teplotekhnika (852911), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Если подобные фигуры одинаково ориентированы впространстве, то сходственные стороны не только пропорциональны, нои параллельны одна другой.Отношение линейных размеров любых сходственных сторон двух подобных фигур равно постоянной с, которую принято называть констан-175Рис. 9.7.Геометрическоеподобие призмытой подобия. Так, для двух подобных призм (рис. 9.7)'1/Ґ1= Г5/6 = '3/6 = Сргде сІ - константа подобия линейных размеров І.Для сходственных площадей поверхностей А и объемов Уподобныхфигур получим:А'1/А', = с2; 1/"1/1/І = 8,.Понятие о подобии может быть распространено на любые физические явления.І. Понятие подобия в отношении физических явлений применимо толькок явлениям одного и того же класса.
Принадлежность физических явлений к одному классу означает, что механизм этих явлений описываетсяодинаковыми по форме и содержанию дифференциальными уравнениями. Так, может идти речь о подобии движения двух потоков жидкости, оподобии теплообмена и т.п.2. Обязательной предпосылкой подобия физических явлений должно бытьгеометрическое подобие систем, в которых эти явления протекают.3.
При рассмотрении подобных явлений между собой можно сопоставлять только одноименные физические величины в сходственных точках пространства и в сходственные моменты времени. Одноименными (или однородными) называются такие физические величины, которые имеютодинаковый физический смысл и одинаковую размерность. Сходственные точки пространства - такие точки в двух сопоставляемых системах,координаты которых удовлетворяют условию геометрического подобия1:17! =у”/у' = 2”/2' = сІ.(9.26)Развитие процесса во времени в двух сопоставляемых системах в обшем случае неодинаково, но для подобия явлений необходимо, чтобыпромежутки времени т' и т", отсчитываемые от общего начала отсчета то,всегда удовлетворяли равенству176т” т' = ст.(9.27)Константа ст называется множителем гомохронности. При ст = І получим синхронное протекание явлений. При стационарном режиме требование о временном соответствии отпадает.4.
Подобие физических явлений означает как подобие всех одноименныхфизических величин, характеризующих рассматриваемые явления, так иподобие полей этих величин. Подобные поля одноименных величин - этополя, различие которых сводится лишь к неодинаковости их масштабов.В подобных физических явлениях в сходственных точках пространства, для которых соблюдается равенство (9.26), и в сходственные моменты времени, когда промежутки времени 'с' и т” связаны равенством (9.27)и имеют общее начало отсчета, любая величина и' первого явления пропорциональна одноименной величине и” второго явления:и” = сии',(9-28)ГДЄ Си - КОНСТЗНТЗ ПОДОбИЯ ВЄЛИЧИНЫ и.Пусть уравнение, определяющее исследуемый класс явлений, имеетВИДГ(и|, и2, ..., ип) = О,где иІ, и2,..., ип - переменные физические величины (например, иІ плотность; и2 - температура; иЗ - скорость и т.д.).Рассмотрим две системы, в каждой из которых происходит явление,принадлежащее одному классу.
Для этих явлений имеем право написатьНи', и'2, ..., и'п) = 0;РКЦ/,1,(9.29),2, "ч 1171): О,где штрихом отмечается принадлежность переменной к одной системе, адвумя штрихами - к другой.Подобие двух физических явлений, описываемых уравнениями(9.29), математически формулируется условиями:(9.30)..., ип/ип - си".Одноименные переменные и' и и” должны удовлетворять равенствам(9.30) в сходственных точках пространства и в сходственные моментывремени во всем объеме пространства, охваченного процессом, т.е. вовсех точках поля рассматриваемой переменной.Каждая переменная имеет свою константу подобия с, отличающуюсяпо размеру от других. Около каждой константы подобия ставится нижний индекс, который показывает, к какой величине она относится. Константы подобия между собой находятся в определенных соотношениях,их нельзя выбирать произвольно.І,І_.І,ІиІ/и!_си]' и2/и2=си 2,ІІІ_177Поскольку нами рассматриваются две подобные системы, то можнопри наличии условий (9.30) выразить переменные второй системы черезпеременные первой системы.
В этом случае система уравнений (9.29) запишется следующим образом:ип) = 0;т/І, “2,(9.31)Неи'ид,сипи'п) - О.си2и2, ...,ІІ_Рассмотрим некоторые свойства констант подобия и правила их составления. Если переменной является вектор, например скорость и ,компоненты которого их,и ис, тоиуии - их/их- иу/иу- иг иг-си.(9.32)_*ІІа!_ІІІ__,ІІІ__ІІІ__Если разность значений переменной и] для двух точек первой систе-мы равна Аи'І, а для сходственных точек в сходственные моменты времени у второй системы равна Аи'ї, тои”1/и'І = Аи”І/Аи'І = с!и”,/сіи'І = с иІ'(9.33)Таким образом, в равенстве типа (9.30) переменная и может быть за-менена любой ей одноименной величиной.
Это так называемое правилозамещения одноименных величин.Уравнения типа (9.29) в большинстве интересующих нас случаев таковы, что переменные входят под знаком первой и второй производных.Для производных множители подобного преобразования определяютсяследующим образом.Рассмотрим, в качестве примера, производную ди/дх.
Для первой системы - ди'/д›(, а для второй системы - ди“/дх”. Каждая переменная сдвумя штрихами связана с переменной, отмеченной одним штрихом, условиямии”/и' = си; 17% = с,.(9.34)Следовательно,ди”/дх” = (си/с,)(ди'/д›/).(9.35)Для второй производной, рассматриваемой в качестве примера,д2и/дх2 получимд2и”/дх"2 = (си/сї)(д2и'/дх/2).(9.36)Теория подобия является теорией эксперимента. При проведении опыта необходимо знать:какие величины следует измерять в опыте;как обрабатывать результаты опыта;на какие явления можно распространить полученные результаты.178(Эсновы теории подобия базируются на трех теоремах, которые и дают ответ на поставленные вопросы.Как уже указывалось, константы подобия не могут выбираться произвольно.
Если явления подобны, то между константами подобия имеются определенные зависимости, ограничивающие произвольность выбора. Последнее объясняется тем, что сами физические величины, определяющие течение процесса, связаны между собой определенными уравнениями, отражающими законы природы. Примерами таких уравненийявляются выведенные в предыдущей главе дифференциальные уравнения энергии, движения вязкой жидкости, сплошности.Используя эти уравнения, можно получить безразмерные комплексы,составленные из величин, характеризующих это явление.
Эти безразмерные комплексы называют критериями (числами) подобия. Критерии подобия для всех подобных между собой явлений сохраняют одно и то жечисловое значение. Поэтому первую теорему подобия можно сформулировать следующим образом: у подобных явлений одноименные критерии(числа) одинаковы. Критерии подобия всегда имеют определенный физический смысл. Их обычно обозначают начальными буквами фамилийвыдающихся ученых, работавших в соответствующих областях науки.Необходимой предпосылкой для вывода критериев подобия являетсяналичие аналитической зависимости между физическими величинами,характеризующими данное явление (например, уравнение движения).Если уравнение дано в дифференциальной форме, то нахождение критериев подобия не связано с его интегрированием.Возможность нахождения критериев подобия по дифференциальному уравнению приобретает особую ценность в тех случаях, когда этиуравнения не интегрируемы.Вторая теорема теории подобия (теорема Федермана-Букингама) утверждает, что критерии подобия, полученные из дифференциальных уравнений, одновременно являются и критериями подобия, получаемыми из решения (интеграла) этих уравнений, т.е.
интеграл дифференциального уравнения (или системы уравнений) может быть представлен как функциякритериев подобия дифференциального уравнения. В результате интегрирования дифференциального уравнения не могут появиться какие-либо «новые» дополнительные критерии подобия или исчезнуть «старые»,получаемые из дифференциального уравнения.Первые две теоремы подобия касались свойств заведомо подобныхсистем. Третья теорема подобия формулирует условия, достаточные длясуждения о том, подобны ли явления.Для выделения из данного класса явлений конкретного единичногоявления, как известно, необходимо знать условия однозначности.
Однако аналитическое решение системы дифференциальных уравнений призаданных условиях однозначности, как указывалось, невыполнимо. По.179этому интересующую связь между переменными устанавливают опытным путем (например, зависимость коэффициента теплоотдачи от скорости течения воздуха в круглой трубе заданных размеров).Явление, изученное опытным путем, должно рассматриваться какединичное явление, отвечающее конкретным условиям опыта (рабочеетело - воздух, круглая труба определенного диаметра и длины и т.п.).
Этоизученное опытным путем частное явление для удобства дальнейшегоизложения будем называть первым. Очевидно, существует неограниченное число явлений, подобных первому. Все явления, подобные первому,а тем самым подобные одно другому, образуют некоторую группу, входящую в данный класс явлений.У всех явлений, относящихся к данной группе, условия однозначно-сти подобны, т.е. между физическими и геометрическими одноименными величинами, входящими в условия однозначности, существует зависимость и'; = с,и;, где и; - какая-либо величина, входящая в условие однозначности первого явления; и'; - одноименная величина, входящая в условие однозначности второго явления (і = І, 2, 3,п, где п - число независимых величин, входящих в условие однозначности). Нетрудноприйти к выводу, что в пределах группы различие в условиях однозначности заключается лишь в неодинаковости масштабов значений констант подобия сі.Требование подобия условий однозначности является непременнойпредпосылкой к подобию сопоставляемых явлений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
