñòè â ïîäñîåäèíåííûõ ê îáêëàäêàì êîíäåíñàòîðà ïðîâîäàõ. Âîçíèêàþùèé â ïðîâîäàõ òîêïðîâîäèìîñòè ïåðåõîäèò â òîê ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ â îáëàñòè ìåæäó îáêëàäêàìè êîíäåíñàòîðà.376Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷7. Ïðè ïåðåìåùåíèè ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà âáëèçè íåçàðÿæåííîãî ïðîâîäÿùåãîòåëà èíäóöèðîâàííûå íà åãî ïîâåðõíîñòè çàðÿäû íåïðåðûâíî èçìåíÿþò ñâîåðàñïðåäåëåíèå, ÷òî ìîæåò ïðîèñõîäèòü åñëè â òåëå ïðîòåêàåò ýëåêòðè÷åñêèé òîêïðîâîäèìîñòè.ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß1. Íàïðàâëåíèå òîêà ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì âåêòîðà ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ â ýòîé òî÷êå.3.
Çàïèñûâàÿ ñîñòàâëÿþùèå âåêòîðà ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ â öåíòðå îêðóædD xqqqíîñòè D x =sin wt, D y =cos wt, ïîëó÷àåì J x ==wcos wt,22dt4pR4pR4pR 2qqJx = wsin wt è J = J x2 + J y2 =× w. Âåêòîð ïëîòíîñòè òîêà â öåíòðå24pR4pR 2îêðóæíîñòè âðàùàåòñÿ ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ w â òîì æå íàïðàâëåíèè, ÷òî è çàðÿä q.dD4. Çàâèñèìîñòü Jñì (t) íàõîäèì ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ Jñì (t) =.
Äëÿ âàðèàídtòà â ïîëó÷àåì íà ïåðâîì ó÷àñòêå ëèíåéíîãî èçìåíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ Jñì(t) = k = const; íà âòîðîì ó÷àñòêå èìååì Jñì(t) = – aD0 exp (– at).5. Âåêòîð ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ èìååò åäèíñòâåííóþ ñîñòàâëÿþùóþ, ðàâtíóþ Dx =òJñì(t)dt + D x (0).0Äëÿ âàðèàíòà à ïîëó÷àåì D(t) = – (Jm/w) cos wt + D(0).ÇÀÄÀ×È1.
 ñèëó ñèììåòðè÷íîãî ðàñòåêàíèÿ òîêà ïëîòíîñòü òîêà ïðîâîäèìîñòè â òî÷êåíà ðàññòîÿíèè r îò îñè æèëû ðàâíà J(r) = gE(r) = i/2prl, ãäå i — òîê ïðîâîäèìîñòèìåæäó æèëîé è îáîëî÷êîé êàáåëÿ. Çàïèñûâàÿ íàïðÿæåíèå ìåæäó æèëîé è îáîëî÷êîéu=R2R2R1R1ò E dr =iiR2ò 2 pglr dr = 2 pgl ln R,1íàõîäèì òîê ïðîâîäèìîñòè (íàçûâàåìûé èíîãäà òîêîì óòå÷êè)i=2 pglu= 2 2 × 10 -2 sin 100 pt Àln(R 2 R1 )è ïðîâîäèìîñòü èçîëÿöèè G =2 pgli== 9,1 × 10 -5 Ñì.u ln(R 2 R1 )Ïëîòíîñòè òîêà ïðè r = R1 è ïðè r = R2 ðàâíû ñîîòâåòñòâåííîJ = i/(2pR1l) = 1,12 × 10 -2 sin 100 pt À/ì2 è J = i/(2pR2l) = 5 ,6 × 10 -3 sin 100 pt À/ì2.Ìîùíîñòü ïîòåðü â íåèäåàëüíîì äèýëåêòðèêå ñîñòàâëÿåò Ð = U 2G = 4,4 Âò.Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷377dEâûðàæàåì íàïðÿæåídtíîñòü ïîëÿ ÷åðåç íàïðÿæåíèå Å(r) = u/[r ln (R2/R1)]–1 è ïîëó÷àåìedu= 1,6 × 10 -3 cos 100 pt À/ì2J ñì (R1 ,t) =×R1 ln R 2 /R1 dtÄëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîòíîñòè òîêà ñìåùåíèÿ Jñì(t) = eJñì(R2, t) =edu= 7 ,8 × 10 -4 cos 100 pt À/ì2.×R2 ln R 2 /R1 dtÒîê ñìåùåíèÿ ðàâåí iñì = Jñì (R1, t)2pR1l @ 3, 92 cos 100 pt À.2.
Ó÷èòûâàÿ ñèììåòðèþ ïðè ðàñòåêàíèè òîêà â çåìëå, íàõîäèì ïëîòíîñòü òîêà ïðîâîäèìîñòè J(r) = i/(4pr2). Ïðèíèìàåì ïîòåíöèàë ðàâíûì íóëþ â áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êå è ðàññ÷èòûâàåì ïîäâåäåííîå ê çàçåìëèòåëþ íàïðÿæåíèå¥i,4pgRRuîòêóäà íàõîäèì ñîïðîòèâëåíèå çàçåìëèòåëÿ R 3 = = 4pgR = 6 ,28 × 10 -2 Îìiu=ò J (r ) drg=è ìîùíîñòü ïîòåðü Ð = I 2Rç = 6 ,28 × 10 2 Âò.Ïëîòíîñòü òîêà ñìåùåíèÿ J ñì (r) =e di 6 , 3 × 10 -6=cos 100 pt À/ì2.22dtr4pgr3. Ïðè èçìåíåíèè ïðèëîæåííîãî ê êîíäåíñàòîðó íàïðÿæåíèÿ ïî çàêîíó u = Um sin wtdDdEèìååì Jñì == e = ewEm cos wt, Jïð = gEm sin wt, îòêóäà èç óñëîâèÿ ew = g íàõîdtdtg10 -6 × 4p × 9 × 10 9= 2250 Ãö.=äèì èñêîìóþ ÷àñòîòó f =2p × 82 pe4.
Ïðè çàäàííîé ÷àñòîòå òîêà òîêîì ñìåùåíèÿ â ïðîâîäÿùåé ïëàñòèíå ìîæíîïðåíåáðå÷ü, òàê êàê àìïëèòóäà ïëîòíîñòè òîêà ñìåùåíèÿ Jñì max = e0wÅïë max â íåéçíà÷èòåëüíî ìåíüøå àìïëèòóäû ïëîòíîñòè òîêà ïðîâîäèìîñòè Jmax = gEïë max.Äåéñòâèòåëüíî, Jñì max/Jmax = e0w/g = 2,5×10–14.  ñèëó ïðèíöèïà íåïðåðûâíîñòèýëåêòðè÷åñêîãî òîêà òîê ñìåùåíèÿ â äèýëåêòðèêå êîíäåíñàòîðà ïåðåõîäèò â òîêïðîâîäèìîñòè ïðîâîäÿùåé ïëàñòèíû è Jmax = gÅïë max, îòêóäà íàõîäèì Åïë max == Imax/gS @ 2,9×10–8 Â/ì. Íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â äèýëåêòðèêå, ïîJIdE, ðàâíà E ä max = max = max = 1,4×104 Â/ì.
Òàëó÷àåìàÿ èç ñîîòíîøåíèÿ J = edtewSewêèì îáðàçîì, äîïóùåíèå Åïë << Åä îïðàâäàíî.1.4. Ýëåêòðè÷åñêîå íàïðÿæåíèå è ïîòåíöèàëÂÎÏÐÎÑÛ1. Åñëè âåêòîð dl âûáðàòü òàê, ÷òî â ëþáîé òî÷êå ïóòè îí íîðìàëåí ê âåêòîðó Å,òî ïðè ïåðåìåùåíèè âäîëü òàêîãî ïóòè èíòåãðàë ò E dl íå èçìåíÿåòñÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, ðàáîòà íå ñîâåðøàåòñÿ.
Ïîâåðõíîñòü, â êàæäîé òî÷êå êîòîðîé âåêòîðíàïðÿæåííîñòè ïîëÿ íàïðàâëåí ïî íîðìàëè ê íåé, ÿâëÿåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ378Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷ïîñòîÿííîãî ïîòåíöèàëà. Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïåðåìåùåíèè çàðÿäà ïî ïîâåðõíîñòè ïîñòîÿííîãî ïîòåíöèàëà ðàáîòà íå ñîâåðøàåòñÿ.6. Íà ïîâåðõíîñòè, â ëþáîé èç òî÷åê êîòîðîé ïîòåíöèàë ïîñòîÿíåí, êàñàòåëüíàÿê ïîâåðõíîñòè ñîñòàâëÿþùàÿ âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿîáðàùàåòñÿ â íóëü, îäíàêî â îáùåì ñëó÷àå íîðìàëüíàÿ ê ïîâåðõíîñòè ñîñòàâëÿþùàÿ âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ îòëè÷íà îò íóëÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîëå íàïîâåðõíîñòè ñóùåñòâóåò.7. Ïðè ðàñ÷åòå ïîëÿ çàðÿæåííûõ òåë, çàíèìàþùèõ îãðàíè÷åííóþ îáëàñòü ïðîñòðàíñòâà, ïîòåíöèàë ìîæåò áûòü ïðèíÿò ðàâíûì íóëþ â áåñêîíå÷íî óäàëåííîéòî÷êå. Îäíàêî äëÿ òåëà áåñêîíå÷íîé ïðîòÿæåííîñòè, íàïðèìåð áåñêîíå÷íî äëèííîãî çàðÿæåííîãî öèëèíäðà ñ çàðÿäîì îäíîãî çíàêà, ïîòåíöèàë â áåñêîíå÷íîóäàëåííîé òî÷êå íå ìîæåò áûòü ïðèíÿò ðàâíûì íóëþ. Åãî çàäàþò ðàâíûì íóëþâ òî÷êàõ, ðàñïîëîæåííûõ íà êîíå÷íîì ðàññòîÿíèè îò öèëèíäðà.11.
à) Åìêîñòü áåñêîíå÷íî äëèííûõ ïðîâîäîâ ðàâíà áåñêîíå÷íîñòè, ïîýòîìó ìîæíî ãîâîðèòü î åìêîñòè ïðîâîäîâ íà åäèíèöó èõ äëèíû. Åìêîñòü óåäèíåííîãî áåñêîíå÷íî äëèííîãî ïðîâîäà íå èìååò ñìûñëà, òàê êàê ïðè çàäàííîé ëèíåéíîé ïëîòíîñòè çàðÿäà ïîòåíöèàë â áåñêîíå÷íîñòè íå ìîæåò áûòü ïðèíÿò ðàâíûì íóëþè, ñëåäîâàòåëüíî, ïîòåíöèàë íà åãî ïîâåðõíîñòè íå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì.á) Òàê êàê ïîòåíöèàë â òî÷êå ðàñïîëîæåíèÿ çàðÿäà îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü,òî åìêîñòü òî÷å÷íîãî òåëà íå èìååò ñìûñëà.â) Åñëè òåëó èç äèýëåêòðèêà ñîîáùèòü íåêîòîðûé çàðÿä, òî ïîòåíöèàë â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ òåëà ïðèìåò ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ è åìêîñòü òàêîãî òåëà îïðåäåëåíàáûòü íå ìîæåò.ã) Ïîòåíöèàë â ïîëîñòè ïðîâîäÿùåãî òåëà ñîõðàíÿåòñÿ ïîñòîÿííûì, ðàâíûì ïîòåíöèàëó òî÷åê åãî ïîâåðõíîñòè. Ïîýòîìó ïîíÿòèå åìêîñòè òàêîãî òåëà èìååò ñìûñë.ä) Ïëîòíîñòü çàðÿäà íà ðåáðàõ ëèñòà ìîæåò áûòü âåñüìà áîëüøîé, òàê êàê çàðÿäðàñïðåäåëåí íåðàâíîìåðíî ïî ïîâåðõíîñòè ëèñòà.
Îäíàêî ïîòåíöèàë òî÷åê íàïîâåðõíîñòè ëèñòà îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì è ïîíÿòèå åìêîñòè ïðîâîäÿùåãî ëèñòàêîíå÷íûõ ðàçìåðîâ èìååò ñìûñë.ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß2. ×èñëî ñëîåâ äèýëåêòðèêà îïðåäåëÿåòñÿ êîëè÷åñòâîì ïðÿìîëèíåéíûõ ó÷àñòêîâ çàâèñèìîñòè U(x), òàê êàê íà ãðàíèöå ðàçäåëà ñðåä ïîòåíöèàë èìååò èçëîì. ëþáîì èç ñëîåâ íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ ïîñòîÿííà.ÇÀÄÀ×È1. Ïîòåíöèàë â òî÷êå À (ðèñ. Ð1.7) ðàâåíqqq r2 - r1.
Ïðè r1 >> d, r2 >> dU ==×4per1 4per2 4pe r1 r2èìååì r1 @ r –r 1 r2 = r 2 –2ddcos j, r2 @ r + cos j,22Ðèñ. Ð1.7qd cos jdcos2j » r2 è, ó÷èòûâàÿ, ÷òî r2 – r1 @ d cos j, ïîëó÷àåì U =.44per 2Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷379sddssddïðè – < y < + (ðèñ.1.26, à), òî Ui = y è U =ïðè y ³ ,e22e2e2sddïðè y £ - (ðèñ. Ð1.8, á).U =2e22.
Òàê êàê Ei =Ðèñ. Ð1.83. Äëÿ íàõîæäåíèÿ åìêîñòè ëèíèè âûðàçèì íàïðÿæåíèå ìåæäó ïðîâîäàìè ÷åðåçëèíåéíûå ïëîòíîñòè t è –t çàðÿäà ïðîâîäîâ:D -RU1 -U 2 =òRRtdrtdrt æ D -RR ötD -Rln.- ò=- lnç ln÷=RD - R ø pe 02 pe 0 r D -R 2 pe 0 r 2 pe 0 èRÒàêîé ñïîñîá âû÷èñëåíèÿ íàïðÿæåíèÿ îïðàâäàí, òàê êàê ïðèíÿòî äîïóùåíèåî ðàâíîìåðíîì ðàñïðåäåëåíèè çàðÿäà ïðîâîäîâ ïî îêðóæíîñòÿì èõ ñå÷åíèé. ýòîì ñëó÷àå ïðè ðàñ÷åòå ïîòåíöèàëà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ïðîâîäà êàê ëèíåépe 0Cíûå. Åìêîñòü îòðåçêà ëèíèè äëèíîé l ñóòü =. Ïîãðåøíîñòü íàõîæäåD -RllnRíèÿ åìêîñòè íà îñíîâå ïîëó÷åííîãî âûðàæåíèÿ çàâèñèò îò ñîîòíîøåíèÿ âåëè÷èí R è D: ñ ðîñòîì îòíîøåíèÿ D/R ðàñïðåäåëåíèå çàðÿäà ïðèáëèæàåòñÿ êðàâíîìåðíîìó è ïîãðåøíîñòü íàõîæäåíèÿ åìêîñòè óìåíüøàåòñÿ.