1626435914-6d29faf22cc9ba3862ba4ac645c31438 (844347), страница 132
Текст из файла (страница 132)
!8.11). С наличием эквивалентных элементов сим- а 6 метрии связано деление операций симме- рис.182К Эквивалентные повороты. трии на классы эквивалентных операций. а — поворот С; б — поворот С К одному классу относятся эквивалентные операции симметрии — операции симметрии одного рода, которые можно превратить друг в друга путем поворотов и отражений. Такими эквивалентными операциями являются операции отражения в эквивалентных плоскостях и операции поворота на 180' вокруг эквивалентных осей.
К операциям одного класса принадлежат для рассматриваемых групп пары поворотов вокруг выделенной оси на углы у и †(например, повороты Сз на 120' и Сзг = С, ' на †1 для группы Сз„). Действительно, при отражении в плоскости а, поворот на угол <г превращается в поворот на угол — <а (рис. !8.21); такое же действие оказывает поворот на 180' вокруг оси Сг, перпендикулярной к оси С„. Операция отражения в плоскости аю отражение в центре симметрии <, поворот на 180 вокруг выделенной оси С„четного порядка (операция С„') и, наконец, тождественная операция образуют отдельные классы. Действительно, любая из этих оперыщй представляет операцию особого рода и группа может содержать только одну такую операцию.
Для группы Сз„мы имеем три класса операций — класс поворотов Сз н Сз — — Сз, класс отражений а„, о„, о', и класс тождественной операции Сп г <О <г! <з! Сокрагценно это записывается в виде (цифра указывает число операций в классе) группа Сзк 2Сз За„Сн (18.24) Число классов операций является важной характеристикой группы. Для абелевых групп каждая операция группы образует отдельный класс, и поэтому число Глава 18. Равновесная конфигурация молекулы 522 классов равно просто порядку группы. Примером может служить рассмотренная в предыдущем параграфе группа 22зь, где мы имеем восемь операций (18.13), каждая из которых соответствует элементу симметрии, остающемуся неизменным при операциях группы (тождественная операция соответствует оси первого порядка), и не может превратиться в другую операцию. Отметим, что для групп С„, С„ь и Я„, для которых отсутствуют отражения о„ в вертикальных плоскостях и повороты Сз вокруг юризонтальных осей, операции поворота на угол уз и на угол — у не переходят друг в друга, и поэтому образуют отдельные классы.
В результате число классов для этих групп равно порядку группы, как для всех абелевых групп. Понятие класса элементов является одним из важных понятий теории групп, которое формулируется математически слелуюшим образом: элементы а и Ь группы относятся к одному классу, если существует такой элемент группы с, что Ь=сас ~. (18.25) Элементы а и Ь называют при этом сопряженными. Для абелевых групп со = ас и, следовательно, Ь = сас ~ = асс ~ = а, откуда вытекает, что каждый элемент сопряжен только сам с собой и, следовательно, образует отдельный класс. Для иеабелеаых групп, наоборот, имеются элементы а и с, для которых са ~ ас, и, следовательно, сас ' ~ а, т.
е. равно другому элементу круппы. Поэтому для неабелевых групп имеются классы, состоящие более чем из одного элемента. В результате для них число классов всегда меньше порядка группы. Для группы Ск„легко получить деление операций симметрии на классы, исходя из соотношений (!8.8) — (!8.10). Умножая о1В = Снг1'1 справа на Сз ', мы получим кг1з1С ~ = Скио1С, ' = о1~~, а умно кая оо1 = Ске1'1 справа на С, ~, мы получим о1'1С, ' = Снг1~1С, ' = е1 1; следовательно, оо~, н1 1 и о1 1 принадлежат к одному классу. Аиалогично, умножая о1ц = кго1сз на оо1 =- кги~, мы получаем о1~~сги1 = сг1'1сз(а111) ' = с ~, т. е.
Сз и С, приналлежат также к олному классу, Тождественная операция образует класс сама по себе (лля единичного элемента при любом а аеа ' = еаа ' = е). 1иы пришли к результату, совпадающему с полученным выше (см. (ПЬ24)). 5 18.5. Точечные группы высшей симметрии Точечные группы высшей симметрии, к которым принадлежат молекулы с несколькими осями симметрии порядка и > 3, соответствуют симметрии трех типов правильных мноюгранников — симметрии тетраэдра (правильною четырехгранника), симметрии октаэлра (правильного восьмигранника) и симметрии икосаэдра (правильного двадцатигранника).
Эти многогранники показаны на рис. 18.22. Тетраэдр и октаэдр обладают осями симметрии второго, третьего и четвертого порядков, Рис. 18.22. Правильные многогранники: и — тетраздр, 6 — октаэдр; с — икосаздр 523 ф 18.5. Точечные группы высшей симметрии а икосаэдр — осями симметрии второго, третьего и пятого порядков. Известны лишь молекулы, обладающие тетраэдрической и октаэдрической симметрией, поэтому мы более подробно разберем группы тетраэдра и октаэдра и лишь в общих чертах рассмотрим группы икосаэдра. Симметрия октаэдра совпадает с симметрией куба, а симметрия тетраэлра легко получается из симметрии куба отбрасыванием части элементов симметрии, по- ! этому мы рассмотрим группы тетраэдра и октаэдра — кубические группы — исходя из симметрии куба. Тетраэдр получается, если расположить четыре точки в вершинах куба, не имеющих общих ребер (рис. 18.23,а), а октаэдр — если расположить шесть точек посредине граней куба Рис.18.23.
Правильные многогранники, (рис. 18.23, б). вписанные в куб: Куб обладает тремя эквивалентными осями симметрии: Ск, Скб, Ст четвертого порядка, проходящими через центры его граней, четырьмя эквивалентными осями симметрии: Сз, Сз, Сз, С,, проходящими через противоположные вершины, и шестью эквивалентными осями симметрии второго порядка: С,, Ст, Ст, Ст С(, Ст, прохоляшими через середины противоположных ребер (рис. 18.24, а, б, в).
(5) (6) Группу, состоящую из совокупности соответствующих поворотов вокруг трех осей С4 (шесть эквивалентных поворотов С4 и С4 — — С4 и три эквивалентных пово- 5 рота Ст), вокруг четырех осей Ст (восемь эквивалентных поворотов Ст и Ст = Сз ) и вокруг шести осей Ст (шесть эквивалентных поворотов Ст) обозначают как группу О. Порядок этой группы равен 24. Все операции симметрии разбиваются на пять классов; группа О С!, 6С4, ЗСн 8С5, 6Сь (18.26) Наряду с осями симметрии куб обладает тремя эквивалентными плоскостями симметрии, перпендикулярными к осям Сы шестью плоскостями симметрии, проходящими через противоположные ребра, и центром симметрии.
Присоединение к операциям поворота операций отражения, а также получающихся при этом операций поворота с отражением (поворотные оси Ст третьего порядка становят- Ряс. 18.24. Оси симметрии куба: а — три оси Са б — четыре оси Сн в — шесть осей С, 524 Глава 18. Равновесная конфигурация молекулы ся зеркально-поворотными осями Яь шестого порядка) приводит к образованию грулны Оь, имеющей порядок, равный 48, и содержащей инверсию.
Эта группа соответствует полной симметрии куба. Группы О и Оь представляют возможные октаэдрические группы. Симметрия тетраэдра является более низкой, чем симметрия октаэдра. Для тетраэдра сохраняются четыре оси Сз третьего порядка, проходящие через противоположные вершины куба (ср.
рис. 18.23, а и 18.24, б), а три оси С4 четвертого порядка превращаются в оси Сз второго порядка. Совокупность соответствующих поворотов вокруг осей Сз и Сз образуют групну Т, состоящую из Сн четырех эквивалентных поворотов Сз, четырех эквивалентных поворотов Сз = С, и трех эквивалентных з поворотов Сь Порядок группы равен 12 и образующие ее операции симметрии разбиваются на четыре класса: группа Т Сн 4Сз, 4Сз ', ЗСь (!8.27) К этой группе Т, состоящей из поворотов, можно добавить отражения в трех плоскостях, перпендикулярных к осям Сз! при этом становятся возможными инверсия и повороты с отражениями вокруг осей Сз, превращающихся в оси Ям Получается грунла Ть, состоящая из 24 операций.
Добавление к группе Т шести отражений в плоскостях, проходящих через противоположные ребра куба, приводит к образованию груням Тю также состоящей из 24 операций. Группа Тг содержит, кроме поворотов и отражений, шесть эквивалентных поворотов с отражениями вокруг трех осей См становящихся зеркально-поворотными осями Яч четвертого порядка. Именно такой симметрией обладает тетраэдр.
Он переходит сам в себя как при поворотах и отражениях, так и при операциях 84 и о4 — — о4 поворота с отражением (число таких эквивалентных операций равно шести). Действительно, тетраэлр, изображенный на рис. 18.23,а, при повороте вокруг вертикальной оси на 90' (повернутое положение тетраэдра показано пунктиром) с отражением в горизонтальной плоскости переходит сам в себя. 24 операции группы Тг разбиваются на пять классов (все 8 поворотов Сз и С, = С, вокруг четырех осей Сз являются эквивалентными, также как и для груп- 2 — ! пы Оп!): группа Тг Сп 8Сз, ЗСн 684, бо-. (18.28) Группы Т, Ть и Тг представляют возможные тетраэдрические группы. Всего мы получаем пять групп кубической симметрии: Т, Тю Тю О, Оь.
(18.29) Симметрия икосаэдра характеризуется шестью осями Сз пятого порядка, десятью осями Сз третьего порядка и пятнадцатью осями Сз второго порядка. Соответствующая группа состоит из 60 операций поворота и обозначается как грулла 2, Присоединение плоскостей симметрии приводит к образованию грулны 1ь, состоящей из 120 операций и включающей инверсию. Таким образом, возможны две икосаэдрические группы: гл.
(18.30) Для кристаллов возможны кубические группы (18.29), но не могут осуществляться икосаэдрические группы (18.30). ~ Группы Тх и 0 язоыорфны. 8 18.6. Общие выводы о симметрии молекул 525 Р Е Рис. 18.25. Молехулы охгаэдрнческой симметрии: а — шесгнфгорнсгая сера; б — шесгнфгорисгый уран Ряе. 18.26. Молекула геграметилмегана Группы (18.29) относятся к кубической крнстшшической системе, поэтому нх н называют кубическими.
Онн возможны лля кристаллов, так как содержат осн лишь второго, третьего и четвертого порядков; невозможность групп (18.30) для кристаллов связана с наличием в этих группах осей пятого порядка (см. конец 9 18.12, с. 5!О). и 18.6. Общие выводъ1 о симметрии молекул В результате рассмотрения точечных групп мы получаем их классификацию, приведенную в табл. 18.!. В таблицу включены и точечные группы наивысшей возможной симметрии, соответствующие сферической симметрии (симметрии шара).
Шар имеет бесконечное число осей симметрии бесконечного порядка, проходящих через его центр, и совокупность всех возможных поворотов вокруг этих осей образует группу трехмерных вращений (см. с. 71), обозначенную через П, . Добавление к этой группе плоскостей симметрии, проходящих через центр, дает группу трехмерных вращений с отражениями (полную ортогональную группу), обозначенную через П ь н содержащую инверсию. Симметрией П ь обладают атомы. Для каждой точечной группы в скобках указан ее порядок. Расположение таблицы позволяет легко сопоставлять группы различной сложности. Первые два столбца Для молекул наиболее существенны группы Оь и Тгь К группе Оь принадлежат такие молекулы как 5Еь и г3Рь (рис. 18.25, а, б), в которых атомы фтора располагаются вдоль трех взаимно-перпендикулярных осей симметрии.
Особенно важны случаи симметрии Тш Симметрией Тя (тетраэдрической симметрией) обладают молекула метана СН4 и его замешенные типа СХы К группе Тд принадлежат и более сложные молекулы тетраэдрической структуры, примером которых является молекула тетраметилметана С(СНз)4 (рис. 18.26), в которой центральный атом углерода соединен с четырьмя симметрично расположенными группами СНз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
