1626435917-d26f9677b92985e7688f24b5e74711ce (844351), страница 107
Текст из файла (страница 107)
Поэтому чаще употребля1отся строгие выражения (2.10.3) и (9.2.10), которые да1от хорошие результаты. В этих формулах взаимодействие днффупдирук1нп1х частиц с частицами рассеивающей среды яапо учитывается в сечении диффузии, которое входит в вь1ражепие для н1пе1ралов столкновений ЬЗр ИЛИ Р1Ь 556 г ЛАВА га Наиболее падежные экспериментальные данные о диффузии иояов получены из измерений подвижности, часть которыхрассмотрена в гл.
9, 9 8 и 9. Зная подвижность, можно вычислить коэффициент диффузии, поскольку Я прямо пропорционально ФЗ'. В этом нет ничего удивительного, так как, согласно определению коэффициента подвижности !урав(гение (9.!д)), величина ФТ также характеризует прозрачность среды для движущихся ионов. Оказывается, что в заданном газе коэффициенты диффузии для ионов и молекул одного и того же элемента по порядку величины равны, но из-за поляризациониых эффектов коэффициент диффузии для ионов в 3 — 5 раз меньше.
Коэффициенты диффузии для ионов газов земной атмосферы при давлении 1 л(м рт. ст. — порядка 50 ем'/сек. Как и следовало предполагать, Я изменяется обратно пропорционально плотности газа. Коэффициенты диффузии для электронов приблизительно в 1000 раз больше. Их можно определить по известным дрейфовым скоростям электронов (гл. 11, 9 3) при условии, что в данной области понятие подвижности вообще применимо. й 2. Связь коэффициентов диффузии н подвижности Выведем соотношение между Я и е3 в самом общем виде. Результат„который мы получим, хорошо обоснован теоретически и подтвержден экспериментально. Рассмотрим диффузию сквозь однородный газ облака однократно заряженных положительных ионов.
Пусть далее в положительном направлении оси а приложено тормозящее электрическое поле. Обозначая плотность ионов через Л(„получаем и = — — =- —,3"Е. и( ддг( (10.2.1) Это равенство означает, что сопротивление газа, оказываемое движению ионов с данной скоростью и, не зависит от природы сил, порождающих движение. Тогда, зггая„что парциальное давление ионов р( прямо пропорционально плотности ионов Лг(, получаем 4к' ! дкг( ! д Рг Ы ЕИ( ((е Ер( де ' Вырежем вдоль оси г прямой цилиндр высотой да с плошадью основания, равной единице. Пусть на одном конце цилиндра парциальное давление ионов равно рь а на другом р(+дрь Тогда вдоль оси цилиндра будет действовать силадав- диФФузия эгггктгоиов и иоггов пения дрь Поскольку внутри цилиндра содержится (4(,дзиоггов. на каждый ион действует сила в направлении оси з, вызванная градиентом ионного давления и равная дрг(А(,дг.
Для того что- бы в направлении +а суммарный поток отсутствовал, эта сила должна быть уравновешена равной по величине, но противопо- ложной по знаку электрической силой еЕ. Таким образом, ! ер. — — ' --- еЕ, Агг а с учетом (10.2.2) получим искомое соотг(огггег(ие ел(г Е4 р( (10.2.4) Это соотношение справедливо лишь при условии, что скорость дрейфа прямо пропорциональна напряженности электрического поля и применимо понятие подвижности. Поэтому при больших значениях Е!р равенство (9.2.4) для электронов или ионов пе всегда выполняется.
Если ионы находятся в тепловом равновесии с газом при температуре Т, то, воспользовавшись равенством р(=И,*кТ и формулой (10.2.4), можно записать ((Т ' (10.2.5) Тогда если РЗ" выразить в сл(з!и ° сек, Я вЂ” в см'!сек и Т— в "К, то формула (10.2.5) примет вид — -=--1,16. 10'Т ' (10.2.5) (множитель ЗОО появляется при переводе подвижности в практическую систему единиц, гак как ! Зл.-ст. ед. напряжения= =300 в). Как указывалось в гл. 9, э 2, выражение (9.2.5) совершенно корректно только для потенциала взаимодействия вида г-4.
Для п(>генциалов друго~о вида это выражение справедливо с точностью до неболыпого численного коэффициента. Формула (10.2.5) называется еоотношениеи Эйнштейна. 9 3. Стационарное распределение пространственного заряда ионов в электростатическом поле Интересно было бы знать, каково стационарное распределение пространственного заряда ионов в рассмотренном выше случае, когда электрическое поле препятствует диффузии ионов вдоль положительной оси л.
Персии(аем формулу (!0.2.2) и воспользуемся тем, что напра>кенность электрического поля равна градиенту потенциала )( со знаком минус. В стационарных диввхзия злг»ктнонов и ионов (10.4.5) (10.4.6) /'»! = —,. ' е- »ч'»в», 1 4ига! (10.4.9) (10.4.1) Ф (10.4.3) » См., например, 18 — !О].
ГЛАВА !О дг! =- Л'оое ~к~, (! 0.3.1) нли условиях, когда результирующая скорость вдоль положительной оси 2 равна нулю, имеем АУ! »3'Е е»л" — = — е/з =- — — — г/]I. ч ы П РоиптегРиРовав это Равенство и пРнпЯв д/2=.2У!о и 1'=-0 пРи а=О, получим ЛГ! —— Ж Е-»2олт (10.3.2) в предположении, что ионы находятся в тепловом равновесии с газом. Итак, плотность ионов в каждой точке определяется локальным отнолпением электростатической потенциальной энергии к тепловой кинетической энергии.
Зкспоненциальпый мнокеитель в формуле (10.3.2) называется множителем Боль мана, и, как легко видеть, выражение (10.3.2) представляет собой »2] частный случай формулы (2.2.6). $ 4. Диффузионное расплывание облака частиц в безграничном газе Представим себе, что в начале системы координат (в одномерном случае) сосредоточено большое число частиц по и в момент /=О частицы начали двигаться н диффундировать сквозь газ, однородно заполняющий все пространство. Тогда одномерная плотность частиц на расстоянии к от начала координат в момент / выражается в виде где коэффициент Я характеризует процесс диффузии частиц сквозь газ.
Данная форл!ула, так же как и (10.2.5), называется соотношением Эйнштенна (7]. График зависимости /у от х в любой данный момент времени имеет вид гауссовой кривой ошибок. Кривая с ростом времени уширяется. Из функции распределения (10.4.1) можно вычислить среднее и среднеквадратичное смещение частиц от начала координат: )х)=- — „' )')х]Л'с/х= — '~хЛ с/х=-~'~')" (]ОА.2) — о» о »» »» ]' хо = — ! х2Лг2/х) = )/2Я/. В трехмерном случае плотность в момент / на расстоянии г равна /1/ ио е»мм! (10.4.4) 14ЛЧ2!1 З а среднее н среднеквадратичное смещения равны — / 12~1 т»!» н )/ го )/гбЯ/ В двумерном случае ]/г' =-- )' 4Я/- (10.4.7) Очевидно, что данная задача аналогична задаче о случайных блужданиях.
Об этом уже много говорилось различными авторами ') . Выведенные выше соотношения часто используются для оценки среднего времени жизни частиц до их столкновения со с~виками сосуда. Из выражений для среднего смещения следует, что т= —, $~ (10.4.8) где 2! — характерный размер сосуда. В 3 8 настоян!ей главы вычисляются более точные значения т для различных геометрий. Приводим их ниже. а) Для бесконечной трубки прямоугольного сечения со сторонамн а и 5 б) Для бесконечного цилиндра радиусом го =й. 5)' (Ю.4.10) в) Для сферы радиусом го = —.'1М (10.4.11) Для примера рассчлпаем по формуле (103.10) время жизни иана„ возникшего на оси трубки радиусом 1 сл, наполненной азотом при давлении 1 мл рт, ст.
и комнатной температуре. Подставив значение коэффициента диффузия. равпое50см2/свк, найдем т=3 ° 1Оа сек. Проходимое за это время расстояние равно бт=160 см. ГЛАВА !а диФФузия злгктпонов и ио!юв тут —..— -- ) 17 .) е(о, б!у '; !Р 3) до=-0. или (10.6.1) (10.5.1) Поэтому (10.6.2) (10.6.3) зб и. Мзк-даянель й 6. Расплывание облака ионов при дрейфе в электрическом поле Представляет интерес также определить диффузию облака ионов при дрейфе его сквозь газ под действием электрического поля.
Пусть ь — расстояние, которое ион проходит прн дрейфе за время 7, о — скорость дрейфа, Š— напряженность электрического поля н )7 — разность потенциалов между начальной н конечной точками пути дрейфа. Среднее смещение ионов от центра масс движущегося облака ионов определяется по формуле (10.4.2), а Е, разумеется, связано со временем дрейфа." Е=ой Тогда При 7=0'С по формуле (!0.2.6) величина У= — а3/42,7. Воспользовавшись тем, что о$" = о/Е и Е= ЬД., получим ! л1 о!72 (10.5.2) Таким образом, отношение уширения ионного облака к длине пути дрейфа не зависит от коэффициентов диффузии и подвижности, а зависит только от полной разности потенциалов, пройденной ионами.
Необходимо подчеркнуть, чтовышеучитывались лишь диффузионные эффекты, а таким эффектом, как кулоновское расталкивание,мы пренебрегли. Соотношения данного параграфа, вообще говоря, не применимы к электронам, так как к низ! не применимо понятие подвнжпости. Как правило, скорость дрейфа, средняя энергия и средняя длина свободного пробега электронов оказыва!отса сложными функциями отяошения Е!р.
з 6. Уравнение диффузии Пусть некоторый ансамбль частиц диффупдирует сквозь неограниченную среду, в которой нет пи источников, пи стоков. Из определения плотности потока частиц 3 следует, что полный поток частиц через воображаемую замкнуту!о поверхность произвольной формы в такой среде равен ~ ) ° еуА. По закону Гаусса этот поток можно выразить также в виде интеграла , где интегрирование производится по объему, ограни- Ч ° .1 йо, чепному поверхностью А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
