!1164 (845535), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Фин. математика2Применим простые процентные ставки. Запишем уравнение эквивалентности:S = £Sj(1+ (п - )i)f0где0/ *nj,.— размеры объединяемых платежей со сроками rij < щ;S* — размеры платежей со сроками п > щ.В частном случае, когда и > п , (j = l,w),к0а5 = £ 5 ( l + (n -n )0.0;0;jПример 10.1. Два платежа 1000 руб. и 500 руб. со сроками уплатьсоответственно 150 и 180 дней объединяются в один со сроком 201дней. Пусть стороны согласились на применение простой ставки, равной 10% годовых.
Найдите консолидированную сумму долга. К = 365.Р е ш е н и е . Консолидированная сумма долга составит:+ 500-(200-180 "Зб5—°л= 1516,44 руб.)При объединении обязательств можно применить сложные ставки. В этом случае уравнение эквивалентности имеет вид:ООО1 +ДГ(1+/Р""°Пример 10.2. Платежи в 1 000 руб. и 2 000 руб. со сроками уплаты два и три года объединяются в один со сроком 2,5 года. При консолидации используется сложная ставка 20%. Найдите сумму консолидированного платежа.Р е ш е н и е . Сумма консолидированного платежа составит:0 55S = 1000 х 1,2 - + 2000 х 1,2-°- = 2921,19 руб.0Пример 10.3. Имеются два кредитных обязательства — 500 руб.и 600 руб. со сроками уплаты 1.10 и 1.01 (нового года). По согласованию сторон обязательства были пересмотрены на новые условия: первый платеж в размере 700 руб.
должник вносит 1.02, остальной долгон выплачивает 1.04. При расчетах используется простая процентнаяставка— 10% годовых. Необходимо определить величину второго платежа — So.Р е ш е н и е . За базовую дату, т. е. за дату приведения, примем01.01 (нового года).01.10 — 274-й порядковый день в году;01.01 — 356-й или 1-й день в новом году;01.02 — 32-й день в году;01.04 —91-й день.Запишем уравнение эквивалентности:5 о о . а+§ оЛ+ш = - ^(1+ 3 50,1)+- ^ _ .(l+3g5 0.1)Решая уравнение, найдем, что So = 428,82 руб.За базу можно принять и другую дату, например 1.04.
Тогда SQ == 428,41 руб.Отличие результатов, полученных при расчете So на различныедаты, неизбежно и обусловлено соотношением:1 + ni * (1 + »iQ(l + n i),2где п = щ + «2Задание.При консолидации векселей в расчетах чаще всего используетсяучетная ставка. Записать уравнение эквивалентности для этого случая.11. А Н Н У И Т Е Т Ы ( ф и н а н с о в ы е ренты)Поток платежей, все члены которого положительные величины,а временные интервалы между платежами одинаковы, называют аннуитетом или финансовой рентой.Например, аннуитетом является последовательность полученияпроцентов по облигации, платежи по потребительскому кредиту, регулярные взносы в пенсионный фонд и т.д.Аннуитет характеризуется следующими параметрами:1) величиной каждого отдельного платежа;2) интервалом между платежами;3) сроком от начала аннуитета до его конца (бывают вечные аннуитеты);4) процентной ставкой.Введем обозначения:R — величина годового платежа в аннуитете;i— процентная ставка сложных процентов, используемая для расчета наращения или дисконтирования платежей;А — современная стоимость к-то платежа;А — современная стоимость всего аннуитета;Sk— будущая стоимость к-то платежа;S — будущая стоимость всего аннуитета.Обобщающими показателями аннуитета являются: современнаястоимость всего аннуитета А и будущая стоимость всего аннуитета S.Наращенная сумма — сумма всех членов потока платежей с начисленными на них процентами на конец срока:кСовременная стоимость — сумма современных стоимостей членовпотока платежей:л = ± лк;Рассмотрим аннуитет постнумерандо, в котором платежи производятся в конце периодов.
На вносимые платежи один раз в год начисляются проценты. Будущие стоимости членов аннуитета:S, = Л(1 +2S = R(l + г)"" ;.-; S = R .2nБудущая стоимость аннуитета:пS = ^Sк=\kо.величинуn:i=R + R(l + i) + ... + R(l + i) ~n 1+ R(l + i) ' =(1+0"-1называют коэффициентом наращения аннуитета, его обозначение — FVIFA (Future Value of Interest Factor ofAnnuity). Значения коэффициента наращения табулированы (см. приложение IV).Итак, наращенная сумма аннуитета постнумерандо:S =RFVIFA .inЕсли платежи производятся в начале периодов, то речь идет об аннуитете пренумерандо.Формула расчета наращенной суммы аннуитета пренумерандоимеет вид:2S=^Sk=i=Rn=Л(1 + 0 + R(l + i) +...
+ R(l + i) =k+_1i• (1 + г) = RFVIFAj„ • (1 + 0-Таким образом:S' = 5(1 + i).Если платежи вносятся в середине периода, то наращенная суммааннуитета:S"=S(lU2+ i)•Современная стоимость аннуитета постнумерандо:(A=J^A =Rkчk=ls111 + г (1+01.2Л(1+0",f-JL-^.lz£J2)l.+Величина - — ^ ^ — называется коэффициентом приведения аннуитета, его обозначение — PVIFA,(Present Value of Interest Factor ofAnnuity). Коэффициенты приведения аннуитета табулированы (см.rronn.V).Итак, формула расчета современной стоимости аннуитета постнумерандо:A=RPVIFA .inАналогично современная стоимость аннуитета пренумерандо:A' =^A =R-\k11+1...
+Г +г11= R-PVIF\ (ln(1 + 0(1 + 0"" ;+ i) = A(l + i) .Между наращенной и современной стоимостью аннуитета постнумерандо существует следующая зависимость:nA(l + i)=S.Это означает, что если мы внесем в банк разовый платеж величиной А, то через п лет мы будем иметь наращенную сумму S, т. е. аннуитет можно заменить разовым платежом.Если платежи вносятся в середине периода, то современная стоимость:mA'=A(l+i) .Пример 11.1.
Определить современную стоимость и наращеннуюсумму аннуитета постнумерандо. Срок ренты — пять лет, разовый платеж 4000 руб. вносится ежегодно. На поступившие взносы начисляются проценты по сложной ставке 8% годовых.Р е ш е н и е . Современная стоимость аннуитета:А = 4000 х РША ;%%5 = 4000 х 3,99271 = 15 970,84 руб.Будущая (наращенная) стоимость ренты:S = 4000 х FVIFA ;S%5 = 4000 х 5,866601 = 23 466,40 руб.Зная будущую стоимость аннуитета, ставку i, можно найти сроканнуитета. Так, например, преобразовав выражениеполучим:B| i + l = (l+i) .Прологарифмируем это равенство:0 = 1п|л1п(1 +д1+1Отсюда найдем срок аннуитета:п=#11п(1+0Пример 11.2.
Фирма предполагает создать специальный фонд вразмере 200 тыс. руб., для чего будет вносить в банк 50 тыс. руб. под15% годовых. Определить срок, необходимый для создания фонда.Р е ш е н и е . Найдем срок аннуитета:L|2°°--0,15 l'50= 3,363 года.1п(1 + 0,15)+Округляем срок кредита до п = 3. Тогда через три года наращенная сумма составит:S= 50 х= 173,625 тыс.
руб.F¥IFA .t,{5%Наращенная сумма меньше 200 тыс. руб. Если фирме нужно создать фонд не менее 200 тыс. руб. за три года, следует увеличить размер рентного платежа.Из равенства2QQ =Ry.FVIFA oX5/oiнаходим величину рентного платежа: R = 57,595 тыс. руб.11.1. Годовой аннуитетНачисление процентов т раз в году. Рассмотрим годовую ренту постнумерандо. Проценты начисляются т раз в году. Члены ренты сначисленными к концу срока процентами образуют ряд (перепишем егов обратном порядке):mR, R(l + j/m) ,R(l2m+ j/m) ,...,R(lгде j — номинальная ставка процентов.+ ;7/и)( п Ч ) т,Мы имеем дело с возрастающей геометрической прогрессией. Первый член прогрессии равен R, знаменатель — {\ + j I т) • Число членов — п.
Сумма членов этой прогрессии равна наращенной сумме аннуитета:тS^mn(\ + jlm) -\^R(1R+7тГ-1;m(l + j/m) -\}lmj/mm(\ +j/m) -lR-FVIFA=JlmiinnFVIFA .,j/m•mДля ренты пренумерандо наращенная сумма аннуитета:S' = s(l +j/mf.Современная стоимость аннуитета постнумерандо:А =Rm(l+j/m)=\-{\,, ,Rm(l + j/mfmn+ jlm)Jimmg= Ri-(i + ;/m)" "(1 + у 7 т Г=m(l + ; 7 m ) - lj/mPVIFA .—К•(l + ; 7 m ) - l " FVIFA .'jlm <mnmjlm nСовременная стоимость аннуитета пренумерандо:А'= А(1+ jlm)m•Между наращенной и современной стоимостью аннуитета постнумерандо существует следующая зависимость:<•A-(l+mnjlm)=S •р — срочная рента. Рента называется р-срочной, если рентныеплатежи вносятся несколько раз (р раз) в году.
Найдем наращеннуюсумму S р-срочной ренты постнумерандо при начислении процентоводин раз в году. Общее число членов ренты равно пр. Ряд членов ренты с начисленными процентами представляют собой геометрическуюпрогрессию. Первый ее член равен Rip, а знаменатель — (1 + [) .Х1рТогда:sl=l . (pp+l+f pi+l . (plI_R+...+£.(1+oi f p+( n p-1 ) / p=pfo+ ty-l)~ P (l + i f - lНаращенная сумма р-срочной ренты пренумерандо:i,pS' = S(l +i) .При начислении рентных платежей р раз в году с начислением процентов т раз в году при условии рФт:Rm(l 7m) "-l,+ ;Р (l + ; 7 m )m / p=s(1+i ) m l p-lесли р = т; то:рj/mрS' = S(l +Jim,mnj/m);где R — сумма рентных платежей за год.Современная стоимость аннуитета постнумерандо:RRRR 1 - q + i)"*1/pl/p" (i+i)+p+{\+ifP+"'PA' = A(lpp(i+if"" Р ' (i+0-1'Up+i) .Расчет современной величины р-срочной ренты с начислениемпроцентов т раз в году при условии рФт находится по формуле:р (1+у7 т Г - 1если р = т:р]lmр}imjnnСовременная стоимость/7-срочной ренты пренумерандо:А'=Л(1+j/m).Непрерывное начисление процентов.
Рентные платежи вносятся один раз в год, в конце года. Перепишем в обратном порядке рядплатежей с начисленными непрерывными процентами. Получим:aanAy3R,Re ,Ri ,...M .Просуммировав члены этой прогрессии, мы найдем наращеннуюсумму:для ренты постнумерандо:для ренты пренумерандо:S' = Se°;для /?-срочной ренты:5S^-.-V- -;рe° -lS' =lp0,pSe ;современную стоимостьренты постнумерандо:, RRR1-е anA = - + -^+...+ — = Rе- еГее°-I 'поренты пренумерандо:'аА'=Ае ;р-срочной ренты:A=l .
h £ l .ре° -\/рА' = Ае° . ,1рВечная рента (бессрочный аннуитет). Рассмотрим случай, когда рента не ограничена во времени и имеет неограниченное число членов, т. е. она является вечной рентой. Примером вечной ренты являет-ся выпуск облигационных займов без ограничения срока погашения.В западной практике к бессрочным относятся аннуитеты, рассчитанныена 50 лет и более.Пусть А — это долг, который нужно погасить за бесконечное число лет при существующей процентной ставке /. Тогда,,._ 1-(1+0""RТаким образом, величина годового платежа:R =Ai.Если вы взяли в долг 10 ООО руб.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
