1626435910-98d12f7c1a67c8f6e5fdab7067ff707a (844345), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Можно показать, что характер симметрии совершенно не зависит от времени. Итак, для описания системы из неразличимых частиц посредством волновой функции, сушествует только две возможности описания, а именно, посредством симметричной, либо посредством анти- симметричной волновых функций. Распределим теперь собственные состояния частиц по группам 1, 2, 3... ( так, чтобы собственные значения энергии для всех состояний частиц, принадлежаших к группе 1, лежали в пределах е, и а, + да, собственные значения энергии, принадлежащие группе 2, лежали между а, и а, + г(е и т. д.
Пусть числа состояний частиц, принадлежаших группам 1, 2, ... 1(с энергией а„е,, „., а,,,), соответственно равны до д„..., д, Это значит, что мы имеем д,- кратные вырождения собственных состояний отдельных частиц. Следует указать, что число частиц для каждой группы квантового состояния предполагается очень большим. Поэтому распределение энергии внутри каждой группы можно считать практически непрерывным и энергия каждой квантовой группы будет лежать в пределах е, и а, + пе.
В связи с этим, говоря о вырождении, мы понимаем его в том смысле, что одной и той же энергии в пределах а, и з~в е, + Нз (т. е. одному и тому же интервалу энергии) п р и б л и з ит е л ь н о будет соответствовать несколько собственных состояний. В квантовой статистике имеет важное значение определение количества квантовых состояний и, следовательно, количества собственных функций обшей системы, принадлежащих данной энергии системы при данных условиях вырождений и для данного числа частиц.
Вопрос о том, сколько собственных функций обшей системы может быть реализовано при данных условиях вырождения состояний частиц, прежде всего зависит от статистического метода подхода к данной задаче. Если мы будем рассматривать систему, относящуюся к симметричному состоянию, то мы должны определить сколько может быть возможных собственных функций типа (25,3) при наличии вышеприведенных условий вырождения собственных функций частиц. В случае антисимметричного состояния мы должны определить количество возможных собственных функций типа (25,4), Во всех случаях количество состояний зависит от кратности вырождения д,.
Если, например, нет вырождений, т. е. д~ =- д~ =- ... = =д, =-... =- 1, то собственные функции системы типа (25,3) и (25,4) могут быть реализованы только единственным образом, т. е. мы будем иметь одно единственное состояние. С увеличением д, количество состояний общей системы увеличится по определенным закономерностям в зависимости от характера симметрии состояний. Квантовая статистика исходит из постулата, согласно которому каждое собственное состояние системы имеет одинаковую априорную вероятность.
Это значит, что любое состояние системы имеет одинаковый шанс осушествления. Поэтому количество собственных функций, описывающих равновероятные состояния, в квантовой статистике рассматривается как термодинамическая в е р о я тн о с т ь, Последняя зависит от кратности вырождений д,. При отсутствии вырождения собственных состояний частиц (д, =-. 1) термодинамическая вероятность минимальна и равна единице. В связи с этим вырождение дл соответствуюшее энергии ел рассматривается как с т а т и с т и ч е с к и й в е с данного энергетического уровня. Подсчет числа возможных состояний, т.
е. определение термодинамической вероятности, с помощью симметричных и ант~симметричных собственных функций приводит к двум различным статистикам: к статистике Бозе — Эйнштейна, в случае применения симметричных волновых функций, и к статистике Ферми — Дирака, если применить для описания системы антисимметричные собственные функции. Разумеется, что область применения каждого из этих двух статистик зависит от характера частиц, а именно, обладают ли они целыми или полуцелыми спинами.
В первом случае применяется статистика Бозе — Эйнштейна и во втором случае — статистика ФермиДирака. 3!9 наз Г д= — ... ~дх!(ус(гас(у!(г, ьз ) (25,8) ЛхЬу Лгузр„ЬР Ьр,) йз, (25,5) д =- — 3 !(х с(у !(г. (25,9) !(х !(у с(г =- са !(с з(п б !(О с(!р. (25,10) 1 а — тса 2 32! !1 О. К дааазз Следует указать, что на основании подсчета количества собственных состояний системы, состоящей из различимых частиц, можно прийти к результатам совершенно идентичным тем, которые получаются посредством классической статистики Максвелла †Больцмана.
На этом вопросе мы остановимся в 3-м пункте. 2, Квантовые состояния в фазовом пространстве. Как было показано в 2 1,2, из соотношений неопределенности следует, что состояние отдельных частиц принципиально можно установить только с точностью, ограниченной неравенством где х, у и г — координаты в трехмерном пространстве, р, р и р, — соответствующие компоненты количества движения (пмпульса) частицы; й — постоянная планка деления на 2п, Таким образом, произведение неопределенностей положения (Лх Глу Лг) и импульса (Гар, ЛР„ЬР,) является элементарным объемом фазового пространства, т. е. пространства импульса н координат. Согласно соотношению (25,5) этот элементарный объем не может быть больше узз. Неравенство (25,5) является частным случаем, справедливым для трех степеней свободы.
В общем случае для системы с 7' степенями свободы произведение неопределенностей может быть представлено в виде: 5Ч! сауа Луг ЛРа бра ° ° бргоойй (25,6) Так как принципиально невозможно отличить два положения и два импульса в этом элементарном объемефазового пространства, то любая протяженность Ы в фазовом пространстве эквивалентна одному собственному состоянию без учета спинового состоян и я. Поэтому количество собственных состояний д системы для случая максимальной точности определения положения и импульса частицы должно быть равно общему объему фазового пространства, деленному на 1а!, т. е. аа Я = — ! ~ .. ° дЧа!(Уа... путпраг(ра ° ..
г(РР (25,7) 1 Г (а! ~ "' — Оа Здесь вместо Ьд и Ьр подставлены соответствующие дифференциалы, т. е. Йд и Йр, д и р определяются с точностью !а. Для квантовой статистики представляет интерес определение числа собственных состояний в данном интервале энергии. Рассмотрим частицу с массой т, находящуюся в объеме У, свободном от сил. Состояние частицы будем описывать в фазовом пространстве. Допустим, что эта частица обладает только тремя степенями свобо- Звц ды. Тогда ее координатами и соответствующими компонентами импульса будут являться х, у и г и р, = тх, рз =- ту, р, = тг.
Согласно (25,7), число собственных состояний равно где х, у. и г — компоненты скорости частицы. Интегрируя (25,8) только по трем координатам л, у и г, получим — Ф Здесь г' есть объем, в котором находится частица. Теперь определим число собственных состояний частицы, результирующая скорость поступательного движения которой, независимо от направления, находится в пределах между с и с —,:— а!с. Результирующая скорость поступательного движения частицы, как известно, определяется как сз = ха+ у'+ г'.
Переходя к сферическим координатам (см, 8 8,3), мы имеем Здесь результирующая скорость с заменяет радиус-вектор г. Подстановка (25,10) в уравнение (25,9) дает аз пзр й г 4птз ~l у(с(с) = — з- сас(с~ гйпОЮ ) д(р= са!(с. (25,11) о з Последнее уравнение дает число собственных состояний Лп = у(!1с) частицы, обладающей скоростью, лежащей в пределах от с до с —, дс. Это значит, что если пространство скоростей (илн пространство импульсов) представить в виде шара с центром в начале координат, той(с1с) равно числу элементарных ячеек в поверхностном слое шара с радиусами с н с -',— й. Более целесообразно определить число собственных состояний в определенном интервале энергии (вместо определенного интервала скорости).
Так как объем к' свободен от сил, то потенциальная энергия частицы равна нулю; поэтому мы можем использовать выражение кинетической энергии поступательного движения: откуда (2в) ~lг сг и'с =, (Й. зпз~г Подстановка последнего выражения в (25,11), приводит к урав- нению 4п 'и' з з~2п' (25 12) Таким образом, по уравпеншо (25,12) мы имеем число собственных состояний с энергией, лежащей в пределах е и в + Йе. Так как с помощью разделения фазового пространства на ячейки могут быть определены только орбитальные квантовые состояния частиц без учета спиновых состояний, выражение (25,12) необходимо умножить на коэффициент у, учитывающий количество спиновых ориентаций (для электрона, например, он равен двум) и другие возможные вырождения. Таким образом окончательно мы имеем (25,13) д (с~е) = у — „„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
