!1164 (845535), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Выданы две ссуды: Р\ = 1 тыс. руб., Pj = 2 тыс. руб.Первая выдана под 10% годовых, вторая — под 15%, сроки ссуд одинаковы и равны двум годам.Р е ш е н и е . Найдем среднюю процентную ставку, если ставкипростые:- 1-0,1 + 2 - 0 , 1 5 ^=о д з з з ( 1 3 3 3 % )Средняя процентная ставка для сложных ставок:1.11 +2-1 151 м +^ '_1«0,1336 (13,36%),26. Д О Х О Д Н О С Т Ь С С У Д Н Ы ХИ УЧЕТНЫХ ОПЕРАЦИЙ С УДЕРЖАНИЕМКОМИССИОННЫХЗа открытие кредита, учет векселей и другие операции кредитор часто взимает комиссионные, которые повышают доходность операции, таккак сумма фактически выданной ссуды сокращается.Пусть ссуда в размере Р выдана на срок п.
При ее выдаче удерживаются комиссионные. Величина комиссионных — Pg, где g — долякомиссионных в относительных единицах.Пусть для начала сделка предусматривает начисление простыхпроцентов по ставке i. При определении доходности этой операции ввиде годовой ставки сложных процентов / ф исходим из того, что наращение величины Р - Pg по этой ставке должно дать тот же результат,что и наращение Р по ставке i:эп(Р-Р )(1+ 1 ) =Р(18+ т),эфотсюда1 + inw"•Пример 6.1.
При выдаче ссуды на 180 дней под 8% годовых (проценты простые) кредитором удержаны комиссионные в размере 0,5%суммы кредита. Какова эффективность ссудной операции в виде годовой ставки сложных процентов? (К = 365).Р е ш е н и е . Доходность ставки:180Кф ~i o, M+0 8-f^365,- 1 - 0,0927 (9,27%)."TooПредположим, что необходимо охарактеризовать доходность в видеставки простых процентов. Имеем:(Р-/>£)(1 + г п) = Р(1 + ш);эф,1.+Ч "1 + in=г _ у ;in + gэф—•n(l-g)'Если рассмотреть предыдущий пример, то эффективная ставка простых процентов составит:1 OQ^ £ • 0 , 0 8 + 0,005Ч .п == 0,0906 (9,06%).Фf(1-0,005)Если ссуда выдается под сложные проценты и доходность мы определяем в виде ставки сложных процентов, то исходное уравнение дляопределения / ф имеет вид:эс(P-PgXl+i^y =Р(1+0"; ч , = - ] = - i .сШ-8Если доход извлекается из- операции учета по простой учетнойставке, а доходность мы определяем в виде ставки сложных процентов, то балансовое уравнение имеет вид:n(P-s )(i+i^ ) =bs<igл-nd- )a+«зф.с) =5;cg1•1эф.сг1;1•r\]l-nd-gПример 6.2.
Вексель учтен по ставке d =10% за 160 дней до егооплаты. При выполнении операции учета с владельца векселя удержаны комиссионные в размере 0,5%. Временная база учета 360 дней. Какова эффективность ссудной операции в виде годовой ставки сложныхпроцентов?Р е ш е н и е . Эффективность ссудной операции в виде годовойставки сложных процентов равна:•1• эф.с1160/60/Г7л^1-Ц.0Д-0,0057. НАЛОГ НА П О Л У Ч Е Н Н Ы Е П Р О Ц Е Н Т ЫВ ряде стран проценты облагаются налогом, что, естественно,уменьшает реальную наращенную сумму.Обозначим наращенную сумму до выплаты налогов через S, а сучетом выплаты — как S'. Пусть ставка налога на проценты равна g.В случае простых процентов налог равен Ig = Р i п g. Найдем наращенную сумму S' после выплаты налогов:S' = S-(S-P)g= S(l-g)+ Pg = P(\+ in){\ -g) + Pg = P + Pin{\ -g) == P(\ +in(\-g)).Таким образом, учет налога сводится к сокращению процентнойставки: вместо ставки i фактически применяется ставка г"Ч(1 - g ) .В долгосрочных операциях при начислении налога на сложныепроценты возможны следующие варианты:1) налог начисляется за весь срок сразу, т.
е. на всю сумму процентов;2) сумма налога определяется за каждый истекший год. Тогда ежегодная сумма налога будет величиной переменной, так как сумма процентов увеличивается во времени.nВ первом случае сумма налога равна P((l + i) - l ) g , а наращенная сумма после выплаты налога:S' = S-(S-P)g=S(\-g)= S(l-g)+ Pg = P((l + iy(l-g)+ g)-Рассмотрим второй случай. Обозначим налог за год t как Gt.
ТогдаG, =)g = (Я(1 + 0'(S, -- (Р(1 + О'"' ) *1= Р(1 + О'" ig • >За первый год налог составит: G\ = Pig;за второй: G = Р(1 + i)ig;заи-й: G =P{\ + i) ~4g.Налог за п лет:2nnC-I^-Th-O-'."''-^ ^- 00Пример 7.1. Пусть ставка налога на проценты равна 2%. Процентная ставка — 8% годовых, срок начисления — три года. Первоначаль-ная сумма ссуды — 1000 руб. Определить наращенную сумму с учетом выплаты налога на проценты.Р е ш е н и е . При начислении простых процентов за весь срокполучим: наращенная сумма без уплаты налогов:S = Р(1 + in) = 1 000(1 + 0,08 3) = 1240 руб.,с учетом их выплаты в конце срока:S' = Р(1 + п (1 - g)i) = 1000(1 + 3 х 0,98 х 0,08) = 1235,2 руб.,сумма налога:1240 - 1235,2 = 4,8 руб.Начислим теперь сложные проценты.
Рассмотрим случай, когдасумма налога определяется за каждый истекший год.Наращенная сумма без уплаты налогов:n3S = P(l + i) = 1000 х 1,08 - 1259,71 руб.lНалог за t-й год равен: Gt = Р(1 + i)'~ ig;тогда за первый год: G = 100° х 1,08 X 0,08 х 0,02 = 1,60 руб.;за второй год: G = 1000 х 1,08 х 0,08 х 0,02 = 1,728 руб.;за третий год: G = 1000 х 1,08 х 0,08 х 0,02 = 1,8662 руб.Сумма налога G за три года равна 5,19 руб.
Наращенная суммапосле выплаты налога составляет 1254,52 руб.{2238. РАСЧЕТ Н А Р А Щ Е Н Н Ы Х С У М МВ УСЛОВИЯХ И Н Ф Л Я Ц И ИИнфляционные процессы, характерные для экономики многихстран, требуют того, чтобы они учитывались в финансовых расчетах.Пусть за рассматриваемый промежуток времени стоимость потребительской корзины возросла с величины S до S\ руб., тогда стоимостьпотребительской корзины изменилась на величинуAS = S -Sr.ASВеличина а =называется уровнем инфляции.
Она показывает,на сколько процентов выросли цены за рассматриваемый период времени.Величина а = -=- называется темпом инфляции, тогда5, = 5 + AS = S+^--S= 5(1+ а ) .Величина 1 + а = 1ц называется индексом инфляции. Индекс ино)ляции показывает, во сколько раз выросли цены за рассматриваемы!период.Пусть а — годовой темп инфляции, и пусть имеется некотораясумма 5. Для того чтобы сохранилась покупательская способность, сум>ма 5 должна составлять:через один год: S\ = 5(1 + а);через два года: S = 5(1 + а ) ;через п лет: 5„ = 5(1 + а)".За рассматриваемый период (и лет) индекс инфляции составит1ип (1 + ос)".
Таким образом, инфляционный рост цен подчиняется закону сложного процента.22=Пример 8.1. Цены за каждый месяц растут на 8%. Найдите годовой уровень инфляции.Р е ш е н и е . По условию месячный темп инфляции а = 0,08,тогда индекс цен за год:121Ип= (1+ а ) " = 1,08 - 2,5182,но/ 1Я= 1+ аьгде а\ — темп инфляции за год.Следовательно, а.\ = 1,5182, и годовой уровень инфляции составляет 151,82%.Если цены в текущем периоде повышаются на а,% относительноуровня, сложившегося в предыдущем периоде, то индекс цен за тримесяца равен 1,08 х 1,06 х 1,05 = 1,20204, уровень инфляции составит20,204%, а темп инфляции за три месяца равен: а - 0,20204.Пусть i — безынфляционная ставка, отражающая реальную доходность операции; i — процентная ставка, которая учитывает инфляцию.
Тогда наращенная сумма 5 на первоначальный капитал Р за годсоставит:S = P(l+ i ) или S = P (1 + /)(1+ a),aотсюда:(1 + i ) = (1 + 0(1+ a),ai = i + a + i — формула Фишера.aГодовую ставку i, чтобы учесть инфляцию, нужно увеличить на величину a + ia, эта величина Называется инфляционной премией.Можно сделать следующие выводы:1) если ставка сложных процентов, в которую вложена инфляция,равна темпу инфляции (i = а), то реальная доходность операции равнанулю;>2) если / < а, то i < 0, т. е. финансовая операция убыточна;3) если i > а, то i > 0, т. е.
финансовая операция приносит реальный доход.аaПример 8.2. Кредит в 10 ООО руб. выдан на два года. Реальнаядоходность должна составлять 11% годовых (проценты сложные). Расчетный уровень инфляции — 16% в год. Определить ставку процентовпри выдаче кредита, а также наращенную сумму.Р е ш е н и е . Найдем годовую ставку процентов, учитывающуюинфляцию:i = i + a + ia = 0,11 + 0,16 + 0,11 х 0,16 = 0,2876 (28,76%).aНаращенная сумма25 = 10 000 (1 + 0,2876) = 16579,14 руб.В случае, если период п отличен от одного года, для простых ссудных процентов мы имеем:l +i nMa= (1 +т)1 .ИпОтсюда:'a =ПДля сложных процентов:(1 + *„)" = (1 +0" 1и,отсюда ставка сложных процентов, учитывающая инфляцию:»а-(1+0Пример 8.3. Кредит 12 ООО руб. выдан на три года.
На этот период прогнозируется рост цен в 2,2 раза. Определить ставку процентовпри выдаче кредита и наращенную сумму долга, если реальная доходность должна составлять 12% годовых по ставке сложных процентов.Р е ш е н и е . Ставка сложных процентов, учитывающая инфляцию:1i - О + 0 Ф~йп- =(1 + 0,12) ^ 2 - 1 = 0,4566 (45,66%).Наращенная сумма долга:3S =12 000 (1 + 0,4566) - 37 085,33 руб.Найдем номинальную ставку сложных процентов, учитывающуюинфляцию:mn(l + j /m)mn=(l +aj/m) -I ,nвыполнив преобразования, получим:j =m(l+aj/m)-'"^-l.Пример 8.4. При уровне инфляции 80% в год капитал вкладываетсяна один год под номинальную ставку 50%, начисление процентов —ежемесячное.
Какова реальная доходность этой операции?Р е ш е н и е. По условию п = 1, т = 12, а = 0,8, / = 1,8,у = 0,5. Намнужно найти безынфляционную номинальную ставку сложных процентов, чтобы оценить реальную доходность операции. Из уравненияmn(l + j /m) =aa+mnj/m) ,Inнаходим у:(j =m1 = 12-1 + 0,5/12Вывод: финансовая операция убыточна.-0,0975 (-9,75%).9. ФИНАНСОВАЯОБЯЗАТЕЛЬСТВЭКВИВАЛЕНТНОСТЬДве суммы денег S\ и S , выплачиваемые в разные моменты времени, считаются эквивалентными, если их современные стоимости, рассчитанные по одной и той же процентной ставке на один момент времени, одинаковы.2Пример 9.1.
Имеются два обязательства. Условия первого — выплатить 400 руб. через четыре месяца; условия второго — выплатить450 руб. через восемь месяцев. Можно ли считать их равноценными?Р е ш е н и е . ' Применим простую ставку, так как платежи краткосрочные. Возьмем ставку сравнения 12%. Тогда современные стоимости этих платежей:/> =4 0 0450=384,62 руб.; Р ==416,67 руб.1+0Д2-^1+ 0,122Сравниваемые обязательства не являются эквивалентными призаданной ставке и не могут заменять друг друга.Результат сравнения зависит от некоторой ставки.
Существует критическая ставка го' > при которой Р\ = Р . Отсюда:25j—1 + '0"11 + '0"2sи; =->п" *°^!ПСП2~ 1Для рассмотренного выше примера / = 42,86%. СоотношениеР < Р справедливо для i < 42,86%; Р > Р при i > 42,86%.0х2х2Задание.Найти критическую ставку, если дисконтирование производитсяпо сложной ставке (самостоятельно).10. КОНСОЛИДАЦИЯ П Л А Т Е Ж Е ЙПусть платежи S\, S ,S со сроками уплаты щ, п ,nm заменяются одним в сумме So сроком щ. Решим задачу: задан срок щ,найти сумму консолидированного платежа.2mи3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
