1626435914-6d29faf22cc9ba3862ba4ac645c31438 (844347), страница 134
Текст из файла (страница 134)
!1априм.р, для молекулы воды Н20, принадлежащей к точечной группе С2„ и нм.":ощеи Форму равнобедренного "рсугольника (см. гл.!8, с. 506) с расстоянием гон — 0,958!А = 0,9584 10 ом между ялрами атомов водорода (;,е. протонами) ,-л и с 2лзом слюн =- 104 2Р межлу связиын (см. рис. 19 1). 1, =-. дан!а + МнУ, 4 Мору — 1,024 10 г см, 2 2 -аО, 2 1у — — . гпх, Ч-Мнтз = 1,921 10' г.см, .ло 2 1, =.
Мн(з, ,4 у, ) -! М„(хг Ч у: 1- Моу, .= 2,947 10 г см2. (19.2) в в наивнейшем мы аулам веегла 2оворил~ 1 чочентан инерпии молекулы, полразумеван главные чочеюл инерпии Основной характеристикой вращающейся молекулы, приближенно рассматриваемой как твердое тело (см. в 17.4, с. 476), являются ее моменты инерции относительно связанной с молекулой подвижной системы координатных осей (рис.
17.4ла и б). Оси х, у, л этой системы мы выбираем так, чтобы они были главными осями инерции. Тогда три момента инерции 1„1у, 1, 227-атомной молекулы относительно главных осей (главные моменты инерции в) будут равны В 19.1. Общая харакщеристика вращения молекул 531 В данном частном случае главные оси инерции ныбраны так, что ось у является осью симметрии (осью с2) молекулы, ось х лежит в плоскости молекулы (плоскость а! !), а ось а перпендикулярна к этой плоскости. При подобном выборе осей хз = О и а! = х2 = аз = О; индексы 1 и 2 относятся к атомам водорода с массой Мн, индекс 3 — к атому кислорода с массой Мо.
В силу симметрии равновесной конфигурации х! — — — хг и у! — — У2. Координаты х и у связаны соотношениями, очевидными из рис. 19.1: гон = (Уз — У!) + х! = 2 =т'!г-~'+Й, !'!!! !ХНОН Х! Х2 тй 2 Уз — У! Уз — У2 Положение центра тяжести удовлетворяет условиям: М!У! + Мзуг+ Мзуз = Мн(у! + У2) + Моуз = О, М!х! + Мзхз = Мн(х! + х2) = О. Рис. 19.1. Расстояния атомов О и Н а молекуле Н,О от главных осей инерции (19.4) 1!. = ',) М,(уо+ зо), 1м = ~~! М,(,"+ х' ), 1,'.
= ~~!, М,(х,"+ уо), (!9.5) н и ~„= Р„, = — ') М,*!из ум = ум = — ) =! г=! который получается из линейной связи между ния М„и составляющими угловой скорости ы. Действительно, для системы частиц л Мгуг!3» 1„= 1,', = — ~ М,з,'хо =! составляющими момента количества движе- н Мх = ',У".(27.М.е.), (19.6) где И, — радиус-вектор н е! — скоросты-й частицы, и при неизменных расстояниях между частицами е, = (ыЛ,). (19.7) Подстановка (19.7) в (19.б) дает Мр ~ Мг[В[ыВ)) ~ М(ы'В~ ю(Вы)) (!9.8) В силу того, что молекула плоская, 1, = 1, + 1„(подробнее об этом см.
ниже, ~ 19.4, с. 545). Возможность сделанного выбора осей определяется симметрией молекулы. В общем случае ядра не будут расположены симметричным образом о~носительно главных осей и произвольно выбранные оси не будут главными осямн инерции. Как извесю2о, при произвольной ориентации подвижньщ осей х', у', з' динамические свойства твердого тела характеризуются менторам момента инерции — симметричным тензором второго ранга с составляющими 532 Глава 19. Вращение молекул и вращательные спектрьс что в раскрьпом виде приводит к соотношениям и и У Мщ — ( ~~~ М,(у, + г, ))ы — ( ~~) Мх~у~)ы„— ( ~~) Мх(г()кие, =.) и и Ф Мху = — ( ~~) Мух,(ис, + ( ~с М,(г,)+ х~~)(сиг — ( ~~) М,у,г;')~иск, и и и М е = — ( ~~) М,г,'х',)ц), — ( ~ М,г,'у,'~си„ч- ( У М,(х," 4- у,' )~си,.
(!9.9) Для наиболее легких молекул, содержащих атомы водорода, моменты инерции, как и для молекулы воды, имеют порядок величины !04В г смт. Для более тяжелых молекул ани увеличиваются с числам и массой атомов и с размерами молекулы и могут быть на один или несколько порядков больше. Задача о вращении молекулы приближенно сводится к задаче а вращении твердого тела с заданными моментами инерции.
Прн вращении свободной молекулы, рассматриваемой как твердое тело, постоянными движения, т. с. величинами, сохраняющими постоянные значения, являются вращательный момент количества движения и энергия вращения. В соответствии с законами квантовой теории вращательный момент количества движения и вращательная энергия квантуются, принимая определенные дискретные значения. Квантование квадрата врасцатсльного момента количества движения определяется общей формулой (2.5), Л1,' = Д'1(.~+1), (19.
10) где квантовое число 1, в данном случае вращательное квантовое числа, принимает целые значения 1 = О, 1, 2, 3,.... (19.!1) Одновременно квантуется, согласно (2.9), проекция вращательного момента количества движения на выделенное направление, которое мы примем за ась ( неподвижной координатной системы (, О, (~~.
Мы имеем (19.12) Мр(: вгп с 2) Мы обозначаем аси закрепленной в пространстве координатной системы — неподвижной системы — через б Ч, ( в отличие ат осей х, у, г полвижиав системы (см. 9 !7.4, с. 476). Совокупность коэффициентов (!9.9), связывающих линейным образом, составляющие Мре, М „, Мт момента количества движения с составляющими ые, ьск, ы, угловой скаростй, и образует тензар момента инерции. Этот тензор симметричен и может быть наглядно представлен как любой симметричный тензар зллипсоилом инерции, совершенно аналогично тому, как симметричный тензор поляризуемости мо)кет быть прелставлен эллипсоидом поляризуемости (см.
4 17.7, с.496). Наряду с диагональными составляющими 1,'„1„'„, 1,', — моментами инерции относительно соответствующих осей х', у', г' — получаются недиагональные составляющие 1,' = 1„'„ 1,', = с,ю 1,', = 1,', — так называемые произведения инерции или центробежные моменты ийерции. Путем поворота координатных осей можно всегда перейти от произвольно ориентированных осей х', у', г' к осям х, у, г, относительно которых произведения инерции равны нулю, и тогда (!9.5) сводится к (!9.!). Это и будут главные оси инерции.
Легко виветь, что в рассматриваемом частном случае молекулы волы произведения инерции обращаются в нуль в силу тога, что х, = — х), у, = уг, х) = О, г, = г, = г) — — 0 и М) — — Мг = Мн, т. е. оси х, у, г действительно главные осн инерции. Когда говорят о моментах инерции молекулы, то, как правило, подразумевают моменты инерции (!9.!) относительно главных осей, т. е. главные моменты инерции (см.
примечание иа с. 530). 533 В 19.1. Общая характеристика вращения молекул где тг= У,Х вЂ” 1,...,— 1, (19. 13) т. е. принимает 2,1 + 1 значений. Квантование врагцательной энергии молекулы связано с квантованием момента количества движения и зависит от числа вращательных степеней свободы, от величины моментов инерции и от соотношений между ними. При этом энергия молекулы зависит от величины момента количества движения и является функцией вращательного квантового числа, но не зависит от величины проекции этого момента, т.е.
от квантового числа гам Поэтому вращательные уровни свободной молекулы всегда вырождены (кроме уровня,7 = О, для которого кратность вырождения 2.1+! = 1), что связано с произвольностью ориентации момента количества движения по отношению к неподвижной системе координат. Для линейных молекул вращательному движению соответствуют две степени свободы (см. э" 17.4, с. 476). Для характеристики состояния вращательного движения достаточно двух квантовых чисел У и т,. Вращение в этом случае происходит, согласно наглядным представлениям, вокруг оси, перпендикулярной к оси молекулы, на которой расположены ядра.
Момент инерции относительно оси молекулы, которую мы выбираем за ось г, равен, очевидно, нулю, а моменты инерции относительно любой перпендикулярной к ней оси одинаковы. Мы имеем (19.14) 1,=1„=1, 1,=0. Ориентация осей е и у в плоскости, перпендикулярной к оси а,паизвольнаа. Квантование энергии в этом случае производится очень просто (см. Э 19.2). Энергия вращения зависит только от значений момента инерции 1 и вращательного квантового числа .1. Для нелинейных молекул вращательному движению соответствуют три степени свободы (см. э"!7.4, с. 476), поэтому для его характеристики необходимы три квантовых числа. Вращение нелинейной молекулы может происходить, согласно наглядным представлениям, вокруг любой оси, проходящей через центр тяжести. Все три момента инерции отличны от нуля и возможны три случая квантования вращательной энергии в зависимости от соотношения между величинами моментов инерции 1, 1„и 1,.
!. Случай молекул типа сферического (шарового) волчка, имеющий место, когда все три момента инерции равны друг другу 1.=1„=1,. (! 9.! 5) 2. Случай молекул типа сизьиетричиого волчка, имеющий место, когда два из трех моментов инерции равны друг другу: 1,=1„Ф1,. (19.16) Отметим, что в соответствии с (19.!4) линейные молекулы могут рассматриваться как иолекулы типа симметричного волчка с моментом инерции 1, = 0 (см. ниже, с. 543). 3. Случай молекул типа асимметричного волчка, имеющий место, когда все три иомента инерции разные; 1,Ф1д~1,. (19.17) Квантование вращательной энергии усложняется при переходе от первого случая ко второму и от второго к третьему. Соотношение моментов инерции для заданной молекулы зависит от ее симметрии и определяется принадлежностью молекулы к определенной точечной группе (см. табл.
18.1, с. 526). Глава 19. Вращение молекул и вращательные спектрьг 534 Для молекул с высокой симметрией, имеющих несколько осей симметрии порядка и > 3 (в частности, для молекул, относящихся к группам Тв и Оь), моменты инерции вокруг трех взаимно-перпендикулярных осей одинаковы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
