1629382528-e201d89ff59dd31db5be21dffcf9458a (846429), страница 8
Текст из файла (страница 8)
представляет собой общук> точку всех интегральных кривых, к которой стремится изображающая точка нсаависимо от начальных условий процесса, мы имеем точку типа фокуса, если подход к ней,йитегральиой кривой совершается осцилляторно, и типа узла, если интегральная кривая устремляется в эту точку щеериодически.. % 2.1! Ряд ФуРье н интзгРьл ФуРье ЗВ ГЛАВА ВТОРАЯ О СПЕКТРАХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОПЕССОВ 1Л 2.1. Ряд Фурье и интеграл Фурье. 11рн нзу к чин колебательных процессов играет важную ролл нооя«нс «нгкгра. Оно возникает ори представлении сложной «к'рналнчгскоа функш«и в виде совокупности более простых. Из бесчисленно«а множества возможных способов разложения функции, удовлетворяюн«сй условиям Дирихле (т. е, функция должна иметь конечное число экстремумов зХ период, быть ограниченной и кусочно непрерывной), заслуживает особого внимания разложение в ряд Фурье по тригонометрическим функциям или, иначе говоря, но гармоническим составляющим у(1).= А,,' ь' (А„мн лФ1 ( П» соз и 1), я », « гле г (2.1) А„=Ту ~УЮТ, о г А — 1 у(С) з1н пч; гс«г, т В„= 1У(1) 2 Г « Т вЂ” период фун«<нии Ж).
Дело н том, чта математическое ра«оннкеине кериаднческой функции в ряд сю гарманичсскчл«сс«с«а««««««««««««««м является достаточно верным отражением физической знзм«>жни««н анализа периодических процессов. Операция разложсния неряалнчсского процесса на гармонические составляющие или иылеления последних из сложного процесса оказывается яозмажнан блаж«даря свойствам колебательных систем, характеризуемых наличием определенных собственных чаетот и применяемых в качестве «снеюсральныХ анализаторов» сложных периодических процессов.
Очень наглядное представление об втам может дать следующий простой аныт. Генератор развертки чл«-к«раиного осциллографа дает колебания, сильно отличающиеся а« «инусаидальных, - — колебания «пилообразной формы»„очень сш«ыы «зрмониками. Если эти колебания подать на вход обычного р«шш и н«л«ельнога приемника, та, изменяя настройку последнего, м«««с««~«««нюру юнь большое количество различных «сигналов»вЂ” «:ц«м шн и ш«нх сагтаялясощих пилообразных колебаний генератора ! а,«««~ 1««кн ««нилл«««!«афт. П1«и ароведеннн этого опыта достаточно «шшч «Рзф «ки «яни«ь рядом с приемником. Особенно наглядно он н шучи ы«с с приемником прямого усиления при обратной свили, уг«яиочл«шюа на собственную генерацию.
Тогда каждая гарлюннка иря нящр «йке на нее приемника прослушивается в виде характерного «'в«н «л. Нырюксние (2.1) ряда Фурье можно переписать в более удоб«и«й Форма ч« /(С) ":.—.,:- дл !» С»соя (лыг — «л ), (2.2) «'." ":--:: !'.1«( 1г"„, Р».:;::асс!й ..". и Прялки«мгш«нля формулой «2.2) гоиокунноссь членов вида Сагах (««а«г — ~ ) л«х»«ел«гм Хю лл« " ' ' ' — 1 па« Рис. 2.!.
! «шляв«гя с«селя«ро.«с функции с(1). При этом совокупность величин образует ессеп«с«р амплитуд, а совокупность величин «у„— 'с«с«екс««с«фаз. Каждая гармоническая сосгавляю«цая представляет собой, ) «Оворя я««ыком антики, глек. п«р««лаптю линяю, характери« зуему«а ирису«цсй сй частотой ь. колебания п«и амплитудой Сю Обы ша сн«.к«р амплитуд изабражас«с» и виде графмка С««(л»«)..'1««аче«си««амплитуд С„ гармонических составляющих 2':: и«юбражаются вертикальнымн Ю линиями соответствующей длины„располагающимися в точках ы, 2»«, 3«»,..., пь«оси абсцисс. Палучае«ся картина, подобная йзображенной на рис.
2.1, нрелставляющая «линейчатый спектр» нроц«есса. Проведя огибакнцуса через верхушки всех С«н мы полу'чим некоторую кривую (штрих-линня на рис 2.1), цо ходу кото'' '::,!я«й можно судить о «спектральном распределении амплитуд» дан.-' ;,;:-''«юго процесса. Забегая несколько вперед, укажем, ч«о нолучнв",': ' шаяся огибающая воспроизводит «спектральную функцию» процесса. :::: Значение этого терлшна выяснится несколько позже.
0 ацнктРах колвватвльных пРоцвааов 1гл. 2 В выражении ряда Фурье можно общий член его Алыпп«ьх+ '+«»л альа пас предатавить так: Ал гйппЫ+ В„' соя п«А=А» - (е~" ' — е лоь)+ ! +Вл ° -2-( ~ '+е ')= 2 (ь»„— 7АО) '+ 2 (гт„+7А„)е """'. Поломсим: '-~л '2 (~л »АО) ~'~ л ь ( 'л+тАО) Тогда, распространяя суммирование но индексу л ог ---оо до+со, мы получим очень удобное «ырамлсяне ряда Фурье я комплексной форме У(г) — э Ть.е'""'.
(2.3) Коэффициент члена этого ряда 77« можно выразить подобью тому, как выражаются коэффициенты ряда Фурье в его обычной записи, а именно т +— г О.=т ~ У(Г) '" (2.4) Очевидно, прн и= — 0 мы получим Г)ьь, т. е. постоянную составляющуьо. Как уже было указано ранее, каждан периодическая функция определяется конечным периодом 7'. !.'ояершенно естественной является мысль о предсгаььленин всякого непериодического'янлвния как предельного случая периодического, когда период последнего стремится к бесконечности, Таким образом, так как период процесса Т определяется круговой частотой его первой гармонической составляющей ы,: то нри прслсльном перехода 7 -» ась получимся «ьь О.
Значит, при превращении ь1ьункцнн /(г) в ььлььл рнолнчаакую„типа однночнопь «импульса» любой формы, расс!олине илжлу «линиями» спектра стремится к нулю, а гнскгр из лннейчагого превращается в сплин!- ной. Вместо днскретьього «набора» амплитуд Сл (рис. 2.1) площадь внутри огибающей будеь сплошь заполненз бесконечным числом линий, изображаюьцих амплитуды. Осьшвной характеристикой такого' сплошного спектра явится поведение огибающей — спектральной функции распределения амплитуд.
Количеатненный анализ функции Т(1) в случае подобноГо предельного перехода можно оауьцествить, преобразуя ряд Фурье и % 2.11 Ряд вуРьв и внтвГРал «РРье 41 приводя его к так называемому интегралу Фурье. Придадим комплексному выражению ряда Фурье с учетом значения, коэффициента Вл следующую форму: т л=+со + г Т(7) ~ ~ Д Т(1) е -У~ь (Г л ь 2« л =- — со г 1;ш'н юо яырюкеньнс опьести к непериодическому процессу импульсноыь характера, определяемому бесконечным периодом, то, переходя к нредллу Т -э. со, мы получим пе дискретные значения частот гармонических составляющих псл, а непрерывный спектр частот. Прн этом в выражении (2 б)'придется «!=2к/Т предатавить как ь(ьл, а пл«.приравнять «текуьцей частОте» «ь, в результате чего оно нриобретет интегральную форму +со +со = 2-- ) ~ ~ 7(г)е л(Г~е~ ьь(ьл (26) — СΠ— СО Получается так назызаемыь! интеграл Фурье.
Заметим, что продемонстрированное выше простое преобразование ряда Фурье в ин.теграл Фурье не претендует на большую математическую строгость, являясь лишь иллюстрацией существа проблемы. Выраженшо интеграла (2.6) можно придать другую, более упо. требнтельную и удобную форму. Предстзвим аодержнмое квадратных скобок уравнения (2.6) в таком ниде: +со Р(«ь) = —, ! Т"(Е) е "'»К 1 (2.7) Тогда Т(Г) ноже~ быть записана так: +Ос Т(7) = ) Е(«ь) е~ ~ль'ьл.
(2.7) Это выражение, представляя искомую функцию Т(1) в виде интеграла Фурье, указывает также на своеобразную связь между функциями Т(Х) и т(«ь). По самому определению (2.7) функции т'(«ь) .видно, что она характеризует распределение амплитуд в спектре функции Т(1) по частотам.
г'(м) поэтому называется епеьтпралалой фупщььей по отношению к Т(7). Функции т(«ь) н 5'(Г) называются .'.т' ' «сопряженными по Фурье». Сопоставляя определение спектральной -функции (2.7) с выражением коэффициента члена ряда Фурье (2.4), заметим следующее. Интеграл Фурье представляет непериодический процесс в виде бесконечной суммы бесконечно малых слагаемых, каждое из которых равно 1«(«ь)е"т" ~л(ьл. Это — элементарный О спвктвьх колвалтвльных пгоцвссов (гл.' 2 импхльсныв пгоцвссы и их анализ Ю 2чй) колебательный процесс, приходящийся на бесконечно малый интервал частот в!м и обладающий какой-то бесконечно малой амплитудой ЖХ ' Значит, е(м)е'~""!»м=гШе д"! илн же Т(м)= —.
(2.8) !(!» ' Отсюда видно, что спектральная функция гч(м) характеризует плотность спектрального распределения амплитуд или просто «сйектральную плотность». Ход этой функции определяет и поведение «огибающей» спектрзльных линий в случае дискретного спектра (конечный период Т, рис. 2.1). 2 2.2. Импульсные процессы н их анализ. И! сьма важные в технике «импульсные режи!!ы» рябо!и радноус!ройс!я характеризухнся обычно и!ч«порой периолнчсгкой носледовательносгыо импульсов !ой или иной формы и нродолжитель(юсти.
Импульсный режим характеризу!От обычно следующие Рис. 2.2. величины: длительность им- пульса 1„, период повторения импульса Т» (р!ю. 2.2), часто!а ноя!орепня импульсоя Г= 1(Т» и «скваж!всгь» 9, предсгавляющая собой о!поннише периода повторения Т„ к дли!ельнос!я импульса /»: Чем больше скважность, тем мсньншя ч;юзь периода Т„занята сигналом. Для анализа периодической последовательности импульсов можно применять ряд Фурье. Однако при достаточно большой скважности, Л»! т. е. при наличии последовательности коротких импульсов, разделенных значительными промежутками времени (на- ! пример, импульс проло!!жи!ельнос!ыо ! мкеек повчоряется !ООО раз в секунду, т. е. 9=- !ООО), м(нанн с у!пехом пользоваться юпегрзлпм Фурье.
11рн изучении импульсных «снгнялоя- раз- Рис. 2.3. личных форм, определ»смых !шд<!и функций Т(1), наиболее важной задачей яяляе!ся нахождение именно спектральных фуншпа д(») данных сигналов, Отметим, что при изменении скважносгя Г7 н неизменной форме импульса внд отибающей спектральных линий не изменяется и совпадает со спектральной функцией одиночного импульса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
