!1164 (845535), страница 2
Текст из файла (страница 2)
200 руб. положены 1 марта на месячный депозит под12% годовых. Какова наращенная сумма, если операция повторяется три раза?Р е ш е н и е . Если начисляются точные проценты, то3128315 = 200 • а + 0Д2 • — ) • (1 + 0,12 • — ) • (1 + 0,12 • £ - ) £ 205,97 руб.365365365Начисление обыкновенных процентов (германская практика), наращенная сумма:30S = 200 • (1 + 0,12 • - ^ - ) « 206,06 руб.31.2. Простые учетные ставкиПростая учетная ставка — антисипативный способ начисления процентов. Суть его сводится к тому, что проценты начисляются в началерасчетного периода, при этом за базу (100%) принимается сумма погашения долга.Введем обозначения:d % — простая годовая учетная ставка;d—относительная величина этой ставки;D — сумма процентных денег за год;D — сумма процентных денег за период, равный п.Тогда простая учетная ставка:TDd% = -f--l00%;Dd=-f,rrsisгде 5 — наращенная сумма.Сумма процентных денег за один год составит D = dS, а за период п: D = D п = Sdn.
Произведем преобразования:rT5 = Р + D; S = Р + Sdn; S - Sdn = Р; Р = 5(1 - dn).РПолучаем: S =— основная формула для простых антисипативныхl-dnпроцентов. Здесь - — ;коэффициент наращения.1 — dnМожно также записать:>-"4Пример 1.4. Через 180 дней после подписания договора должникуплатит 310 руб. Кредит выдан под 16% годовых.
Какова первоначальная сумма долга при условии, что при начислении процентов используется простая учетная ставка и временная база К = 360 дн.?Р е ш е н и е . Первоначальная сумма долга — это величина Р:180Р = 310-(1-0,16-^)-285,54 руб.36UНа практике расчеты по простым учетным ставкам чаще всего применяются при учете векселей и других краткосрочных долговых обязательств.Пример 1.5.
Владелец векселя учел его в банке по простойучетной ставке 9% за 30 дней до срока погашения, получив при этом4963 руб. Определить номинал векселя.Р е ш е н и е . Номинал векселя — это величина S:49635==5000 руб.1-0,09—365Задачи для самостоятельного решенияЗадача 1.1. Сумма процентов, начисленных в период с 10 январяпо 31 октября, составила 1568 руб.Определить размер первоначального капитала, если банк начисляетпроценты по ставке 11% годовых при условии, что год невисокосный.Задача 1.2.
Годовая ставка при начислении обыкновенных процентов по депозитному 30-дневному сертификату номиналом 100 тыс. руб.равна 10%. Год високосный.Определить сумму точных процентов, выплаченных при погашении сертификата.,Задача 1.3. Переводный вексель выдан на сумму 500 тыс. руб.с уплатой 19 декабря. Векселедержатель учел вексель в банке 25 октября по учетной ставке 8%.Определить сумму, полученную векселедержателем, и размер дисконта в пользу банка.Задача 1.4. Сберегательный сертификат выдан на 186 дней под 16%годовых с погашением 50 тыс. руб.
Год невисокосный.Определить доход держателя сертификата.Задача 1.5. На какой срок должен быть выпущен сберегательныйсертификат номиналом 10 тыс. руб., если сумма погашения при 8% годовых составляет 10,5 тыс. руб.? Год — невисокосный.Задача 1.6. Сберегательный сертификат номиналом 10 тыс. руб.выдан на 120 дней с погашением в сумме 12 тыс. руб.Определить: 1) учетную ставку; 2) процентную ставку.За временную базу принять 360 дней.Задача 1.7. По сберегательному сертификату, выданному на210 дней, начисляется дисконт в размере 12% от суммы погашения.Год — невисокосный.Определить: 1) учетную ставку; 2) процентную ставку.1.3. Сложные процентыОсновное отличие сложных процентов от простых заключаетсяв том, что база для начисления процентов меняется от одного расчетно-го периода к другому.
Сумма начисленных в каждом периоде процентов добавляется к капиталу предыдущего периода, а начисление процентов в последующем периоде производится на эту, уже наращенную величину первоначального капитала. Механизм наращения первоначального капитала по сложным процентам называется капитализацией.Как и в случае простых процентов существуют два способа начисления сложных процентов: антисипативный и декурсивный.В случае декурсивнного способа расчета сложных процентов начисление процентов на первоначальную сумму производится в концепериода наращения.В конце первого периода (года) наращенная сумма равна:Si = Р + Р,.
= Р (1 + ОВ конце второго периода (года) проценты начисляются на уже наращенную сумму:S = Р(1 + 0 +2+ О» =+ 0(1 + 0 = Р0- + О2И так далее, в конце и-ого периода (года), наращенная сумма будет равна:Величина (1 + г)" является коэффициентом наращения сложных процентов (прил. II).Если срок ссуды измеряется дробным числом лет, то наращеннуюсумму можно найти смешанным методом:S = P(1+ 0[л](1 +{n}i),где [л] — целая часть числа л; {л}— дробная часть числа л.
.В контрактах на получение кредитов часто предусматривается капитализация процентов по полугодиям, кварталам, иногда помесячно.В этом случае указывается годовая ставка j (номинальная). Тогда дляначисления процентов m раз в году используется формулаmn5 = Р(1 + jlm).Если срок ссуды измеряется дробным числом лет, а начислениепроцентов производится т раз в году, то наращенная сумма может бытьопределена по смешанному методу:т лР(1 + ; 7 т ) ( 1 + 0"/т{л}),где тп — число полных периодов начисления процентов, {«}— дробная часть одного периода начисления процентов.Пример 1.6.
На сумму 600 руб. ежеквартально по ставке 12% годовых начисляются сложные проценты в течение 14 месяцев. Определить величину наращенной суммы двумя методами.Р е ш е н и е . Общее число периодов начисления процентов составит:mn = 4, {п}= 0,667.Наращенная сумма:4 667S =600(1 + 0,12/4) '=688,75 руб.По смешанному методу начисления4S = 600(1 + 0,12/ 4) • (1 + 0,667 • 0,12/4) = 688,81 руб.Нестабильность экономической ситуации вынуждает банки использовать в кредитных сделках изменяющиеся во времени, но заранее фиксированные для каждого периода ставки сложных процентов.В этом случае наращенная сумма может быть определена по формуле:тn,S = P(l + i ) al2+ i )" ...(l+ i f"2m= /,П(1+г)'' "' >t=iгдеi — процентная ставка в периоде t;tt- l , m ;nt — продолжительность периода.Способ начисления сложных антисипативных процентов аналогичен методу при использовании простых антисипативных процентов.В первом периоде наращенная сумма определяется по формуле1S = P\-d'во втором:<:=р.—— - Рl-dl-dв и-м:S=P(l-d)"2i-d) '{где —коэффициент наращения при вычислении сложных ан(\-d)тисипативных процентов;d — учетная ставка сложных процентов;п — число лет.При наращении сложных процентов по учетной ставке несколькораз в году ( т раз) наращенная сумма определяется по формуле:ns=—Г—,lp(1-//™Ггде / — номинальная учетная ставка;т — число период начисления процентов в течение года;п — число лет.Пример 1.7.
Срочный вклад в размере 800 руб. положен в банкна 2,5 года. По условиям договора начисления процентов производитсяодин раз в году по сложной учетной ставке d = 15% годовых. Определить наращенную сумму.Р е ш е н и е . Наращенная сумма составит:8 0 0S=2 52 5=1201 руб.(1-0Д5) 'Если наращение по учетной ставке производить не один, а два разав год (т = 2), то наращенная сумма будет равна:8 0 0S=-(1-0Д5/2)=1181,36 руб.51.4.
Непрерывные процентыНачисление процентов на первоначальный капитал может производиться столь часто, что этот процесс можно рассматривать как непрерывный.При дискретном начислении процентов m раз в году по номинальной ставке j наращенная сумма$ = P(l+ jlm)•При т-*>°:(т V"= Ре j"5 = lim P(l + j/m) =Plim (l + j/m) jmnmnгде ё" — коэффициент наращения при непрерывной капитализации процентов.Если ставку непрерывных процентов j (силу роста) обозначить через Э, то величину наращенной суммы запишем в следующем виде:спS = Ре.Д _ е„ непрерывные с ™ „ нара е„„» _,, фупкциональной зависимости между собой.
Из равенства коэффициентовнаращения:Щ(l +nni) =e°следует, чтоа = 1п(1 + 0,/ = е ° - 1 .Пример 1.8. На первоначальный капитал в сумме 500 руб. начисляются сложные проценты — 8% годовых в течение 4 лет. Определитьнаращенную сумму, если начисление процентов производится непрерывно.Р е ш е н и е . Найдем сначала силу роста с, а потом наращеннуюсумму S:а = 1п(1 + 0 = In 1,08 = 0,0769611;тS = Ре= 500 • ™ешш= 680,25 руб.В практических финансово-кредитных операциях непрерывныепроценты применяются крайне редко.
Они имеют теоретическое значение, используются в анализе сложных финансовых проблем при обосновании и выборе инвестиционных проектов.2. Д И С К О Н Т И Р О В А Н И Е И ЕГО С У Щ Н О С Т ЬВ финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратнойнаращению процентов: по заданной сумме S, которую следует уплатитьчерез некоторое время п, необходимо определить сумму полученной ссуды Р.
В этом случае говорят, что сумма S дисконтируется. Величину Р,найденную дисконтированием наращенной суммы S, называют совре-менной стоимостью. С помощью дисконтирования в финансовых операциях учитывается фактор времени. Разность S-P можно рассматривать не только как проценты, начисленные на Р, но и как дисконт Dс суммы S: D = S - Р.2.1. Математическое дисконтированиеЗапишем формулу наращения по простой ставке процентов следующим образом:1 + inВеличина ^ +=и— коэффициент дисконтирования по простымпроцентам.Пример 2.1. Владелец векселя номинальной стоимости 400 руб.и сроком обращения один год предъявил его банку-эмитенту для учетаза 90 дней до даты погашения.
Банк учел его по ставке 12% годовых(проценты простые). Определить дисконтированную величину и величину дисконта, временная база К = 360.Р е ш е н и е . Сумма, полученная владельцем векселя в результате его учета:1 +90зб(Г '0— = 388,35 руб.1 2Величина дисконта D = 400 - 388,35 = 11,65 руб.2.2. Банковское дисконтированиеБанковское дисконтирование основано на использовании учетнойставки d, т.е. проценты за пользование ссудой начисляются на сумму,подлежащую уплате в конце срока ссуды.При банковском дисконтировании современная стоимость Р величины S определяется по формуле:P = S{\- dn),отсюда D = Sdn.2. Фин. математикаРассмотрим пример 2.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
