1626435917-d26f9677b92985e7688f24b5e74711ce (844351), страница 109
Текст из файла (страница 109)
Если в момент 1=0 источиик иозизации выключить, то каждая диффузиониая мода будет спадать со своей постоянной времеви тл. Поэтому общее решение иестациоиарной задачи диффузии имеет вид Из уравнений (10.8.3) следует, что т. е. 21/т2=9, 21/т2=25, т!/21=49 и т. д. Следовательно„если первоиачальиа имеются высшие моды, то оии будут спадать зиачительио быстрее осиовпой моды и, спустя время, сравнимое с ть будет наблюдаться лишь основная мода. В силу этого аиализ экспериментов, очевидна, упрощается. б. Прямоугольиый параллелепипед. Рассмотрим следую!ций случай — полость в виде прямоугольиого параллелепипеда (фиг.
10.8.2). Поместим начало декартовых коордияат в центре полости, размеры которой по осям Л, У и Л равны а, Ь и с. Теперь стационарное уравнение диффузии запишется так: д1Чо 1 д122 1 длго+ Дл 0 (10.8.8) дхт дуг длт ут при грапичиых условиях Ле=0, когда х=-ч а/2, у=в й/2, г= =ч-с/2. Представив !!го(х,у, г) в виде произведеиия трех функций, каждая пз которых является функцией только одной коордииаты, Лго(х, у, г) = Х(х) 1'(у) л (з), мы сможем разделить переменные в уравнении диффузии и получим уравнение Ввиду того что .Ут постояипо и каждый из трех членов является функцией только одной перемениой, можно приравнять каждый из иих соответствующей постояпиой: Х дхт * Г Ьлт ' 7 гцй 1 гРЛ' 1 !Р1' 1 сР7 Уравпеиие (10.8.10) примет ввд 2 п2 + 112+ у2 Рт Поскольку в рассматриваемой задаче направления х, у, г равноправны, а сумма !22+82+22 равна положительной величине, то Ф н г.
!0.8.2. Полость в ниле прямоугольного параллелепипеда. донжиы быть положительиыми. и наличие симметрии, получаем г е 1, / в /т могут принимать любые целые положительные зпагде чепия. Итак, общее решение пестациопарпой задачи имеет ид в 2/ — 1 Ф(х, у, з, 1) — э ~~)~~ ~ 01 соз пхсоз яу)4 !'-1 1-! 2=1 ДИФФУЗИЯ ЭЛЕКТРОНОВ И ИОНОВ ГЛАВА !О (10-8.16) (10.8.20) — '" =3,67, — "' =9, ,т„, ' ' топ — "-' = — 17. т,п Дг(», 1)=, — -згп —, е (1 0.8. 22) где (1 0.8.
24) Ф и г. 1О.В.З. Сферическая полость. сводится к уравнению причем три произвольные постоянные объединены в бггя. В обо- значении моды диффузии теперь следует указывать три индекса, и соответству1ощей тройке индексов н моде диффузии отвечает своя постоянная времени тиа: ол г[(2~ — 1)г+(27 1)г 12 — 1)г~ Длина диффузии определяется теперь равенством г АГА = Уты». Если полость представляет собой куб, т.
е. О=Ь=-с, то В данном случае более высокие моды существуют больше вре- мени (в сравнении с основной модой), чем в одномерной задаче, н поэтому нх роль возрастает. в. Сферическая полость. Рассмотрим сферическую полость радиуса го (фиг. !0.8.3). Уравненне диффузии в случае сферической симметрии имеет вид д~Жа 2 д1чо 1 д ! ' д1чо1 ! дно Мо о ! !~!пб о) ~ ! о г г дг пожив д8 1 дО ~ гог!пов дпя пот (10.8.17) а поскольку пет выделенного направления, оно сводится к уравнению отто ! 2 дАГо ! '~о 0 (10.8.18) ггго Г дг глт Чтобы лег ье было Решить УРавнение, положим Лго=-и/Г.
Тогда получим уравнение (10.8. Рй) решением которого будет У а=--Асоз-г +-Вз!и- 1 ыт )ГВ~ пбо величина 91» положительна. Таким образом, решение для йго имеет внд 7тго =- — соз--- — + — - В!п (10.8. 21) г 1гЫт г !гйт где, очевидно„Л должно быть рагным нулю, для того чтобы !оо оставалось конечным в начале координат.
Итак, общее решение нестацнонарного уравнения имеет вид — — '--:=- гоп (й —...=. О, 1, 2, 3, ...). (10.8.23) Длина диффузии Д„определяется Выражением Ло =-.Ыто=- ( — ') . г. Цилиндрическая полость. В качестве последнего примера РассмотРим полость в фоРме пРЯмого ццлнндРа РадиУсом Го и высотой Н (фиг. !О 8 4) . Поскольку полость симметрична относительно оси цилиндра, т.
е. Зависимости от угла 8 нет, уравнение диффузии 570 глава и 571 диесуз!!я электронов и ионов Ив(г, ) = — гр(г) х( ) (10.8,27) (10.8.34) и получим ага 1,0 1 'сРй 1 «И ) п2 (1 0.8.29) (10.8.30) и или 1 ггги рг и «!л! (10.8.31) (1О 8.33) (для осношюй у!лопай моды). Произведем разделение перемен- ных, подставив г «гггг ! «гд«! 1 «!ли Первый член зависит только от г, второй — только лько от 3, и так Ф и г. !0.8.4. !1и«!«н«лрическая волость. как, т постоянно, то каждый из этих членов должен быть по- Я стояпным. Положим аг) рн г н ~т ' Необходимо определить знаки ал и р'.
При решении уравнения для г (10.8.29) удобно провзвести замену переменных г=гг/а. Получим уравнение с новой переменной 2" ~~ (10.8.32) Основное уравнение Бесселя п-го порядка записывается так: «г «/ лл х! — 1- х —.— + (х' — ал) и = О, «гх! «!л где член (х' — и') — положительная величина, а модифицированное уравнешге Бесселя и-го порядка выглядит так: «!2в Легко видеть, что если ал положите.лыю, то уравнение (10.8.32) является уравнением Бесселя нулевого порядка от действительного переменного (или немодифицированным) п модифицированным (нли от мнимого аргумента), если сел отрицательно.
Фиг. 10.3.0. Функции Бесселя нулевого порядка. В первом случае об!цее решение имеет внд ' «Ауе (и) + В)гв (И) где гв и Уе — функции Бесселя первого н второго рода нулевого порядка Щ. Решение во втором случае имеет вид 1с = АУа (и) + В'Кв (и) (10.8.36) где Хв н Кв — функции Бесселя первого и второгорода от мнимого аргумента нулевого порядка. Из графиков фнг. 10.8.5 видно, что единственно удовлетворительным решеяпем является гв и что единственно возможное решение для координаты и в данной задаче о диффузии выражается следующим образом: г!~«(г) = А.у„(а) ==- Аув (цг), откуда следует, что с«н должно быть положительным.
ДИФФУЗИЯ ЭЛЕКТРОНОВ И ИОНОВ гллвл м где (10.8.42) Ус (г) = А,У '( — '" ) . (10.8. 38) (10.8.39) Используя граничное условие А>«=0 при к=ге„получим >с(ге) = =АУр(аге), Первый пуль функции У, имеет место при аг=2,405, поэтому для основной моды а>=2,405!гс и Ус(г) определяется из уравнения Вернемся теперь к уравнеии>о для г-компоненты: »лл — + й»2 = О. Очевидно, что если р' положительно, то его решение будет содержать сов бг и з(пба, а если Д' отрицательно, то решение Ф и г.
10.6.6. Гипербели 1еские синус и косинус. содержит с)> бг и з)> нг. Из графиков фиг.10.8.бнидно,что гиперболические функции непригодны в качестве решения ввиду того, что они дают большую плотность на поверхности, чем в центре полости.
Решение же, содержащее сбп 6г, необходимо отбросить вследствие того, что оно является нечетной функцией г. Остается единственная возможность — это решение с соз йг, причем ре должно быть положительным. Таким образом, решение уравнения для г-компоненты имеет нпд г. (г) = С соз бг. (10.8.40) Из граничных условий Лс=-:0 прц г=-НОУУ/2 следует, что для основной моды р>=п/УУ. Итак, решение нестационарного диффузионного уравненил для наинизшей моды можно записать в следу>ощем виде: > 2,406г1 не >г Ону, ~> — ' — ') соз — ' в-нп, (10.8.41) уу Общее решение, содержа>цее также радиальную компоненту основной и высших мод, имеет вид А>(г, г, У) =" » ~~у 0>,У.(а,г) соз -----.---.
чге '>д (1О 8.43) Соотеетстве*п. длина дн.,' "..Ип опр>деля "гся вь1ражением (10.8.44) где а;ге — >ей коРень фУнкции Ус. $ 9. Диффузия и подвижность заряженных частиц в магнитном поле В лабораторных и естественных условиях можно указать множество важных примеров диффузии заряженных частиц сквозь газ, находшцийся в магнитном поле. Это явление можно наблюдать в атмосферах звезд, в радиационных поясах ВанАллена, ионосфере, прн исследованиях высокотемпературной плазмы и во многих установках, предназначенных для изучения основных процессов в ионизонаниых газах. Наложение магнитного поля вызывает искривление траекторий заряженных частиц и ус.пожняет их движение.
На дни>кение частиц вдоль магнитной силовой липин магнитное поле воздействия не оказывает. Движение же частиц перпендикулярно магнитному полю значительно затруднено. Таким образом, магнитное поле вызывае~ анизотрошпо иопизованного газа, так что ряд свойств газа становится зависимым от направления. Например„как мы пока>кем ниже, скорость диффузии поперек силовых линий уменьшается по сравнению со скоростью диффузии вдоль поля, как если бы «поперечное давление» газа стало больше «продольного давления». Таким образом, коэффициент диффузии является тепзором, а не скалярам, как принималось это до сих пор. Разумеется, в пределе при напри>кеипости маппетного поля, стремящейся к нул>о, тензор вырождается в скаляр (это будет показано ниже).
В силу того что коэффициент диффузии прямо пропорционален подвижности, величина «21" также ЯвлЯетсЯ тепзоРол>. Ниже приводится ряд выражений для компонент коэффициентов диффузии и подвиж>1ости в мап1итном поле, вычисленных методом средней длины свободного пробега. Несмотря на ГЛЛВЛ ~О то, что этн выражения пе дают хороших числовых значений, качественно они правильно описывают влияние магнитного поля.
Метод расчета позапмствован из книги с!епмена и Каулннга (161. Строгий расчет, основанный на уравнении Вольцмана, также имеется в книге Чепмена и Каулипга (и в книге Аллиса 117)). Исследуем вначале свободное движение одной заряженной частицы в скрещенных электрическом и магнитном полях. а. Свободное движение заряженной частицы в скрещенных влектрнческом и магнитном полях. Рассмотрим движение частицы с зарядом >/ и массой лт между двумя столкновениями ДИФФУЗИЯ ЭЛЕКТРОНОВ И ИОНОВ 575 Для того чтобы выразить координату частицы г к ее скорость у в момент / через начальные значения (г' и У' при !=О), проинтегрируем эти уравнения. Компоненты скорости будут таковы: О„=- З',, а =- (з' — - ) соз «зь/+ о з>«1 о>ь/ ( >лз> ' (10.9.3) / Р «/ь' 1 О =-О'соз«з У вЂ” !Π— ---- — ~ В!>>ы /; ь 1з,л" / ь координаты частицы Х = Х'+ О'/, Ф и г.
1Оть!. С ..1. Система коорлинат, яспользуемая лля рассмотрения процессов переноса заряженных часпщ я магнитном поле. можно переписать уравнения движения в виде 9 = о>ьз*' з =- — и — о>ьр. лг (10.9.2) в электрическом и магнитном полях, показанных на фиг. 10.9.1. Оба поля постоянны во времени и однородны в пространстве. Электрическое поле напряженностью Е направлено вдоль осн Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
