1626435917-d26f9677b92985e7688f24b5e74711ce (844351), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Обозначив плотность частиц через Ж, получим Г!оскольку поверхность А выбрана произвольно, то само подынтегральное выражение должно быть равным нул!о. Таким обрааом, получаем выражение, называемое уравпепнем непрерывности: В соответствии с законом диффузии Фнка (10.1.1) и уравнение непрерывиостп принимает вид оу Это урапишше выражает второй закон Сопка и известно как иестационарное уравнение диффузии. Заметим, что в уравнении (10.6.3) учитывается зависимость коэффициента 27 от координат (через его зависимость от состава). Теперь мы можем проверить формулы (10А.1) н (10А.4) для функций распределения.
Подставляя эти функции в (10.6.3), легко убелиться, что опп удовлетворяют уравненио диффузии. Предположим далее, что внутри сосуда с газом установилось некоторое стационарное распределение частиц гуз(х, у, з). Для того чтобы поддерживать стационарные условия, необходимо непрерывно пополнять газ частицами для компенсапин потерь на стенках за счет диффузии '). Если речь Идет об электронах н попах, то для этого можно непрерывно ионизировать газ рентгеновскими .чучамп или СВь) излучением. Допустим теперь, что в момент г.†--0 источник частиц мгновенно выкл!очеи. Сделав ') Здесь прелползгзетея, что потеря зз счет рекамбпнзппя.
пззпмолейетппя ионов с молекулзмп я захвата злектрапоп пренебрежимо малы. Слу. чзп, гле зто прелполажекпе пе выполняется, рзеематрепы и работе 11!1 См также статью 1!21. Гле приводятся чяслеппые решения урзпнеипя диффузии с квадратичным члеиом потерь, уштыпзюшпм злектроипую рекомбппзпякь Этз статья рзсемзтрипзетея з ш( !2, 4 8. глава ю диФФтзия электРОКОВ и иОБОВ о "'1о од гпуо у + 4 о д.а (10.7.2) й 7. Граничные условия няя сгль (10.7.3) вполне правдоподобное предположение о том, что плотность в каждой точке будет экспоненциально уменьшаться со временем, получим утг(х, у, г) = утгс(х, у, г) е-"', (10.6.4) где т — постоянная времени спада. Тогда уравнение диффузии ПР1П1ИГНаЕт вид у. (мтъ,)=- ~', (10.6.5) и если Я не зависит от координат, то получим стационарное уравнение диффузии 4гэу+Ф = — О, (10.6.6) Задача о решении уравнения (10.6.6) для йга(х, у, г) относится к задачам на отыскание собственных значений, причем решение зависит от геометрии сосуда и соответствующих граничных условий.
В силу того что уравнение диффузии представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка, в его общее решение будут входить две произвольные постоянные интегрирования. Значения постоянных при решении какой-либо задачи определяются из граничных условий и других физических соображений. Условня, которые обычно накладываются при решепг1п задачи о диффузии заряженных частиц сквозь газ, состоят в том, что плотность частиц внутри газа считается конечной во!оду, но равной нулю «вблнзн» стенок сосуда.
Если под этим понимать, что на стенках должна обращаться н нуль плотность потока частиц, направленного внутрь, так что при ударах о степку частицы обратно в газ не отражаются, то фактически по теории диффузии необходимо, чтобы плотность частиц вблизи стеякн изменялась по линейному закону, обращаясь в нуль па некотором конечном расстоянии позади стенки. Докажем это утверждение. Пусть заряженные частицы диффундируют в направлении оси г (одномерный случай) сквозь заполняющий все пространство газ слева от стенки, расположенной в плоскости И вЂ” г'. Предположим, что частицы нейтрализуются прн ударе О проводящую стенку или прилипают к стенке, если оиа изолирующая.
Для выполнения такого физического условия требуется, чтобы У, плотность така частиц в направлении уменьшения г, обра- гцалась в нуль при г=О. Из сказанного в гл. 2, 5 6 н 9, следует, что У имеет внд у о, 1 о о'о од '~~ о 4 6 (10.7.1) Плотность же тока и направлении увеличещля г В правой части этих уравнений первым членом Определяется хаотическая часть патока, которая была вычислена н гл. 2, 9 6. Второй член дает поток, обусловленный градиентом концентрации Ф и г. 10.7.1. Линейная экстраполяция плотности частиц Гто за иределы физнчесиой границы для нахождения эистраноляционной длины 0.
заряженных частиц. Он равен половине плотности потока, соответствующей формуле (2.9.4). Заметим, что полная плотность тока в направлении — л, У=У вЂ” -У„„равна (УЦЗ)Х Х (гбто/дг) и точно соответствует формуле (2.9 4). Потребуем теперь, чтобы величина У.. обращалась в пуль при г=О. Тогда из (!0.7.1) следует Поскольку левая 'часть равенства (10.7.3) положительна, производная Жчо(с(г должна быть отрицательной прн г=О (график зависимости ЛГо(г) должен быть таким, как показано на фиг. !07.!1 Если произвести линейную экстраполяцию за ГЛАВА 1О пределы физической границы по углу наклона прн З=-О, то получим — "-*='= — — ~ —,/ а-) =- — „(Л/с), л, (10.7.4) (10.7.5) где величина с/, обычна назь|ваемая длиной линейной экстраполяции, характеризует степень увеличения размеров сосуда прп решения математической задачи а диффузии. Теория переноса Больцмака дает несколько пну1о формулу для длины экстраполяции, нежели формула (10.7.5), соответствующаяупращенной теории диффузии.
Более точное выражеппе (13] таково: д = 0,711,„, (1 0.7.6) где Х~ — средняя длина свобадяога пробега относительно передачи импульса, определяемая по формуле (1.6.2). Эти выражения применимы лишь в случае плоской границы. При иной геометрии величина д несколько иная (14]. В ионизовапных газах длина экстраполяции обычна пренебрежимо мала по сравнени1а с размерами сосуда и в расчетах не учитывается. В нейтронной же физике величина с/ часто принимает большие зпачення.
й 8. Решение стационарного уравнения диффузии при различной геометрии Ниже мы рассмотрим стационарный случай диффузии частиц адкога вида сквозь газ с однородпымп температурой и давлением, заполняющий сосуды различной формы. Вавсехслучаях принимается„чта плотность частиц пренебрежимо мала по сравнению с плотностью ьшлекул газа, н предполагается, что средняя энергия частиц не зависит от положения (чтобы можно было считать величину Я постоянной).
Длиной экстраполяции пренебрегаем и требуем, чтобы Л/а обращалось в нуль па геометрических границах сосудов. а. Бесконечные параллельные пластины. В качестве первого примера решения стационарного уравнения диффузии рассмотрим случай одномерной полости, стенки которой представляют собой бесконечные плоскопараллелыаые пластины (фиг. 10.8.!). В этом простом случае уравнение диффузии (10.6.6) имеет вид д Ла(Х) 1 /ча(л) 0 (10.8.1) ллл Ят ДиФФузия элекТРОЯОВ и иОпаВ Поскольку произведение Ят положительно, решение уравнения (10.8.1) имеет внд Л/с (х) == А с аз = + В 81п —, (10.8.2) )/ы где Л и  — постоянные интегрирования, которые должны быть определены из граничных условий с учетам требования симметш системы относительно средней плоскости. Если ширина полости равна /., а начало координат поместить в средней Фиг.
1081. Одномерная полость с ллослопараллсльзь|мя стеннамя. плоскости, та граничные условия имеют внд тле(х) =0 прк х= ч- 5/2. Из условий симметрии вытекает, что В=О„В в силу граничных условий т должно равняться одному из бесконечного ряда значений тл (/с=1, 2, 3, .. ), удовлетворяющих уравнению сая — = — = О или — —,= == (2/г — 1) —.
(10.8.3) ' 2рй ' 21'Ю. 2 Введем теперь так называем)чо ха/Азкгерисгическую диффузионную длину длл /с-и моды диффузии ( 1 ь)Я '1 2А — 1 (10.8л4) которая зависит ат формы полости, где происходит процесс диффузии. Тогда решение для /г-й моды можно записать в виде Лгс (лс)л == Ал соз— (10.8.5) В некоторых областях внутри полости функция созх/Лл пр1пшмает отрицательные значения для всех мод диффузии, кроме наппизшей или основной, саатветствуюп(ей /с=1, Таким образом, если рассматривать каждое решение отдельно, то мы должны отбросить по физическим соображениям все моды, кроме основной, ибо плотность частиц никогда не может быть отрицз- диФФузия элвктганов и иОнОВ гллвл !о (10.8.12) Лг(х, д)= 2 Аесоь — 'е х Дл 2=1 (10.8.6) — ' = (2/г — 1)', тл (10.8лс) все три величины ат, 122, ут Используя грапичпые условия решение уравнения (10.8.! 1); 2! -- 1 Х, = А, сов= — "пх, 1'- — 8 соз яу, 2/ — -1 1 ! (10.8.13) (10,8.9) 2й — 1 -вт .
)асов — яге ' !12, (10.8.14) тельной. Но, поскольку уравнение диффузии линейно, полное решение диффузиоияой задачи состоит из бескоиечиого числа мод, многие из которых могут возбуждаться одновременно. Тогда л!абая сумма этих мод представляет собой некоторое возможное решение, если значения постоянных Ал таковы, что плотность частиц всюду имеет только положительные значения. При иаличии источника ионизация, обеспечивающего равномерную иоиизацию во всем объеме, основная мода будет преобладающей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
