1626435900-2be340c6a244b99156a9dca9d508df44 (844337), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Релятивистские поправки 1. Вычисление некоторых радиальных интегралов. В различных приложениях, например при вычислении констант сверхтонкого расщепления уровней, встречаются интегралы ((д*-~- 7')Г-Ргз3Г ) Руг Рг'г(г. (27.1) (27.2) При р =з 2 основной вклад в зги интегрзлы дает область малых значений Г. Это позволяет при вычислении (27,1), (27.2) использовать приближенные выражения (26.69), (26.70) для функцей ьэ, 7 '). 0 О 8 си ж а ггг, Рнуз. рею 97, 380, 1955. Отметим, что именно этот случай наиболее интересен.
Если вклад области малых значений г невелик, то можно ограничиться нерелятнзистскнм приближением. га,'(г]=С~(у-Рх]7„( )/г — ) — — 1/ —./,., ( 1/ — )), (26.69) гу (г) = Сад.7,„( )/à — ). При малых значениях г 'г(~/:.:)- — „„„,(=:-) в то время как из (26,58) имеем Г23г тг Дг) — С,а2 ( — ) (л -~- М вЂ” Ф вЂ” х), (26.73] и 27) 305 РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОПРАВКИ С помощью этих функций интегралы (27.1), (27.2) можно вычислить в явном виде ~(а' +7')г Рг' дг = ) (а' +7')г »" !(г= 221» (2» 2)! (»( — 2к+»)( — 2И+д — !) — Ча'Р(д — 3)) а, )»'(» — !)! (2у+») (2у+» — 1)... (2у — ») — '(,) р~г Рг'дг= ') дуг»+' Пг= (22)»+ (2» — 1)! (2к — д) (27 4) 2 ' У а, / »! (» — !)! (2у+»! (2у+» — !)...
(2у — »! ' формулы (27.3), (27.4) имеют смысл при ~у — 1(р)2). В нерелятивистском приближении (а — !! (л — !+ !)... (а+ !) аяа ам»1 (27.5) Подставляя (27.5) в (27.3) и полагая аа = О, х = 7, у = 7, получаем 2' ! (27.6) а~о !+— 2 <г >= — —, -а а"~ !(!+П (!+ ! ) (27. 7) Внрзжения (27.6), (27.7) отличаются от (1.26) лишь фактором р. При и)) У (27.8) Таким образом, используемое приближение дает хорошие результаты при мачых значениях ! и болыпих л (при ! =О р' точно равно единице).
По терминологии боровской теории этот случай соответствует а сильно вытянутым орбитам. В случае — =1, особенно при и =7+ 1, )ФО, отличие (27.3), (27.4) от точных выражений становится существенным. Можно несколько уменьшить ошибку, если определить постоянную С таким образом, чтобы в нерелятивистскоч приближении (27.3) давзло правильное выражение для <г Р>, т. е. положить С' = —, а'а, ' формулы (27.3), (27.4) можно использовать и для неводородоподобИых атомов, предполагая, что в существенной дли интегрирования области поле (/(г) аппроксимируется кулоновским потенциалом. В эгом случае, однако, функции д и / прн больших значениях г неизвестны, поэтому возникают трудности в определении нормировочной постоянной С.
306 [гл., и РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОПРАВКИ бс = а'К (е + — ) н, <г '> и', гл у. 1Л (27. и Подставляя в это выражение <г '> = С' а, ', ( 2) (27. 11)1 получаем (27.11) 2. Вычисление константы А сверхтонкого расщепления. Из уравнения (25.1) следует, что взаимодействие электрона с магнитньщ полем определяется выражением Н' = еаА = еА ( ), аО' (27.1") где А в вектор-потенциал поля. Если поле создается ллагнитным лнпольным моментом )л, то 1 А= — лг '7. ~ч", Сщ (1)гр)р„, (27.13) е= — л / 4л где С, = 1,' — —" )'„(Ър), 7.=- — 1[г(г~ — оператор )л — сферические компоненты вектора )л, 1 )л = р.' )л д = т = ([л ~ 1)л ).
0 е )е2 х т углового моменыц (27.141 Введем обозначение — юег *ау.С, (О~р) = Т. Н'=чР 7;~,*. (27.1СИ Тогда (27. 161 Выражение (27.16) представляет собой скалярное произвеление непрнводимых тензорных операторов первого рангз, поз~ему прн вычислении иатричных элементов Н' можно воспользоваться общпип формулами й 14. В представлении у!ГМ[! †сп ядра, Р— полный момент атома) матричный элемент Н' имеет вид <утГМ ! Н' [угур> = =( — 1))+ + (уу)[7[[ТУ)(уу[(В[~Ту) )Р(7У;Л). (27.17) Для атомов щелочных элементов хорошие результаты дает опре. деление постоянной С из экспериментального значения дублетного расщепления 5Е.
В соответствии с (26.56) й 27] зо7 РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОПРАВКИ 11одставляя соответствующее выражение для коэффициента %' и учитывая, что (у! 3 )ь ~ ~ у!) = 1,"г Ф ! (7+ 1) (2! т 1) (л— , ! р, гл (27. 18) получаем <ууГИ~ И']у77ТИ> = — — = ьг( — )]г, (/(/+ 1)+7(7+ 1) — Г(Г-]-1)). (27.19) ]г 2](2! + 1)(2! + 2) Сравнивая это выражение с формулой (23.2), находим (т') (цДТЦу!) ~ ]' ](г+1) (2]+1) (27.20) Из (27.15) следует /О от <ут ! Т,) уут>= — !а ~и," г '(ХСы) ~ ~ и. е(т= = — (е () ф] г '(ТС„)оХ>„е(т+ ~ Х! г (ХС„)офу е(т~, (27.22) причем волновые функции ф>, Х! определяются формулами (26.38!. Учитывая, что г *(ХС„)оХ= блг 'С„) Х=(Хпг 'С,,Х) — г 'С„(ултХ), а так'ке эрмитовость операторов 1 ф;.
(ЙУ~-'С„Х,„) (~= 1 (уф!.)чг-'Смй! ат, змее~о первого из интегралов в правой части (27.22) получаем ~(Хоф! ) г 'Смй е(т — ~ф» г 'Сы(ХИХ )е(т. Аналогичным образом можно преобразовать и второй интеграл в (27.22). Палее, из определения функций ф~, Х! (26.38) следует аЦ)! —— 2ЕХф! — — (/(7+ 1) — 7(! + 1) — — > ф! 31 = — (и '- 1) ф,,„, (27,23) 31 пХХ>м =2ае Хуть = I(/+ 1) 7(!+ 1) 4 ]> Хум = (И вЂ” 1) Хут' Для определения приведенного матричного элемента Т достаточно вычислить матричный элемент <уугл ] Т, ] уутм> при ле =/, поскольку <ууу~ Т,]ууу> = —— (у! )] Т ]] у!) ! (27.21) 1г! (]+ 1) (2! -г 1> [гл, тц 308 РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОПРАВКИ Таким образом, А = — 4ед ( — ) )ь, ' ' ' ),1т 'г'т/г. (27.27) / т ~ к (11/1)С, )) А1/) '( .) 'Т'/О+ )(И П.)' Для приведенного матричного элемента С, имеем ( //)) С (! 2 //) = (27.
28) Поэтому А = ест ( — ) )ь, ~ й'/г 'г* с(г. Р (27.29) Воспользуемся для интеграла в (27.29) приближенной формулой (27.4) Полставляя в (27.31) и=/, у=/, а также С'= —, (см, формулу 8 н1н„ (27.5) и последующее обсуждение), получаем А= а'и ( — ), ((у, н'1 9+1) (1-1- — ) (27.32) что в точности совпадает с формулой (23.32). Если ввести обозначение г (.О П2.~ 362;~П Т «1 — ) (27.33) Таким образом, <У/тл( Т, ~А/гл> = /ейх () ф;,„г 'С,Д с(т+ ~ )(;мг 'С„ф Ыт~.
(27.24) Согласно (26.38) функции фу~, ",(т,„являются собственными функцнянн опера~оров /', з', 7', причем в состоянии фт,„ эти операторы именж 3 собственные значения /(/+1), 4, /(/+1), а в состоянии )(7 ./(/ т-1), 3 — /(/+ 1). Поэтому, отделяя в (27.24) интегрирование по утловыя 4 ' переменным, получаем су/тл! Т,'1 ут> = — 4ех <ЛЦт(С„(ЛЦт> ) у(г)/(г) г 'г'йг, (27 28) (у/(! Т)! у/) = — 4ех ~ д~г 'г'с/г(а//() С, ((в//). (2726) ~ 27) 309 РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОПРАВКИ то формулу (27.30) можно переписать в следующем виде: 1-" =' — '( —,)' ' »»Г' — * » с! — С» й /~~'! (2" 1)р~(! ! (27 34) 2тс (о, ) 4! 0+1) (2!+!) Используя (27.34), нетрудно получи~ь следующее приближенное выражение для константы А: (27.35) л'! Н+ 1) (!+ — ) 2! фактор Р;(ус) носит название релятивистской поправки к постоянной тонкой структуры А.
При аЕ=О Р;=1. Значения Г,(ук) для зна- 1 3 чеиия 7'= —, — приводятся в таблице 72 (см. также рис. 23). 2 ' 2 Если использовать для определения константы С выражение (27.11), то при 7чьО А =е» = (-)„ lд 1 1!1+11 Г, 1 Н'ЬЕ иР), . ( 1) Н (27.36) иля 1 / и» ')! !!+ 1) Г, »гУ(л»Р/ ! !)+1) Н, ~!' (27.37) где 9! — постоянная дублетного расщепления. Таблица 72 Зависимость релятивистских поправок Г», Н», )7» от У! г„(-'г!) 2 !) )7,(12!)! » Н, (!2!) 1 5 !О !5 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 1,000! 1,0024 1,0098 1, 0224 1,0404 1,0643 1,0948 1,1328 1,1795 1,2365 1,3058 1,3904 1,4941 1,6226 1,7837 1,9892 2,2573 2,6!74 3,1205 1, ОООО 1, 0005 1,0021 1,0047 1,0084 1,0!32 1,0191 1,0261 1,0343 !.0438 1,0545 1,0666 1,0801 1,095! 1,1!16 1,1299 1,1500 1,172! 1,1963 1, 0000 1,0006 1,0023 1,0053 1,0094 1,0!48 1,0216 1,0296 1,0391 1,0502 1.0629 1,0775 1,0940 1,1128 1,1340 1,!581 1,1853 1,2164 1,2518 1, 0000 1,0010 1,0042 1,0095 1,0171 1,0268 1,0389 1,0535 1,0706 1,0905 1,1133 1,!392 1,1686 1,2016 1,2387 1,2803 1,3268 1,3790 1,4373 3[о [гл, ч!~ РелятиВистские ИОпРАВки 3.
Вычисление константы В сверхтонкого расщепления. Взаимодейсгвие электрона с электрическим полем Н' = — — еф (27.38! не содержит дираковских матриц а, р, поэтому при вычислении константы В можно исходить непосредственно из выражений (23.8), (23.9]. Отличие от вывода 9 23 состоит лишь в том, что теперь г/ ОА <у[ут[Ч„[,77т> =~и,* 1)„~ 7)и, е[т= = [[ ~ "ФрлЧикфут е[т + ~ ХПАЧи9Хуь е[т~ = = ) ) д*г 'г'г)г(77т [ С„[17т)+ ) у*г 'г'г)ггЦт [С„[7рп>~, (Уу'[[Ч, [[Уу) = = ) кг 'г' Лг[е!У[[ С, [[е[7)+ )уг 'гс!г [еЦ[)С, [[е[/). (27 39) из (27.39) и (23.14) следует Зе' В=- !бг [27 !) .
[., ! ~(ьУ +7 ) г 'г'е[г. (27 41) Формулы (27.41), (23.52) отличаются лишь радиальными интегралами Используем для радиального интеграла в (27.41) приближенное выражение (27.3) [ы)' ~,) е л ! С~ [ 'ее )' 2(2х — 2) (2х — !)+чав', (27.42) ~,ео/ (2у+2) (2у+ !) 2у (2у !) (2у 2! Формулу (27.42) удобно переписать в следующем виде: ~ аь ) ! [2! + !)[2! + 2) ' 77„—,, [Зх[х — 1) — у + 1).
! [2!+1) (!+ 1) (27. 43) (27.44) В нерелятнвистском приближении (х= 7, у = 7, сее =О, С = ) г л'а, В,= 1 и формула (27.44) переходит в (23.52). Фактор [с, носит название релятивистской поправки к постоянной сверхтонкого расщепления В. Значения фактора В, для состояний ! = 1 приводятся в таблице 72 (см.
также рис, 25). Подстановка (2?.43), (27.44) в Поскольку приведенный матричный элемент (еУ/[[С,[[а[7) не зависит от[и (е[/[[С [[И/) = (е)7[[ С [[е[7) = — 4 [/ .—., (27.40) и 27) Рьлятивнстскик попгликл (27.41) дает В = ' Ку. (2?.45) 3 ((7а, ')2' !!г ва*! (2! — !) ! !1+1) (!+1) (!+ — ) ! 2/ Если постоянную С в (27.43) выразить через постоянную дублет- ного расщепления ~!, то 3(!)а, ') !7, ва'И(2! — 1) (!+1) Н„~!' (27. 46) (эффект объема).
На рассто(г(г) не является кулоновским. 4. Изотопический сдвиг уровней яниях г порядка размеров ядра поле Будем считать, что йе' И(г) = — — ' г Ле' (г (г) =1а — '-, г г)г„ г -г„ (27. 47) (-;„° )" Ы!а~га+",)'л ) Л 1 1 — -+ — ) гУ='( (Š— Е;) — а — ) гК, ~дг г ) (вс г у И- — — ) =й(Е+Е+и)+ ЦгГ, 1 („— + — ) гГ=~ —.(Š— Е,+и) — и — ~гО. (27.48) (27 49) Умножим уравнения (27 48) и (27.49) соответственно на гЕ, — гО, — г(, гд. Складывая затем все четыре уравнения, получзем — !'(Га — Ог) =~-'г'(7Г+ьаО) (27.50) г', ( Е (г,) ~а(г,) — О (г,) 7 (г,)) = ~-' ~ (~Г+ аО) г' г!г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
