teplotekhnika (852911), страница 30
Текст из файла (страница 30)
В последнем случае при создании математической модели используют систему дифференциальныхуравнений конвективного теплообмена, в которую входят уравненияэнергии, движения и сплошности.9.2. Дифференциальные уравнения конвективного теплообменаВы ведем дифференциал ьное уравнение энергии, описывающее температурное поле в жидкости, при этом примем, что жидкость однородна инесжимаема.Температурное поле потока жидкости1=/(Х, у, 2, т).(9.3)Выделим из движущейся среды элементарный параллелепипед объемом о У= охоуо: (рис. 9.3).
Из окружающей среды путем теплопроводности в элементарный объем за время от согласно (8.15) поступит теплота222Эхдуд:69 = х(-д-; + Ё_; + а_2' нии = худшим.Аналогично изложенному в подразд. 8.4, теплота в количестве 80, поступившая в параллелепипед объемом с! У, должна пойти на повышениеего энтальпии. Однако там речь шла о твердом теле, здесь же рассматривается текущая среда, и в связи с этим координаты х, у, 1, определяющиеположение в пространстве рассматриваемого параллелепипеда за времяот, претерпят соответствующее изменение, зависящее от размера и направления скорости ш в точке с координатами х, у, 1.167Рис. 9.3.
Схема дляуравнения энергиих+выводаУТаким образом, уравнение темпера'урного поля (9.3) должно бытьдополнено группой уравнений:Х = ФМ); у = ФМ); 2 = Ф3(т)~(9.4)Прирашение температуры жидкости в параллелепипеде объемом (ІУза время от, т.е. величина (ді/дт)сіт, определяется из (9.3) с учетом (9.4).Полная производная от температуры по временио:д:дхохдхсіуЭго:Е а: влада-ум агатВ силу зависимостей (9.4)сіх/ от = их; оу/ от ==шу; ог/сіт шгде их-проекции вектора скорости ш на координатные оси. Та,шу, шким образом,о:І):д:д:(іт(ітдтЭхлдуудг2_=_=_ +_И)д:+-шд:+_ш.Отметим, что производную оІ/от обычно обозначают [ЭІ/сіт и называют субстанциональной (индивидуальной по отношению к дифференциалу времени) производной. Частную производную дІ/дт называют местным или локальным изменением значения 1, а суммуд:д:д:ш +--и›2Ешх +5; у да- конвективным изменением.Таким образом, изменение температуры жидкости в параллелепипедеобъемом (ІІ/за время от в общем случае вызвано двумя причинами: вопервых, изменением во времени самого температурного поля в той точІ68ке пространства, где находится в данный момент рассматриваемый элементарный параллелепипед объемом с! У (скорость изменения его характеризуется локальной производной), и, во-вторых, тем, что элементарный параллелепипед перемещается за время в другую точку пространства по траектории І (см.
рис. 9.3). (Скорость изменения температуры характеризуется конвективной производной.)Изменение энтальпии рассматриваемого параллелепипеда за времяота/ = срра киты/ат.Приравнивая значение базначению (ІІ, получим искомое дифференциальное уравнение энергии, описывающее температурное поле в движущейся жидкости:172: =ІВ:-,срр отилисітгде а - температуропроводность; а = Ж/(срр).Формула (9.5) в развернутой форме записывается так:82:82:82:д:д:д:д:а --2-+--2-+_2 =-+-и›х +-шу +-ш2.дуЭт Эхд:дуЭхд:(9.6)Для твердого тела (9.5) переходит в известное уравнение теплопроводности (8.17).Для одномерной задачи, когда І= І(х, т), (9.6) значительно упрощаетсядхгдтдх х»(9.7)И, НаКОНЄЦ, В СЛУЧЗС СТаЦИОНарНОГО режима32:д:дх2дХа--=-и›.х(9.8)Уравнение (9.6) показывает, что температурное поле в потоке существенным образом зависит от поля скоростей.
В связи с этим необходимопри изучении конвективного теплообмена включать в круг исследуемыхвопросов и гидромеханические условия протекания процесса.169|ъ ->(їхКА<-р+_5(1у4____/ ду 4(11др |дрр+ дхсіххпр+ га1Рис. 9.4. Схема для вывода диф-ференциального уравнения движенияВывод дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости основан на втором законе Ньютона.Выделим из потока жидкости элементарный параллелепипед с ребра-ми, соответственно равными дх, ду и д: (рис.
9.4). Объем параллелепипеда с! У= дхдудг, а его масса равна рд У (где р - плотность жидкости). Скорость в данной точке движущейся среды зависит от положения рассматриваемой точки в пространстве и от времени, т.е. поле скоростей описывается уравнением__)ш =[(х, у, 2, т).(9.9)Чтобы вывести дифференциальные уравнения движения жидкости, используем основной закон механики:-›-›2 г= ры) ш/ашщ(9.10)где 2 їэсумма всех сил, действующих на выделенный паралвекторнаялелепипед; [Э ш/дт - полная (субстанциональная) производная от скорости.В проекции на ось х (9.10) примет вид2 Х=р(ІЭи›х/с!т)д У.(9.1 І)На рассматриваемый параллелепипед действуют три силы: тяжести,давления и вязкостного трения. Ось х направлена вертикально вниз, какэто показано на рис.
9.4. Тогда проекция силы тяжести на ось х будетрдд У, где 3 - ускорение свободного падения.Если в данной точке давление среды р, то сила, действующая на верхнюю грань (см. рис. 9.4), равна рдудг, а сила, действующая на противодположную грань, (р + іёхЪіусіг.Проекция на ось х равнодействующей сил давления170[р-(р+д_р(іх)]бу(12 = -д-рбу,ЭхЭхгде др/дх - проекция градиента давления на ось х.Если пренебречь силами вязкостного трения, то согласно формуле(9.1 І) после сокращения на с! Уполучим уравнение движения жидкости впроекции на ось х.(9.12›і”р(”“”^')=р@(11:Эх.Таким же образом получаются уравнения движения жидкости в проЄКЦИЯХ На ОСИ у И 2:р(І)и›у/сіт) = -др/ду;МВт/от) = -др/дг(9.13).'(9.14)(проекции силы тяжести ргсі Уна оси у и 2 равны нулю).Уравнения (9. І 2)-(9.
14) являются уравнениями движения идеальной,т.е. невязкой, жидкости и носят название уравнений Эйлера.Для получения дифференциальных уравнений движения вязкой (реальной) жидкости необходимо учесть силы внутреннего (вязкостного)трения, иначе - силы, обусловленные вязкостью жидкости. Согласно закону Ньютона, касательное напряжение в, возникающее между перемещающимися с различной скоростью слоями жидкости (отношение силытрения к площади), пропорционально градиенту скорости:Ѕ = Мою/оп),(9.15)где ош/сіп - градиент скорости, т.е. отношение изменения скорости кдлине нормали п; п - нормаль к направлению перемещения жидкости;ц - динамическая вязкость.Рассмотрим плоский ламинарный поток вязкой жидкости, в которомскорость меняется лишь в направлении оси у.
Силы вязкостного трениявызывают в потоке жидкости касательные напряжения. В ламинарномпотоке силы трения возникают только на боковых гранях элемента(рис. 9.5). Поскольку около левой грани скорость движения частиц жидкости меньше, чем в самом элементе, сила трения направлена противдвижения и равна - Ѕсіхсіг.Около правой грани скорость движения частиц жидкости больше,чем в самом элементе, поэтому сила трения направлена в сторону движеЭЅния и равна (Ѕ+а-у<1у]с1хаг.171Рис.
9.5. Силы трения, действующие наэлемент движущейся жидкостиРавнодействуюшая этих силЅ+Ёбу (12:62 - ЅФсбг = ї(іжіубг.дубуПодставляя значение з из уравнения (9.15), получаем2Ёау=рддушхду2 ау.Полученное уравнение справедливо при одномерном движении. Если скорость изменяется по трем направлениям, то проекция на ось х равнодействуюшей сил вязкостного трения, приложенных к рассматриваемому параллелепипеду объемом оУ, определяется следующим выражением:'ш ,ЧЭх "Эхд: ІЬІдг:і(«муздурдуЩау.Если движушаяся среда имеет постоянную вязкость, получим2+ д2шх + д2шхту”(а):2 ау2 а? ]ау="ўд2шхгде 72% - оператор Лапласа.(9.16)Уравнения движения вязкой жидкости (уравнения Навье - Стокса)получим из (9.12)-(9.І4), если прибавим к их правым частям (к сумме- объемных сил) величину Шли.
Таким образом,172р[Эшк'2др= 98 --+ р 7 шх ;(Ёшдтах>р_а-ті=-д_,у)+рў2шу;ршьддытшг,отд:(9.17),В развернутом виде дифференциальное уравнение движения вязкойжидкости в проекции на ось х примет вид+Шш +дшхшр ш+дшхша: ах х ду У а: 1др= рг --+Эхд2шхр[ дх2+д2шхду2+д2шх322_.(9.18)Аналогично записываются уравнения в проекции на оси у и 2.Уравнение сплошности (неразрывности) выводится на основе законасохранения массы. Выделим в потоке жидкости элементарный параллелепипед объемом с! Усо сторонами ох, сІу и о: и вычислим массовый расход жидкости через него за время от (рис.
9.6)._Введем понятие массовой скорости, равной произведению плотностина скорость (рш) и определяемой отношением массового расхода к плошади поперечного сечения. В направлении оси х в рассматриваемый параллелепипед поступает за промежуток времени от жидкость массой т'х,равной произведению массовой скорости ршх на поперечное сечениеоусіг и на время от: т; = ршхоуогот.Через противоположную грань параллелепипеда вытекает за время отжидкость массойті; = [ршх +Ё%Ё±1ах]ауагат.2лптт2ит;-_› т;_›Рис.
9.6. Схема для вывода диффе-ренциального уравнения сплошно-стих/ртуІ,уут,1/І,,т тіІ_х173Изменение массы жидкости в элементарном параллелепипеде за время сіт в направлении оси хЭФИ/ )І(ітх _-тхп -тх=---у<1хддгдт= __Щ/дт.д(ригх )Эхдх(9.19)Аналогично запишем изменение массы жидкости за время сіт в направлении осей у и 1:д,ат); (ршдауап(9-20)ат,= д(_-д`”2ауа(9.21)ду2Формулу для полного изменения массы жидкости в рассматриваемомэлементарном параллелепипеде объемом с! У в направлении всех трехосей за время сіт получим, суммируя (9.
І9)-(9.2І ):(іт =дх[афш'д+ афиу) + афшї) (П/СІ т .дуд: ](9.22)Это изменение массы вызвано изменением плотности жидкости р впараллелепипеде объемом д Уи равно изменению массы данного параллелепипеда во времени:ах[дцмх) + д(ри›_,.) + дыма)2дудр] сП/(і т =--(1У(1.'сат(9.23)Произведя преобразования и сокращения в (9.23), окончательно получим дифференциальное уравнение сплошности:д(ри›х)дх+дфшу)ду+дфшг) +92 = 0д:дт(9.24)Для несжимаемых жидкостей р = сопЅІ и (9.24) примет виддшдшх+-_+9” =.одхду +д2,(9.25)Система дифференциальных уравнений (9.6), (9.17) и (9.24) дает математическое описание механизма конвективного теплообмена при движениивязкой жидкости. Эта система описывает целый класс явлений и имеет бес-численное множество решений. Чтобы выделить из этого класса явленийданное конкретное явление, а следовательно, и столь же конкретное решение, необходимо дополнить систему уравнений условиями однозначное/пи.174Условия однозначности должны содержать все специфические особенности, относящиеся к рассматриваемому случаю и влияющие на ходпроцесса.
Понятно, что условия однозначности устанавливаются вне зависимости от самого механизма явлений, описываемого соответствующей системой дифференциальных уравнений, и применительно к кон-вективному теплообмену должны содержать:геометрические условия, характеризующие форму и размеры поверхности, ом ываемой средой (например, круглой трубы определенного диаметра);временньїе условия, которыми формулируются точно известные особенности протекания процесса во времени (для стационарного режимавременные условия отпадают);граничные условия, которыми формулируются условия протеканияпроцесса на границах тела;физические условия, характеризующие те физические свойства средыи тела, которые входят в дифференциальные уравнения, описывающиепроцесс конвективного теплообмена, например теплопроводность А, динамическая вязкость ц, плотность р.Полученная система дифференциальных уравнений, дополненнаяусловиями однозначности, как правило, не интегрируема без существенных упрощений, потому лишь некоторые решения, полученные послетаких упрощений, могут быть использованы для расчета теплообмена втехнических задачах.
Большинство используемых уравнений подобияосновывается на экспериментальных данных. Однако для возможностиобобщения таких данных и выявления границ их применения экспериментальные исследования должны быть построены на строгих теоретических основах.Такой теоретической базой современного эксперимента наряду с ма-тематической теорией планирования эксперимента является теория подобия.Теория подобия, как это будет показано в подразд. 9.3, позволяет, неинтегрируя выведенные в этой главе дифференциальные уравнения, сделать на их основе ряд важных выводов, необходимых для научной обработки результатов экспериментальных исследований.9.3. Подобие физических явленийКак известно, у геометрически подобных фигур сходственные стороныпропорциональны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
