1629382485-048081f33d7067cb67d6bd3d4cee7eee (846428), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Как видно, из (9-37) и (9-38), функция 5 КВ (Е )не зависит от температуры. Две другие функции: Р кв ( Е ) и Ф кв ( Е )с повышением температуры должны измениться. Частицы, п ол у чая дополнительную энергию при повышении температуры ( Т 1 >> О К ), должны перейти в более высокие энергетические со сто я ния. Однако такие переходы смогут совершить только те частицы,для которых новые, более высокие энергетические состояния свободны. Иначе говоря, воспринять дополнительную тепловуюэнергию могут лишь те частицы, энергия которых при Т = 0 Кменьше энергии Еф на величину порядка кТу. Частицы, находившиеся при Т — О К в низких энергетических состояниях, сов ер шить такие переходы и, следовательно, воспринять дополнительную тепловую энергию не могут, так как те состояния, в которы еони должны перейти, заняты другими частицами.
Таким образом ,изменение функции ЕКп (Е) с температурой следует ожидать вблизиэнергетического уровня Е = Еф. Слева от уровня Еф вероятностьзаполнения состояний частицами становится меньше единицы,а справа от уровня Еф эта вероятность оказывается отличнойот нуля (рис. 9-14, а). Так, например, при Е = Еф — 4 к Т функция > кв (Е ) да 0,98, а при Е = Еф + 4 к Т функция Е К„ ( Е ) да; 0 ,0 2 .Очевидно, что с повышением температуры интервал измененияфункции увеличивается. Однако при любой температуре вер оя тность замещения уровня Ферми Еф остается неизменной и равной 1/2 .В соответствии с изменением Е т ( Е ) изменяется с тем п ературой и функция Ф кв ( Е) (рис. 9-14, б — г).
Функция Ф кв ( Е )для полностью занятой закрытой зоны может измениться лишьв том случае, если тепловая энергия достаточна для перехода частиц на свободные уровни в соседней разрешенной энергетическойзоне (рис. 9-14, г).Рис.9-14. Изменение функций распределения квантовойстатистики в зависимости от температуры.Понятие о вырожденном и невырожденном электронном газе.Предположимг что в функции (9-41)~Е -Е фе>1.м(9-42)4Тогда единицей в знаменателе (9-41) можно пренебречь и приусловии, что Е ГР = 0, выражение принимает вид:Фкв (Е ) ъ А У Ё еЕФ/кте ~ Е/кТ.(9-43)Неравенство (9-42) выполняется, в частности, при условии, чтоe V kT< l .(9-44)Определим этот экспоненциальный сомножитель с помощьюинтеграла от функции Ф КВ ( Е ), который равен концентрациичастиц:п=^ Фкв (Е) dE.(9-45)Вычисляя интеграл, запишем для экспоненциального множителяе ЕФ/кТ:nk32 (2лткТ)(9-46)Подставляя это выражение в (9-43) и учитывая (9-38), находим‘—Я/М’(9-47)Фкв (Е)т У Ее3/2л 1/2(кТ)что тождественно функции (9-35) распределения частиц в соответствии с классической статистикой М аксвелла—Больцмана.
Такимобразом, при выполнении условия (9-42) функция распределенияквантовой статистики переходит в соответствующ ую функциюстатистики классической. Такой коллектив электронов, для к оторого справедливо условие (9-42) и, следовательно, применимаклассическая статистика, называют невырожденным электроннымгазом. И, наоборот, электронный газ, для которого неравенство(9-42) несправедливо, называют вырожденным.Как видно из (9-46), вырождение электронного газа мож етнаступить в случае низкой температуры или высокой концентрации частиц. В качестве критерия вырождения может быть и спользована величина концентрации частиц«выр = 3,67 •1015Г 3/2.(9-48)В полупроводниковых приборах неравенство (9-42) вы полняется в большинстве практических случаев для коллективовсвободных носителей зарядов: электронов в зоне проводимостии дырок в валентной зоне. В самом деле, при температурах, близких к комнатной (Т да 300 К), к Т « 0,03 эВ..
Разность энергийЕ — Еф составляет единицы или десятые доли электронвольта,так как за величину Е следует принимать энергии, близкие к значениям Е с или Е х) дна зоны проводимости или потолка валентнойзоны. Уровень Ферми, как будет показано далее (§ 9-5), расп олагается наэнергетическойдиаграммеполупроводника взапрещенной зоне, ширина которой А Е а = Е с —леж итв пределах от 1 до 3 эВ. Таким образом, как правило, Е — Е ф >> кТ и, следовательно, е кТ^ >1.9-5. КОНЦЕНТРАЦИЯ СВОБОДНЫ Х НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДАВ ПОЛУПРОВОДНИКАХРавновесную концентрацию частиц в полупроводнике м ож н о,как и в случае (9-45), определить с помощью интеграла от функцииФкв ( Е ) = 5 КВ (Е) ^кв (Е ).
Для определения равновесной концентрации п0 электронов в зоне проводимости в качестве ниж негопредела интегрирования следует взять энергию Е с, соответствую щую дну зоны проводимости.Используя (9-37) и (9-39), получаем00(9-49)Д-Ефект+1Решения в общем виде этот интеграл не имеет. В большинствеважных для практики случаев электронный газ в полупроводникене вырожден и, следовательно, единицей в знаменателе подынтегрального выражения мож но пренебречь. При этом условии решение (9-49) имеет вид:.Е ф ~ д сщ = Ысек1',(9-50)где(9-51)Мс = ~ {2 п т 1 к Т )^— эффективная плот ност ь состояний в зоне проводимости.При условии, что Еф -> Е с величина Лгс определяет максимально возможную концентрацию электронов в невырожденном полупроводнике. П оскольку п0/Ыс — отношение равновесной концентрации электронов хг максимально возможной, экспоненциальный множитель в (9-50) имеет смысл вероятности нахождениясвободных электронов в зоне проводимости.Аналогичным образом можно определить равновесную концентрацию дырок в валентной зоне, но при этом в подынтегральном выражении (9-49) должна фигурировать не функция / ’кв ( Е ),а выражение 1 — Е кв ( Е ), которое для невырожденного полупро_ ЕФ ~ Еводника равно екТ .Решение (9-49) в этом случае имеет вид:ЕУ ~ ЕФр 0 *=Я уе*т(9-52)ггде(9-53)(2лт*кТ)У'2— эффективная плотность состояний в валентной зоне.Аналогично предыдущему случаю (9-50) экспоненциальныймножитель в (9-52) имеет смысл вероятности нахождения дырокв валентной зоне, а величинаопределяет максимально возможную концентрацию дырок в невырожденном полупроводникепри условии Еф -> Е п.Концентрация носителей заряда в собственном полупроводнике.Выражения (9-50) и (9-52) определяют концентрации электронови дырок в невырожденном полупроводнике, в том числе и в собственном, для которого число дырок равно числу электронов:п 0 — Ро = Щ.(9-54)т = щро■(9-55)ОтсюдаИспользуя соотношения (9-50) и (9-52), получаем:Ес - Е рЩ = V ЩРй = У х Же2* г=2 {2 л к Т )3/2з/4е- д ь у - ’^ .(9-50)Отсюда следует, что концентрация носителей в собственномполупроводнике существенно зависит от температуры (причемглавную роль-здесь играет экспоненциальный множитель), а такжеот ширины запрещенной зоны.
Т ак, например, в кремнии, шириназапрещенной зоны которого ( А Е 3,ж 1,1 эВ) лишь примерно в полтора раза больше, чем у германия (А Е а да 0,7 эВ), при комнатной температуре ( Т да 300 К ) собственная концентрация на трипорядка ниже, чем в германии: щ (Э1) дада 2 ■1010 см"3, а щ (в с) да 2 - 1013 см"3.Рост концентрации свободных носителей при повышении температуры определяется в основном экспоненциальным членом в (9-56), поэтому в координатах1п п 1— М Т функция щ = / ( Т ) будет представлена прямой с углом наклона а, тангенс которого пропорционален ширинезапрещеннойзоныАЕ3 (рис.9-15).Изображение зависимости концентрациичастиц от температуры в полулогарифмическом масштабе весьма удобно, так какконцентрации ч а сти ц вс изменением температуры на несколькополупродесятков градусов концентрация носите беспримесномводнике от тем пературы .лей заряда может изменяться на несколько порядков.Уровень Ферми в собственном полупроводнике.
Запишем у сл овие (9-54) для собственного полупроводника с помощью (9-50)и (9-52):ЕФАГее кТЕскТ(9-57)откуда£’с _Ь-Ё,щ | кТ |Е * * = -----2--------Ь — Ап - щ(9-58)Подставляя сюда (9-51) и (9-53), получаем:1Ф г:(9-59)Таким образом, при Т = О К уровень Ферми в собственномневырожденном полупроводнике лежит посередине запрещеннойзоны. Этот вывод справедлив также для любых темйератур, таккак второе слагаемое для большинства практических случаеввесьма мало (ш* т Шр).Расположение уровня Ферми на энергетической диаграммепри П1п = Шр и функции распределения показаны на рис.
9-16.Заштрихованная площадь в верхней части диаграммы Ф КЪ (Е)пропорциональна числу свободных электронов п0, а незаш трихо-ванная площадь в нижнеи части этой диаграммы — числу дырок р 0в валентной зоне.Концентрация носителей зарядов в примесных полупроводниках. Предположим, что в /г-полупроводнике концентрация пятивалентных атомов доноров равна N я.
В общем случае, при Т >> О К , часть донорных атомов может быть ионизирована. Обозначимчерезконцентрацию ионизированных атомов примеси. Тогдаконцентрация электронов на примесных уровнях пд = ЛГД —Р и с. 9-16. Положение уровня Ф ерми п изменение функций распределенияот температуры в беспримесном полупроводнике.Степень заполнения донорных уровней электронами можноопределить [22], пользуясь функцией /',кв ( Е ):(9-60)ЕякТ+1Здесь Е д — локальный энергетический уровень доноров.Концентрация п0 электронов в зоне проводимости, равнаяконцентрации ионизированных доноров, определится следующимсоотношением:Ч ~ Ея2екТ(9-61)+1Решая это уравнение совместно с (9-50), получаем:По =2 А'л2/УпУ 1+ Л + 1N.ЯеИ.кТ+1 +1(9-62)Аналогичным образом может быть получено выражение дляконцентрации дырок в валентной зоне р-полупроводника:Ро'-2Na/(9-63)+ 1 + 1-Обсудим зависимость концентрации пп — п0 электронов в зонепроводимости п-полупроводника, показанную на рнс.
9-17 (кривая А В С Б ).При температуре Г = 0 К примесные атомы не ионизированы,все валентные электроны образую т ковалентные связи, валентнаязона заполнена, а в зоне проводимости электроны отсутствуют.С повышением температуры развивается процесс ионизации примесей. При очень низких температурах И1 и единицей под к о р нем в (9-62) можно пренебречь.Поскольку также "|//?^> 1 можнопренебречь и единицей в знаменателе.
При этом (9-62) принимаетвид::Щ = УЛГСЛГД----г;— еРис. 9-17. Зависимость концентрации электронов в п -п ол уп р оводнике от тем пературы .2к Т(9-64)Аналогичнымобразом(9-63)Рр = РаV -приводитсяN „N Í¡2к 'Гквиду(9-65)Следовательно, концентрация электронов в и-полупроводникеза счет ионизации донорных атомов растет с температурой поэкспоненциальному закону, что на рис. 9-17 отображается отрезком прямой А В , тангенс р угла наклона которой пропорционаленэнергии ионизации доноров А Е Д = Е с — Е л. В этом интервалетемператур процесс генерации пар зарядов пренебрежимо мал и вслучае отсутствия акцепторных примесей неосновных носителейзарядов — дырок в полупроводнике почти нет.При температуре, близкой к Т 5, которую называют т ем перат урой насыщения, практически все примесные атомы оказы ваю тсяионизированными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
