1626435910-98d12f7c1a67c8f6e5fdab7067ff707a (844345), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Полная энергия системы точно может быть определена из уравнения Е= е(гУ= 2лУ Г 3 — (лйт)з/2 5 — 2 азlз е — Мг (1е = — йУТ. (25,50) Для одного моля газа У равно числу Авогадро Ул и, следова- тельно 4. Статистика Бозе — Эйнштейна. Условия, когда система, состоящая из У неразличимых частиц, описывается полной с и м м е т р и ч н о й волновой функцией, (выражение (25,3), приводят к статистике Бозе — Эйнштейна. Статистика, развитая Бозе (69)для сйетовых квантов, была обобщена Эйнштеином 1841 для газов, состоящих из частиц с целочисленным спином.
В настоящее время частицы, подобно фотону, обладающие целочисленным свином (например а-частицы и ядра атомов, содержащие четное число протонов и нейтронов), н, следовательно, подчиняющиеся статистике Бозе — Эйнштейна, называются бозонами. 328 Пусть У частиц распределены по группам с энергетическими уровнями е„е,, ...
е„...; и пусть соответствующие числа заполнений по-прежнему будут и„и„..., и„.... Следует указать, что и в данном случае должны быть справедливы условия (25,14) и (25,15). Так как частицы неразличимы, то разделение по группам с данными чпсламн заполнений можно осуществить лишь одним способом. Тогда для каждой группы число собственных состояний общей системы определяется только вырождением (статистическим весом). Если статистический вес г-ой группы равен дн то число собственных состояний определяется числом способов распределения и,- частиц по дг-волновым функциям. При этом следует иметь в виду, что поскольку волновая функция общей системы симметрична по отношению к перестановке любой пары частиц (т.
е. нет условия запрета Паули)„то количество частиц, связанных с данной собственной функцией совершенно не ограничено. Число способов распределения и,-частиц по д,.-волновым функциям можно найти, если представить д,.-состояний в виде прямоугольного ящика, разделенного на д! -ячеек при помо(ци д; — 1-перегородок. Распределим и! -частиц по этим ячейкам. Общее число перестановок в этом ящике равно всевозможным перестановкам частиц и перегородок, т. е. (и! -,'- д! — 1)!.
Однако из этого общего числа перестановок необходимо искггючить гг(1-перестановок частиц между собой и (д! — 1)!-перестановок перегородок, ибо распределения, отличающиеся друг от друга перестановкой частиц и 'перегородок не приводят к различным состояниям, а являются одним и тем же состоянием. Поэтому число способов распределения иичастиц по дг-волновым функциям, приводящих к различным собственным состояниям, равно Очевидно, что если числа заполнений по ~руинам составляют и,, из,... и!..., то число различных распределений каждой группй должно выражаться посредством такой же формулы, как (25,52), т.
е. мы будем иметь И'„йгз и т. д, Тогда число всех раз:шчных распределений и, следовательно, термодинамическая вероятность равна произведениго этих выражений, т. е. Для нахождения наиболее вероятного распределения поступаем таким же образом, как это было сделано в предыдущем пункте. 11 П О К Дзнззз 320 (25,62) и,= дй) = 1 ечмт А где дйà — число частиц с энергией, лежащей между е и е+ Ые; д(о(е) — число собственных состояний в этом интервале энергии; и А = е — ".
Подставляя в (25,62) вместо дфе) выражение (25,13), получим уравнение распределения Бозе — Эйнштейна 4зз'г'у,—, ) ' е ~(~ йз ' е,тот А (25,63) илн сокращенно тй1 = Г (е) ~/е де, (25,63 а) где (25,64) епзт А является функцией распределения частиц по энергии. Между, тем, как мы видели, в статистике Максвелла — Больцмана распределение имеет внд: дД ' У ~/2тз),те о(ее — )зт йз (25,42) Значение а определяется из дополнительного условия л( = ~ АЧ = ) Р (е) ~Ге ае.
(25,65) о о Величина а или А = е —" называется параметром вырождения я. Интегрнрование уравнения (25,63) упрощается в связи стем, что величина А мала по сравнению с единицей. В самом деле, случай, когда А) ! (т. е, а, 1) не может иметь места, так как тогда прп е1йТ = — и знаменатель в (25,63) обращается в нуль, а при малых значениях е становится отрицательным и, следовательно, с(й будет иметь бесконечное иля отрицательное значение, что, конечно, невозможно. В том случае, если А очень мало (следовательно, а очень велико) по сравнению с единицей, т. е. А 'л 1, то поскольку еуйТ всегда положительно, в знаменазз2 ження частиц.
Для такого случая уравнение наиболее вероятного распределения Бозе — Эйнштейна можно записать в виде теле (25,63) можно пренебречь единицей и тогда опять мы получим классический закон распределения Максвелла (25,42). Как мы видели в пункте 3, для этого случая А = е " легко определяетск нз дополнительного условия (25,65): (2л тпТ)з)з у$т (2л тлТ)з~з у У где п= — есть плотность газа, т. е. количество чгстнц в единиде объема.
В этом случае газ подчиняется классической теории н считается нормальным. Однако, если А сравнима с единицей, тогда появляется отклонение от классической теории (от статистики Максвелла — Больцмана). В этом случае говорят, что газ находится в состоянии вырождения. Значение А для этого случая можно получить опять из дополнительного условия (25,65). Уравнение (25,63) является трансцендентным и может быть решено путем разложения его в ряд по степеням (2 йт)з~ Этот ряд относительно А имеет следующий внд: пйз / 3 пй' (2л тйТ)4з у 1 4 (4л тйТ)з~з у который является быстро сходящимся степенным рядом; его первый член равен значению А, которое получается в предельном случае, когда А <' 1. Второй член фактически определяет условие вырождения газа.
Согласно этому уравнению значение А и, следовательно, вырождение увеличивается с увеличением плотности газа п, с уменьшением температуры н массы частиц. Для водорода (при Т = 300'К и = 2 7 10'о, т = 3,324 1Π— з') соглгсно выражению (25,66) А ~з РЗ !О з<'1. Этозначит, что при нормальных условиях температуры н давления водород и тем более другие газы (поскольку нх атомные веса больше атомного веса водорода) не являются вырожденными. Вырождение заметно только для таких плотностей и температур, при которых газ перестает быть идеальным.
Поэтому фактически нет возможности отделить эффект вырождения от эффектов, связанных с отклонением газа от идеального состояния. Итак, в области применения кинетической теорин газон статистика Бозе — Эйнштейна практически дает такие же результаты, как статистика Максвелла — Больцмана. 6. Статистика Ферми — Дирака. Если система, состоящая нз М неразличимых частиц, описывается волновой функцией, являюшейся антисимметричной по отношению к обмену любых двух частиц, ззз или (25,72) Поскольку 1п ' -';а+ре,=О, и, д,— п, ' (25,73) 333 3 34 то, как было отмечено, это приводит к статистике Ферми [94,95! и Дирака [80!. Статистика Ферми — Диракасправедливатолько для частиц с полуцелым спнном.
К числу таких частиц, например, относятся: электрон, позитрон, протон, пейтрон и т. д. и также ядра с нечетным массовым числом — полуцелым спинам. Частицы, подчиняющиеся статистике Ферми — Дирака, называются ф е р м и он а м и. Как мы видели, антисимметричная волновая функция может быть представлена в виде определителя (25,4). Л из свойства определителей следует, что полная антисимметричная фушсция только тогда не равна нулю, когда собственные функции отдельных частиц различны.
Если же имеются две или несколько одинаковых собственных функций, то в определителе будет два или несколько одинаковых столбцов. В этом случае определитель тождественно равен нулю. Таким образом, антисимметричная функция в виде определителя фактически является математической формулировкой принципа Паули, согласно которому ни в одном состоянии >р не может находиться более одной частицы с полуцелым спином. Для определения числа собственных состояний системы с числами заполнений пь ис,, и,..., соответствующими энергетическим уровням е„е,,..., е„... мы должны принимать во внимание выше отмеченные свойства антисимметричного состояния.
Рассмотрим с'-ую группу энергетического'уровня е, с числом заполнений п, и статистическим весом дг Согласно условиям антисимметричности функции только одна из ис -частиц может быть связана с каждой из д,-элех>ентарных волновых функций. Следовательно, на каждую частицу этой группы должна приходиться одна элементарная волновая функция из д,. Отсюда следует, что величина д, должна быть больше или равна и,(й>,)~ п,).
Таким образом для определения общего числа собственных состояний системы мы можем исходить из следующей комбинаторной задачи. Мы должны разместить п;частиц по сс,.элементарныхс функциям (или по дгэлементарным ячейкам фазового пространства) так, чтобы в каждом элементарном состоянии находилась самое большое одна частица. Для первой частицы мы имеем и, возможных размещений, для второй — (г>,— 1), для третьей частицы — (пс — 2) и т. д.
и для п-ой частицы, следовательно, будет (д,.— и,.-', 1) возможных размещений. Для общего числа возможных размещений мы получим а (а — 1) (а — 2) (йс " — 1) (25,67) Дс! = д,(д, — 1) (4>, — 2)... (и> — и -'; 1) (пс — п;) х х [д,— (ис — 1)]... 2 1, то выражение (25,67) можно записать в таком виде: й,(д,— 1)(д,— 2)... (д,— и, + 1) = — ' (2568) а~! (дс — и,)! Это выражение мы должны еще раз разделить на число перестановок и,!, которые по квантовой статистике не отличаются друг от друга.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
