1629382528-e201d89ff59dd31db5be21dffcf9458a (846429), страница 7
Текст из файла (страница 7)
замкнутые контуры, —. строго говоря, не являются системами с одной степепгин свободы. Однако, если ограничиться идеализациеИ «одиночного замкнутого контура с сосредоточенными параметрами:, т. е, иолагагь все электрическое ноле сосредоточенным только в емкости С, а всю индуктивность †толь в катушке ь, токи же в контуре — зависящими только от времени и не имеющими иространщвенного распределения, то такои изолированныи (т. е. нс связанныя электрически с какими-либо иными цепями) контур мо>кш! с ш~агь снс гемон с одной степенью саободьь '! акая сисшма, а ярос!св!нем случае не обладающая ног«рами (контур без сопри~ни.и пня), являющаяся «гармоническим осциллягором», моягс~ слух!и~и н!юс~еншим нрнмером для применения метода фазовон нлоскос)н. а'!~лишние ~армонического осциллятора может быть записано в ниле х" ~-мйх=О, (1.40) где х может предстзалять собоИ ток, нанряжение, заряд для элек- трического осциллятора, смещение, скорость н т.
и. для механиче- ского. Положив х' =У, можно заменить уравнение (1,40) системой уравнении х' =-=у, у = — «ч)г, ~ ( !.40') )=аз!ггм«Г и — — - Ь со. ям! Значит, фааовая траектория долхои иметь нил эллипса, уравнение которого ,== !. (1.41) т. е. система уравнения (!. !О') нолногыен ю,юищлсн!на урщшению (!АО). Вулси неображе~ь нояслгннс огиилля~оря и» плоскости ху. Эгн коо)нггшаые мгнУг соо~не~сышва!тч неиРнмеР, нанРЯ- женню на емкое гн и току н контуре н случае идеального электрического кон гура илн же смещению н скорости в случае механического осцнллятора.
Каждому состоянию осциллятора соответствует на фазовоИ плоскости какая-то «изображак«цая точка», последовательному же иаменению «ос~оянка — — перемен!ение ее но фазовоя илоскости. Так получается «фазовая !раскторня», нлн„ кщ; исто говорят, «г2азоаый нортрег:, происходящего а гисгсмг нроцесса. В случае незатухающих колебания идеального кон~у!и ~ок и напряжение изменя!отса но гармоническому закону со сдпи~ом фаз между ними на к,'2: еь '.::„,.' '% 1.4) и ~ юлжщ!ни циоцвссов на вазовой плоскости елнчипы нолуосед вллииса зависят от амплитуд тока „ Прн уостеиениом уменьшении гн! эл,.! -, начзло координат. Нетрудно видеть, что начало координат для системы уравнеиид (1.40') служит осо- ,боИ точкой, так как для нее я' х г!у О дг О В данном случае эта особая точка носит название «центраа. Она служит иределом, к которому стремится фа- новая чраектория — эллипс — нри а Д - О.
11а рис. 1.13 нредставлено семки«!во эллнненческнх фазовых траек'ГОРнв. Очгннляой является следующая ъщияшми ршн ~ь и лннжгннн нзобра7ИФФчн«И Воч! н 1!Рн !' '.- г ° О нзо' 61И!е~енчнеч еич«я инш«~ и «н«тле !«И1 «щ~,, "и с ьярчнт ! ш «и шнн« Рнг. 1.13. н!!И д:::, !! 'иео!!ор! ь; и~яке анни!им я а вьеа' 'гв«дв, !! !«няни~ ш-рника колгба~сльио~о пРоцесса изобра'.!ефмн«н ызнгв 1яелщт нолныи оборо! и вернется к исходному вмагьч сйшн, 11«с!гонги о сложнее обе гонт дело с «фазовыми !чортретамиь че!ухяаюшх шисбапий конгура с сопротивлением. ДнфференциальИгн' ур:!инкннс процесса в этом случае выглядит так: х" + 2ах'+ ь4х= О.
(1вги!я, как н н предыдущем примере, у =,х', заменим его двумя иарамг~ ~ич<"санин )аииенням У1 и. х =У,,у'= — — — (2ау+ м«х). (! 42) Ф 1!гкл ° ~чая >ю но«лаю!!х ур;нииигиб время 1, найдем уравнение травки рнн нги!Ирюкаищщб гочки на фазовоИ плоскости Ф;;-«=-' —,: ) ДУ ~2«у+ «4» (1.43) 1Д ншшм ч!ого уравнения дает семеиство интегральных кривых ия:/(х, А), гле й — параметр семенства. Вели функция -У од!«о- ггх жени н рассматриваемоИ области, то кривые указанного семейства -';, '"ок нсресекаю!ся между собой, и через каждую точку фазовоИ пло- ~ г ш ги нрохолиг только одна интегральная кривая.
Исключением о! ея!егщ!отса только особые точки, в которых величина — -У стано- дх нуг! ш! иеонределенноИ. и. и. и и. г. ы. тьрц «я изоваа»канна нгоцвссои на вазовой илоскостн коляватвльный циоциссы в Радиоцг(иях (гл. 1 34 В уравнении (1,43) отношением -- дается угловой коэффици(1у ах ецг касательной к интегральной кривой в л,ацнои точке.
Исходя нз этого уравнения, продемонстрируем «метод изоклинь, исиользуемыи для построения интегральных кривых иа фааовой плоскости. Изоклниой называется кривая, пересекающая все интегральные кривые под одним и тем же углом. Построив изоклины, можно судить о расположении и ходе интегральных кривых. Каждая изоклина характеризуется определенным зизчением величины †. Положим, (~у 6х' что она равна а. Тогда уравнение соо(ве(сп(ующсй изоклицы получится путем цодс»ацоюсн а в урзюиц(и(! (!.13): а=--. - —.— — --, откуда у=.=-." ', х. «!.2« (1.44) Мы цолучили уравнение пучка прямых, крото:шщих через начало координат, с угловыми коэффициентами а» )(= — —" а+2«! величина которых зависит от выбора величины а, определюощей угол, под которым пересекюогся интегральные кривыс с данной изоклиноИ: а =-- =.=.1и Ф на (1» Задавая а, мы оцределим, кро»(е»»((цо у(ла Ф, (зкжс и угловой коэффнциец! ааццои из»жлиць! й.
с!(их дзццых дос»з яично для построения иц(егральцых кршц«х. 11рицслсм црцмср: 4 — -„.— 2 ! ! — 2» а О ( ЛИ ~ ИИ ~ г('1И(- ."„-- 2«)~ зжгй( — 2 ) ~ р Пусть, например, а=.г:,, зцзчиг, 15 ф =-,.С» и Ф =ВО(». Интегральные кривые цересекюо(ся с дзццоц изцклипой под прямыми углами, а углопоИ коэффнццсц!. изок«ицы обр,икается в нуль, т. е. изоклина совпадает с осью абсцисс.
По данным аьцц зрцце »ец(юй гайлиш« цосгроим изоклцны, обозначив их соогветсгвукхцичи цоцерзмц на рис. 1.14. Огыетим на ннх на равных, произвольно выбранных расстояниях, начиная от начала координат, наклон интегральных кривых, определяемый углом Ф. Положим далее, что какая-либо произвольно выбраннвя точка А (рис. 1,15) пРинадлежит интегральной кривой, и начнем с нее построение последней. На рнс. 1.15 точка А взята на оси' ординат, т.
е. на изоклиие номер 5 рис. 1.14. Воспользовавшись данными рис, 1.14, вычертим на рис. 1.15 угол --(Фа+Фа) с вер- 1 2 шиной в точке А. Пусть продолжение стороны этого угла пересечется с изоклицой 4 в точке В. Затем найдем центр дуги, которая орохопила бы через точки А и В и касательные к ко- уХ торой в точках А и В со- ;.Ф, « Ф, виадали бы с направлением интегральной кривой. Тогда дугу АВ с некого- Фг»Р;— рым приближением можно принять зз интегральнук! крицук! ца участке АВ. !(ец(р луги лг(ко цзй(ц ц(ц (1((ч'цц('х! !«ц ((('ц(!' ц(' 1ч*(("(гцц» ((агт »ц;1ч(гцац- (,»З(!Ц(Ц, ЮЦ(.ИШОЮЦЦЦЫХ цй '(о«я А н В и црямым, лвяяццм и цнх цзцрзяле- ; ~ж.г., Цщ* щ к((м(»И иц ! е! 1(вльцой Г ' Ф ьривой.
11з шцая от точки г Ф(,7 В, ццигорцм тот же црощчг ццггр(цция н цзйлсм Рис. 1.14. лу(у окруаацц »ц, зццрок, »!»ц(р»! юую ц((им(тк! игиегральцую кривую между следующими 4 ц,.'1 и! и лютни .,1юцм щ(и»орцм »о же, исходя из точки С» и т. д. !"за ям («' рззнц, ц»'з! ццмггрзльцую кривую можно приближенно ц)(»а(»((!»(2(1, (!!((()ии;, ьн »зь -(иц»(уцццс»ь дуг окружностей разных 1!ай)»1Ч!'м(11. (11»»г »!»»)зцз((вз(»гцг яфавоюцо (щ1»трата» системы с затуханием, »)(1(!11(»зь(»()м«й 1«1 ацц»»нцямц 11А2), подобное построение цриводит ь и((цги!11, (»а»(С(1!зя(»ц((ой из рнс. 1.16.
Вместо эллипсов предыдуцнчм црц»ц-ра (цдегмнцый контур нли гармонический осциллятор) в( дтшн(ц глучзс получается спираль, постепенно сходящаяся к на- (1(»л»! кц р ццгзг, где опять-такн получается особая точка. Характер 4»(ц1 'и('(«цш »ц(ю(, однако, здесь совершенно иной. Начало коордиц()г и ! луча« чз(ухзющих колебаний соответствует состоянию равно- 1($(5»1ч )г(ю(аюцццсмуся состоянию, — к которому система асим~тогцч»»ьц г(р('мигов црц любых начальных условиях. Такого рода »и( ачш ы»чка фззовой траектории называется устойчивым фокусом. 1!»чц и:ь(арззцп «фазовый портрета системы с затуханием, имеющим 1! Ыь Г«люцтю всличннУ, что пРоЦесс становится апериодическим 2» Рис. 1,!т, Рис, 1.16. 36 ' , ,' колевлтельиые пРОцвссы в Рлдиоцепях 1гл.
! (случаи первый и второй разряда ко>щенсатора в контуре с потерями, рассмотренные в предыдущем параграфе), то вместо спиралей . / ! ! / ! // ! / / ! / / ! !" Рвс. !.!5. мы получим интегральные криппс параболического гяна, прс>ходящие через начало координат (рис, !.1У). Оии о>ображаюг аперио- дическое движение к состояни>о равновесия, определяемому особой точкой в начзле координат.
В данном случае эта точка носит на- звание усл>ойчлаого узда. э' 1.'Ц ИЗОЕРЛЖЕЕИЕ ПРОЦЕССОВ НЛ ФАЭОВОй ЩЮСКОСГИ Таким 'образом, мы познакомились с тремя типами сфазовых .Оортретовь систем и тремя типами особых точек, получаюпщхся з начале координат фазозой плоскости. Если особая точка" является 'иекоторымпредельным случаем интегральной кривой, которая вырождается в эту точку при,определенных начальных условиях, как это ' получается в примере с гармоническим Осциллятором, 'мы имеем дело с особой точкой типа центра. Когда же особая точка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
