1626435910-98d12f7c1a67c8f6e5fdab7067ff707a (844345), страница 114
Текст из файла (страница 114)
(47,2) Для трех областей потенциальной энергии уравнение (47,2) распадается на три уравнения: 1 — „-р азф = О, — оо<.х< О, длф г(»з 11 — „+ рзф = О, 0 ( х (1„ г(2 ф Нхз (47,8) 111 — „+ алф = О, 1<' х<. сс, сР~~ г(хз где 2п а = — 1/2рз, й — 3/2р(а — К ). ! (47,4) Решения уравнений (47,3) могут быть представлены в следующей форме: (х) Ае — ьк 1 Ве — ьк фы (х) = Се"'+ Ве — а" ф (х) Р'емк 6е — мх (47,5) где Л, В, С, О, В и 6 — произвольные постоянные. Их квадраты представляют собой вероятности нахождения системы в данной области и, следовательно, вероятности прохождения или отражения через потенциальный барьер. В этих выражениях первые члены соответствуют падающим волнам (с положительным импульсом), а вторые члены — отраженным о волнам (с отрицательным импульсом).
Так, Ле'"" можно рассматривать, как падающую волну, Ве-'"— как отраженную, Ге' — как проходягцую волну. Если мы рассмотрим движение изображающей точки с массой р в поле (?(х) на основании классической механики, то согласно функции Гамильтона, полная энергия материальной точки равна 6?4 рл а = —, +1/(х), 2р (47,6) откуда импульс частицы р определяется, как р (х) = ~ )7 2р (з — С(х)1. (47,7) Здесь знак + или — выбирается в зависимости от направления дви- жения материальной точки. Из уравнений (47,4) и (47,7) следует, что а = — р(х), (7(х) = О, 2п и (47,8) р= —,р(х), и(х) =и, 2п Согласно уравнению де-Бройля (см.
2 1,1) а и р пропорциональны волновым числам в 1, 11 и 111 областях потенциального барьера, следовательно, а — =п (47,9) О), д'Р? (0) =.дф" (0) дх дх (47, 10) д~',Я) дфы, (1) дх дх Подставляя в эти выражения соответствующие значения функций из (47,5) получим следующую систему из четырех уравнений для шести коэффициентов: А+В=С !-О, а(А — В) = р(С вЂ” 11), Салп -'; Вг-'М = Веги — 6е — 'и, (47,!! ) р (Сеьч — Осли) = а (Гела — 6е — гч). 22" 675 представляет собой показатель преломления. Для определения коэффициентов Л, В, С... мы можем использовать свойство собственных функций и краевые условия. Собственные функции для всей области должны быть непрерывными.
Кроме того, их первые производные также должны быть непрсрывными. Таким образом, необходимо чтобы в точках х --- 0 и х =- 1этн решения уравнения удовлетворяли следующим краевым условиям: Если предположить, что в области П! нет систем с отрицательным импульсом, тогда 6 -= О, Кроме того, мы можем считать, что вероятность нахождения системы с положительным импульсом в области ! равна едишщс, т. е.
Л -= 1. Тогда система уравнений (47,!Ц упрощается и в результате мы имеем: 1 —;- !3 =- С + /3, 1 — В =- — (С вЂ” В), !3 (47,12) Себ:2 -' 0-"' = г"е122, — (С " — /3 — би) = Р'сб* . и Последние уравнения почностью определяют наши коэффициенты: '2 2 (е — 172 — еьп) 1 — — ) В— е — "2 1-,'- — — е"' 1 —— 2е ' ! -,'.— Š— б! 1 -~- — — ебэб 1 —— 2ем 1 —— (47,13) е — "' 1-'; — — ебзб 1 —— 4 — Е'22 и -( -')- ( — ')'2 ! 4 ! — ~ (пб(р!) ! В)'— (2 2 1 ° (47114) (1-б — ) -1- (1 — — ) — 2 (1 — ( — ) ) м(221) Из этих выражений следует, что плотность отражения и плот- ность прохождения волны (т. е. плотность отраженных и плот- ность проходящих систем) соответственно равны 12 ( — ) ) Р,' — „,, ~ 2 .
(47,15) 1 -',- — + 1 — — — ' 2 1 — — соз (2р!) Если скорость изображающей точки, т. е, —, при отражении Р Р меняет только знак (что в данном случае так и предполагается), то потоки падающей, отраженной и проходящей волн соответственно будут; — ~ А)2, — — )В)2 и ~ )Е(2. ц )2 Отношение по~ока отраженных систем к потоку падающих, т. е. р =:,=)в), ! В)2 )А)2 (47,! 6) называется коэффициентом отражен ия. Отношение же потока проходящей системы к потоку падающей, т. е. Х= =~Р!2, ~Г!2 ) 4)б (47, 17) называется к о э ф ф и ц и е и т о м п р о х о ж д е и и я и л и т р а н с м нес но н н ы м к о эфф и ц и е н том. По классической механике, если в процессе реакции поступательная энергия не превращается в колебательную, то при условии в)(/ потенциальный барьер совершенно прозрачен и, следовательно, х == 1 и р — - О.
Однако из формул (47,14) и (47,15) вытекает, что при рассмотрении движения системы с точки зрения квантовой механики при указанных условиях и ( 1 и р)0. По этим формулам к и р являются функцией от р, а и 1, т. е, они зависят от импульса частицы, от ширины и высоть| потенциального барьера. Эти коэффициенты периодически изменяются при изменении р и 1. Таким образом, даже при е ) !/„вероятности прохождения и отражения могут быть очень малыми или очень большими, в зависимости от значений (/ и 1, Как выше было отмечено, по классической механике при в ( (/ имеет место полное отражение частицы и, следовательно, х =- 0 и р =- 1, однако, как мы видим по квантовой механике (согласно уравнениям (47,14) и (47,15)) при этом условии к ) 0 н р ( 1. Таким образом, при е ( (/ трансмиссиопный коэффициент имеет конечную величину, хотя очень малую.
Явление прохождения через потенциальный барьер при е((/„называется т у н н ел ьн ы м эффе к том. 677 с!у 1 с/р (47,23) откуда с у== (47,24) (47,25) с/еус, 8пе!х — + — (. — и(х)) ф = О. г/х' ' /се (47, 18) (47,27) ф = уест, (47,19) р = )с'2!с (е — //). (47,28) к, получим е-.! с еа — ! ела — х ь/ р (47,30) 6св 679 Так как в большинстве случаев химических реакций высота потенциалыюго барьера имеет величину порядка одного вольта, или меньшую, то квантово-механпческий эффект црохождепия и отражения через потенциальныйс барьер для некоторых случаев может играть определенную роль.
Так, например, для атома водорода Н с энергией е =- 0,1 вольт при // =0,11 вольт и 1 = !А вычисление по уравнению (47,!5) дает х =- 0,0!67. Это значит, что 1,67',4 атомов, энергия которых меньшеэнергии активации на 0,01 вольта, все-таки сможет вступать в химическую реакцию. Разумеется, что рассмотренный здесь потенциальный барьер прямоугольной формы является весьма грубой иллюстрацией действительных потенциальных барьеров химических реакций. Поэтому полученные формулы не могут отражать действительнусо картину реальных процессов. В следусощем пункте мы рассмотрим потенциальный барьер, по форме близкий к химическим реакциям. 2. Прохождение через потенциальный барьер произвольной формы.
Уравнение Шредингера длп прохо>кдессия системы через произвольный потенциальный барьер можно записать в следующем виде: Решение этого уравнения для проходящей системы аналогично срссс в (47,5) при 6 = О. Однако в более общей форме его можно представить так: где у н ср являются действительными величинами, являющимися функциями от х.
Как видно, действительно, уравнение (47,5) в области 1!1 при 0 = 0 является частным случаем этого решения. Двукратное дифференцирование (47,!9) дает Оер с ! /.-у,/у,йр, а= 9 (,йруе1 дхе ) с/хе с/х с/х с/хе с с/х/ - —, = е"с ~ — — -!- 2с — — + ус — „— у ( — 1 1. (47,20) 11одставляя последнее выражение в (47,!8) и вводя подстановку: Р= л с/ср 2п с/х' (47,21) ! Г /се с/еу . /с с/у /с .
с/р1 — — — ре+ 2с — — р -',- — с — + 2!с ~ 4леу с/х' 2пу с/х ' 2п с/х~ + г' — е = О. (47,22) Так как величины у и р действительны, то сумма членов в (47,22), содержащих с, должна равняться нулю. Поэтому где 1п с — постоянная интегрирования. Из (47,24) следует, что Подстановка последнего выражения в (47,22) дает Когда величина р не сильно изменяется от изменения х, то в уравнении (47,26) членами, содержащими с/р/с/х и с/ер/с/х' можно пренебречь.
Таким образом, когда то из уравнения (47,26) следует, что Как видно, при таком приближении величина р является клас- сическим импульсом. В этом случае, по выражению (47,21) 2п Г 2п ср = — рс/х = — ' )с' 2)с (е — (/) с/х. л ) й (47,29) Подставляя значения у и ср из уравнений (47 24) н (47 29) в (47,19), получим собственную функцию бегущей волны в к в азн классическом приближении: или х с а ='-' ( Уса 4- — и4 ах Ч1= — Е (47,31) с' л ° — а" ! Уан4и —,1кх рх и хх (47,32) а ° с а — — ) рбх 4Р = Е где и = р?14 и с' = с~/!4. Таким образом, для распределения плот- кости можно записать: с' ь — †" 1 У ан4и — ! ах ! 1р)а — тра — е "4 и (47,33) Из условия нормировки можно показать, что приближенно с' = = 1. Тогда плотность потока равна Коэффициент с сможет быть определен из условия нормировки. Выражение правой части неравенства (47,27) содержит множитель йа и поэтому является квантово-механической поправкой к квази- классическому соотношению (47,31).
Таким образом, неравенство (47,27) дает границу точности квазиклассического соотношения (47,3! ). Если р принимает непрерь1вный ряд значений, то уравнение (47,30) или (47,31) дает систему классических траекторий. Однако в случае, когда в ((/, и, следовательно, р — мнимый, квазиклассическое приближение выходит за пределы классической механики, ибо мнимый импульс с точки зрения классической механики не имеет смысла.
Как было показано в предыдущем пункте, в таких случаях требуется квантово-механическая трактовка, при которой распределение плотности тр4рх должно быть отличным от классического. Как видно из уравнения (47,30), мнимый р означает действительный показатель степени. При этом функция ф и, следовательно, распределение плотности(4р)хэкспоненцнально будет падать. Коэффициент прохождения системы через потенциальный барьер можно определить из распределения плотности. Если по условию а((/(х) и, следовательно, р = 1) р1, то — — ") 1 йа4и=.1ах а к=е (47,35) В качестве примера для расчета мы можем взять параболический потенциальный барьер (рис. 8!): (47,36) где (/„— максимальная высота барьера и ширина его основания. Хотя неравенство для р=О, однако, здесь делается предположение, что квазиклассическое приближение применимо и для р = 0 (т, е, для случая, когда в ((?).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
