1626435917-d26f9677b92985e7688f24b5e74711ce (844351), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Магнитное поле направлено вдоль осн Х, магнитная индукция обозначена через В. Запив!ем уравнения движения частицы: тих = — О, пг) — «/Ви, птл =. «/Š— дВу«. Обозначив через «оь «цпклотроппую частоту» л8 «>ь =,„ 9=У' ) —.„И '- — — „,~з!и ь/+ '(1 -созыь/)+; —;-! (!0.9.4) «ь >лз>„/ " ь Очевидно, что на движение частиц Вдоль оси Х поля не влияют. В частном случае, когда Е=-0, движение в плоскости У вЂ” Х происходит по круговой орбите с угловой частотой ым Эта Величина называется циклотропной частотой вследствие того, что в циклотроне ионы вращаются именно с данной угловой частотой.
Истинная траектория движения В этом частном случае представляет собой спираль, нанятую па магнитные силовые линии. Если вдоль оси Х накладывается электрическое поле, то наряду с круговым дни>пением В плоскости У вЂ” Х и равномерным прямолилейпым движением вдоль Х появляется еще стационарный дрейф вдоль оси К Вектор скорости «поперечного дрейфа» вдоль оси у равен ЕХ В/Вз. /)Вижение в плоскости У вЂ” л происходит по трахоидам.
Ввиду того что на движении вдоль оси Х магнитное поле не сказывается, в дальнейшем мы не будем рассматривать поток частиц вдоль оси Х. б. Расчет коэффициента диффузии н подвижности в магнитном поле. Рассмотрим случай скрещенных полей (фиг. 10.9.1) и исследуем процесс переноса ионов сквозь газ с однородной температурой и давлением под действием приложенного электрического поля н при наличии градиента ионной плотности. Предполагается, что плотность ионов Л>г изменяется только вдоль осн Х, а среднее время свободного пробега т') не зависит от скорости ионов. ') Буквой т обозначается и срелнее зрсмя сзоболпого пробега, и постоянная спала з нестационарном ураянепнн лнффузяи ($ З настоящей глазы).
Ве слелует путать зтп лпе пщнтнпьн ГЛАВА 1О дионькзия элсктгонов и ионов Ь!Г'= Свой'ГЮ, /ах/ =- С/ н'. /'и/ь = ) ) (ю', 0) г!ч' (дд ! дд 1 г Б!По/ Г ь в -/ь,)/ ('т /нв/; дл / ~ вы о (10.9. 7) ///Ф/ д. 1+ о/ьт 3/ И. Мвн даннала Число столкновенпй, происходящих в единицу времени ш1утри элемента объема о(г с центром в точке с радиусом-вектором г, равно /и/ч(г!т. Пусть 1(о, г) Г(чг!Г(т — число столкновении, в результате которых ион со скоростью и попадает в элемент пространства скорости о!й. При не очень большом отношении Евд функция вв по виду будет близка к фупкппн максвелловского рзспределенпя. Теперь рассмотрим такие ноны, которые за время от Е до и+о(!' пересекают площадку Гййь цаходящу1Ося в начале координат в плоскости Х вЂ” -)', н имсьот скорости и в интервале гак.
В момент времени Е эгп ионы находятся в цилнпдре с основанием в(Ь1 н заполняют объем в,о!ВОЮь 1'знее в некоторый момент времени Š— -! при отсутствии столкновений ионы занимали элемент объема ьаг' прн г' и имели скорость ч в пределах гав~. Отсюда Из этого соотношения, выведенного Чепмеиом и Каулипгом !161, следует, что ионы, обладающие скоростью и в интервале ду в начале интервала о!в, займут такой же элемент объема, как и в конце этого интервала. Поскольку г' п и' обозначают начальное положение и начальну1о скорость нона, который спустя время ! находится в начале координат, имея скорость ч, то векторы г' и ч' удовлетворяют успошгям (10.9.3) и (10.9.4) при х=-у= =я=О. Рассмотрим теперь ионы, находящиеся в момент !' — 1 в интервале в/г' вблизи г' и имеющие скорость т/ в интервале / / "тв, как принадлежащие объему А, В результате столкновений ионы попадают в этот объем и выходят пз пего. Число ионов, попадающее в А за время в!1=1' — Е равно ) (з', з') ь!к'Г(г' — = — )(и', з') ь(вп, ю, Гй' —, Из этого числа ионов некоторая часть их с "" остается в А н достигает Г/Яв в момент !'.
Тогда полное число попов, пересекающих о(Ба за время ь!а' со скоростями в интервале о(о, составит г(т/ Г!Е ь(г/ ~ )(о/ з/)е в/ дь Г О а число ионов, прошедших элемент площади оЮв с любыми скоростямп, равно ~ ~У)(о ' з )оапк ~ т 'ьг ~лв/вавЮ,ГЙ'. (10.9.5) Перейдем теперь от интегрированця по ч к интегрированию пои', охватывая все значешси к', поскольку между любыми величинами у и и' во все предшествующие моменты времени ! имеется взаимноодиозначное соответствие.
Тогда интеграл (10.9.5) принимает впд Ю, Л' ) ~ ~ ! (о', г') з, Г(к'~ — Г!! = д!р, Г(5, аг'. о где р,— средняя скорость потщса по осн з. Поэтому можно за- писать ,— «в Лг,~,= 1 У("', з')о,в(71 —, о!! (10-96) о Аналогично тому, как сделано в гл. 2, 9 9, разложим фупкцньо распределения и ряд Тэйлора при з=О: )(", ") =)(и', 0)+" "',;" Далее, заменим г' и в, через тв' по формулам (10.9.3) и (10.9.4) при х=у=г=О. Пренебрегая членами второго порядка относительно Е и учитывая, что интегралы нечетных функций о„и и, равны нулю„ получаем Фьпв — — ~ ~ — Е ~ )(о'.
О) ь(в' — — ~ )(ю / О) ~з' соз гоьд+ о +.в' (1 — созоо г)1 Г(ч' ~ — е-"'ьвь'. Ввиду того что функция распределения ) (о' 0) близка к максвелловской, р, = ~ /(о', О)впи„' в(ъ"= ~1(п', 0)льа~ Г(ч', где )уь — плотность ионов и рь — парциальное давление ионов з начале координат. Окончательно имеем диоеузия злвктРОнОВ и иОИОВ 61ь 2 2 «2+ «12 чг + згг — — юь .2(иг г ч +ыь 0 О (10.9.10) и '®г О О М1 ч з1ь — — О ч +ь'ь ч +е'ь 2 2 .2 .3' «З, Π— ерг и «32 О о о .3"; 2 2 + мь , (10.9.11) 2 1 2 1 «1г'ч' (~г)лзф Ж ~0 д (10.9.12) или Оь —— (10.9.9) ~луч'; дл 1 + ы~~т ':78 глава ю Если магнитное поле равно нулю, то и частота чяь равна нулю и скорость потока (10.9.8) Очевидно, что наличие магнитного полн приводит к умепьшеншо скорости диффузионного потока вдоль оси Я в 1Я1 + ш,,тг) раз.
Во столько же раз уменыпается скорость потока за счет электрического поля. Следовательно, при наличии магнитного поля электропроводность по оси Х уменьшается. й(ожво показать также, что машипное поле, направленное по оси Х, создает поток по оси У. Если повторить все рассуждения для потока ионов через элемент поверхности с(32, выбранный в начале координат в плоскости Х вЂ” Х, то можно вычислить компоненту скорости потока вм по оси у: Воспользовавшись соотношениями (10.9.3) и (10.94), получим учп 1 дль1 — оч Оз =-1 — — — - — '/ 1 (1 — соз ш 1) — сЫ (ьп тМг д»/2 мьт о Поток вдоль оси У, создаваемый магнитным полем, направлен.
ным вдоль оси Х, называется тополь Холла. Рассчитав влияние магнитного поля на диффузионный н направленный поток, можно записать тензоры, изображающие коэффициенты диффузии и подвижности. Предположим„что магнитное поле направлено, как обычно, по оси Х, а поле Е направлено произвольным образом. Будем выражать паши результаты не через среднее время свободного пробега т, а через частоту столкновений т. В соответствии с формулой (2.9.б) ') скалярный коэффициент диффузии при В=о равенн=й)г/3= (йг/3) Х Х(1/ч), а формула (10.9.8) дает выражение для соответствующей подвижности: ~3 =с/т/т= (ь)/и) (!/т). ') Выражение, соответствующее формуле (10«вз), отличается лпшь небольшплг численным множителем, яоторый появляется яз-за различия з способах усреляеяпя Очевидно, что тепзоры имеют следугощий вид (17(: где индексами Т, Н и <! Обозначены «поперечные»,«холловскне» и «продольные» компоненты. Соответствующие компоненты ско- рости потока выражаготся через компоненты этих тензоров сле- дункцим образом: (10.9.13) В последних двух уравнениях производится суммирование по немому индексу /, например 1 У дгч' дм дФ' в.
Зависимость коэффициента диффузии от напряженности магнитного поля и массы частиц. В большинстве интересующих нас случаев циклотрониая частота шь значительно выше частоты столкновений т и тогда, согласно формуле (10.9,10), поперечная составляющая коэффициента диффузии изменяется пропорционально 1/шь или 1/В'. Это Обстоятельство было бы весьма благоприятным для термоядерных исследовашш, ибо Оно означало бы, что диффузионные потери на стенки плазменных приборов можно существенно снизить с помощью сильных аксиальных магнитных полей. (На самом деле диффузия в сильном магнитном поле представляет собой значительно более сложное явление, чем следует из нашего анализа, н было много споров о том, пропоршюнален лн коэффициент диффузии в сильных полях 1/Вг илп 1/В.) глава !О В другом интересном случае, когда ыа>>ч, коэффициент Ы пропорционален ра/м) -йат' при постоянных д и В.
Таким образом, при ли~бом энергетическом распределении поперечная компонента коэффициента диффузии для ионов значительно больше, чем для электронов, Следовательно, ноны диффунднруют поперек магнитных силовых линий значительно быстрее электронов, но медленнее в направлении поля. Факт быстрой диффузии ионов поперек силовых линий магнитного поля понять легко, если припять во внимание, 1то диффузия происходит в результате беспорядочных смещений центров цнклотронных кружков частиц при каждом столкновении. Смещение же по порядку величины равно циклотрониому радиусу га=-то/дВ, откуда и следует, что при равных энергиях и частотах столкновений тяжелые частицы диффундируют поперек поля быстрее легких. Данный вопрос и другие вопросы, относящиеся к диффузии плазмы в магнитных "полях, рассматриваются в книгах по динамике плазмы (18 — 22). лиФФузия злектгонов и ионов носит название амбилоляриой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
