!1164 (845535), страница 6
Текст из файла (страница 6)
под 10% годовых с условием,что его погашать не будете, а будете выплачивать рентные платежи втечение большого периода времени, то ежегодно вам придется платить10 000 x 0,1= 1000 руб.Пример 11.3. Определить текущую (современную) стоимость бессрочного аннуитета с ежегодным поступлением 400 руб., если предлагаемый государственным банком процент по срочным вкладам равен10% годовых.Р е ш е н и е . Текущая стоимость аннуитета составит:А = R I i = 400 / 0,1= 4000 руб.Таким образом, если аннуитет предлагается по цене, не превышающей 4000 руб., он представляет собой выгодную инвестицию.Для общего случая ренты, когда число рентных платежей р > 1,современная стоимость:m.R l - ( l + ;7m)- " R1А» = hm-у=—г'я—><*> И (1 + у I т ) ' - 1Р (l + y7m) '"-lт,рmесли р = т, тоA** = Rl j •Пример 11.4.
Принято решение о выкупе облигаций государственного бессрочного займа, по которому на каждую облигацию выплачивались доходы в размере 20 руб. дважды в год — в конце каждого по-лугодия, а доходность облигации составляла 5% годовых. Определитьсумму, подлежащую выплате на каждую облигацию.Р е ш е н и е . Сумма, подлежащая выплате, равна современнойстоимости бессрочного займа:А~=^ITi= 809,88 руб.2((1 + 0,05) -1)Отложенная рента. Рассмотрим расчет современной величины дляотложенных рент, т. е. таких, срок реализации которых откладываетсяна время, указанное в контракте.Современная стоимость отложенной ренты является дисконтированной величиной современной стоимости немедленной ренты по принятой для нее процентной ставке. Период отсрочки выплаты рентныхплатежей и процентная ставка служат основанием для определения величины дисконтного множителя.Современная величина отложенной ренты определяется по формуле:1/2А, = А х v',где А, — современная величина отложенной ренты;А — современная величина немедленной ренты;,1V' =дисконтный множитель за t лет.(1 + 0'Пример 11.5.
Строительной фирмой заключен контракт на строительство здания. Согласно контракту заказчик через два года послеокончания строительства производит оплату в течение трех лет равными годовыми платежами, производимыми в конце года,- в размере 25тыс. руб. каждый. Процентная ставка установлена в 10% годовых; проценты начисляются в конце года. Определить выигрыш заказчика, полученный в результате отсрочки платежа на два года.Р е ш е н и е . Современная стоимость немедленной ренты:А = R х РШАхщз = 25 х 2,4868520 = 62,171 тыс. руб.Современная стоимость отложенной ренты:..А, = А10 +062,1713,= — ' — — = 51,381 тыс. руб.0 1UйВыигрыш заказчика:62,17130 - 51,38124 = 10,790 тыс. руб.11.2.
Конверсия финансовых рентНа практике может возникнуть ситуация, когда один из партнеров,участвующих в сделке, предлагает изменить условия оплаты: разовыйплатеж заменить на рентные платежи или наоборот. К более сложнымслучаям относятся: объединение рент в одну — консолидация рент; замена ренты с одними условиями на рейту с другими условиями, например немедленной ренты на отложенную и т. д.
Все перечисленные изменения не могут быть произвольными. Если предполагается, что конверсия не должна приводить к изменению финансовых последствий, тоее необходимо основывать на принципе финансовой эквивалентности.Платежи считаются эквивалентными, если, будучи приведены к одному моменту, они будут иметь одинаковую стоимость.Рассмотрим некоторые случаи конверсии.1. Выкуп ренты. Аннуитет с параметрами R, i, п заменяют разовым платежом. Решение проблемы простое. Размер выкупа должен бытьравен современной стоимости ренты:А =R хPVIFA .itn2. Задача, обратная выкупу ренты.
Если есть обязательство уплатить некоторую крупную сумму, то задолженность можно погашать частями — в рассрочку.Величина отдельного платежа равна:R =A IPVIFA ,Unгде А — величина долга.Величина 1 / PVIFAназывается коэффициентом рассрочки.3. Изменение продолжительности ренты. При замене обычнойгодовой ренты на новую с изменением срока ренты необходимо определить размер нового рентного платежа.
Уравнение эквивалентностиимеет вид:inR, • PVIFAt=R - PVIFA7i>.Тогда величина рентного платежа новой ренты составит:^-PVIFA _Uni21-(1RРЖ4,1П 20-+1-(1+/Г 'Пример 11.6. Первоначальный аннуитет имеет параметры R\ == 2 тыс. руб.; { = 9%; n = 5 лет. Он заменяется на ренту с параметрами:R ; i = 9%; л = 8 лет. Найти R .Р е ш е н и е . Размер нового рентного платежа:t22R, =22R PVIFAr9%tS3,8896513=2PVIFA5,53481919%i, ..._~ 1,405 тыс. руб.4. Замена немедленной ренты на отсроченную. Пусть имеется аннуитет с параметрами R, i,n .
Необходимо отсрочить выплаты на t лет.Мы будем иметь новую ренту с параметрами R , i, п (t не входит всрок ренты). Запишем уравнение эквивалентности:x2R PVIFAll=R PVIFAin22in— •Отсюда:R PVIFAlinЕсли щ = «2, то:Пример 11.7. Пусть немедленная рента постнумерандо с ежегодным платежом R\ = 2 тыс. руб., i = 9% откладывается на два года безизменения срока самой ренты. Как изменится размер ежегодного платежа?Р е ш е н и е . Размер ежегодного платежа:2R = 2 x 1,09 = 2,376 тыс. руб.2Если же срок первоначальной ренты п\ = 5 увеличить на один год(«2 = 6), то размер ежегодного платежа составит:**=R, • PVIFAgaLc.3 8896513PVIFA-(1 + 0,09) = 2 1 , 0 9PVIFA4,485918629%62= 2,0604 тыс.
руб.Рассмотрим еще один вариант. Аннуитет с параметрамиR,i,nоткладывают на t лет, член ренты остается без изменения, срок рентыменяется, причем п > и,. Нужно найти срок новой ренты п .Составляем уравнение эквивалентности:{22R • PV1FA: „ - R • PVIFA, „—- .'•" (1 + i ) '2Отсюда:I2аРешая это уравнение относительно п , найдем срок новой ренты:21i n ( i - ( i - ( i + О " " ) - а + 0')ln(l + i)Пример 11.8. Рента с параметрами R = 2 тыс. руб., п\ = 5 лет, i == 9% откладывается на два года без изменения размера ежегодного платежа. Необходимо найти новый срок и сбалансировать результат.Р е ш е н и е . По последней формуле найдем п :2-52ln(l - (1 -1,09 ) • 1,09 )- 0,537711361* =hU09" 0,086177696==6М™тПродолжительность новой ренты (без учета отсрочки) — шестьлет. Современная стоимость такой ренты:А = RPVIFAg,,г2= 2-4,4859186 — ^ - 7,551 тыс.
руб.6-9/.,6(1+.)2l Q 92Современная стоимость заменяемой ренты:A =R'PVIFA= 2• 3,8896513 « 7,779 тыс. руб.Разность в сумме 0,22788 тыс. руб. следует уплатить в начале действия контракта или с соответствующим наращением в любой иноймомент.t9%511.3. Консолидация рентКонсолидация рент — объединение нескольких рент в одну, основанное на принципе финансовой эквивалентности. Современная ве-личина вновь образованной консолидированной ренты А должна бытьравна сумме современных величин объединяемых рент А , к = 1,т.кОбъединяемые ренты могут быть любыми: немедленными и отсроченными, годовыми и р-срочными и т. д.Если объединяются годовые ренты, то легко можно найти размергодового платежа объединенного аннуитета из равенств:f^R.PVIFA^п _ к=\/WA,,„Отсюда размер годового платежа объединенного аннуитета:/WA,,„Пример 11.9.
Объединяются три аннуитета с параметрами:Ri =1000;щ = 10; i*i = 0,06;R = 500;п = 8;22i = 0,05;2R = 2000; n = 12; i = 0,05.333Требуется заменить эти три ренты аннуитетом с параметрами п == 10; i = 0,06. Определить размер годового платежа.Р е ш е н и е . Находим современные стоимости А\, А , А трех2ърент:А = R х РШАяьхю = 1000 х 7,3600871 = 7360,09 руб.;xА = R х PWA225%tА = R х PVIFA33i%t8= 500 х 6,4632128 = 3231,61 руб.;и = 2000 х 8,8632516 = 17726,50 руб.Современная стоимость объединенного аннуитета:А = А, + А + А = 28 318,20 руб.23Теперь найдем размер годового платежа объединенного аннуитета:R = AIPVIFA6%tю = 28 318,1967 / 7,3600871 = 3847,54 руб.Какой вариант выгоднее?Задачи для самостоятельного решенияВариант 11.
Семья хочет накопить 12 ООО долл. на машину, вкладывая в банк1000 долл. ежегодно. Годовая ставка процентов в банке — 7%. Какдолго ей придется копить?2. Заем был взят под 16% годовых, выплачивать осталось ежеквартально по 500 д.е. в течение двух лет. Из-за изменения ситуации в странепроцентная ставка снизилась до 6% годовых.
В банке согласились снеобходимостью пересчета ежеквартальных выплат. Каков должен бытьразмер выплаты?3. Годовая ставка простых процентов равна 12,5%. Через скольколет начальная сумма удвоится?4. Наращение сложных процентов с переменной ставкой. Пустьсложные проценты за k-й год равны i . Найдите наращенную сумму через п лет.5. Покупатель предложил два варианта расчетов при покупке дачи:1) 5000 долл. немедленно, затем 1000 долл.
в течение пяти лет;2) 8000 долл. немедленно и по 300 долл. в течение пяти лет.Какой вариант выгоднее при годовой ставке 10%?Вариант 2k1. Обоснуйте решение, что выгоднее — купить оборудование стоимостью 20 000 долл. или арендовать его на восемь лет с ежегоднымарендным платежом 3000 долл., если ставка процентов — 6%, а норматив доходности — 15%.2. Семья хочет через шесть лет купить дачу за 12 000 долл.
Какуюсумму (равномерно) ей нужно каждый год из этих шести лет добавлятьна счет в банке, если годовая ставка — 8%?3. Покупатель предложил два варианта расчета при покупке квартиры:1) 5000 долл. немедленно и затем 1000 долл. в течение пяти лет;2) 8000 долл. немедленно и затем по 300 долл. в течение пяти лет.Какой вариант выгоднее при годовой ставке 5%?4. Наращение простых процентов за к-й год равны fr. Найдите наращенную сумму через л лет.5. Годовая ставка сложных процентов равна 8%. Через скольколет начальная сумма удвоится?4. Фин. математикаВариант31. Каким должен быть платеж конечной годовой ренты длительностью восемь лет, чтобы ее современная величина была 16 ООО руб. приставке 10% годовых.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
