1626435900-2be340c6a244b99156a9dca9d508df44 (844337), страница 49
Текст из файла (страница 49)
! два значения /+ —, / — —, — одно четное и одно нече~нов. Волно- 2' 2' вые функции и, „имеют вид и 26) 291 ЦЕНТРЛЛЬНОЕ ПОЛЕ ()редставим волновую функцию ио„в виде суммы и);,„+ ие. <е) (е) и)'," =- ( г"); и,",,',.=- ( ). Тогда 1'и)1„=1(1 —, 1) и)," +1(1+ 1) и„" = =1(1+ 1)и)у + (1(1+ 1) — 1(1+1)) и)",)„. (26.39) — -)- — ) гК (г) = — ( Е+ Е, — 1') гу (г), (-- ) Д х) 1 Лс и х ) ! — — — ') гг" (~) = — — (Š— Š— (г)г (г), ~ е (26.40) ! +2' ! 2 (26.41) которую можно получить, подставив (26.38) в (26.35).
Если )г(г)- О при г оо, Яе' )е(г) — — — при г О, г то функции д(г) и г" (г) лолжны удовлетворять граничным условиям гд ) О при г О, )и( ) тес оо при г оо.) гу (26. 42) у функции и) м отличны от нуля лишь малые колшоненты )(,;„. Г!о)е) /и ) этому при малых скоростях электрона ( — ) (( ! второй член в(26.39) (,с ) ги ) мал (примерно в ( — ) раз меньше первого), и с той точностью, ко(с) торая соответствует пренебрежению малыми компонентами )( по сравнению с ф, имеет место сохранение абсолютной величины орбитального момента. Таким образом, в нерелятивистском приближении индекс 1 приобретает смысл орбитального момента. В общем же случае релятивистских скоростей понятие орбитального момента ие имеет физического смысла. Напротив, понятие спина не связано с каким-либо е 3 приближением, так как оператор в =- — как всякая константа ком- 4 мутирует с любым оператором, в том числе и с гамнльтонианом (26.36). Что касается а-компоненты спина, то она является сохраняющейся величиной только в нерелятивистском приближении.
радиальные функции д(г), у(г) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений 298 (гл. Яц РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОПРАВКИ Поскольку угловые части функций ф и )( в (26.38) нормированы, из общего условия нормировки ~~ и,'П,И =~(ф"ф+у»)()цг =1 следует ) (д + у') г'г1г= 1. Граничные условия (26.42) обеспечивзют существование этого инте- грзла. Асимптотическое поведение функций е, г' определяется систе- мой дифференциальных уравнений — (гд) — — (Е+ Е,) гУ'= О, 1 вс — (гУ) + — (Š— Е,)гд= О. 4 1 лс Общее решение этой системы имеет вид ги(г) = С, е' "+ С,е'гг, гх'(г)= ~/ ' . (С,е ' — С,ег ), (26.44) Л,= — у' Е',— Е', Л,= — — (гг Е„' — Е'. ~ Решения систелгы (26.40) при г со должны совпадать с (26А4). Это условие, дополненное условием нормировки, позволяет определить постоянные С„ С,. Решения системы (26АО) занисят от энергии н момента электрона, поэтому С„ С, являются функцией двух параметров Е и х.
Из (26.44) следует, что решения системы (26.40) обладагот существенно различными свойствами при Е)Е, и Е(Е,. В первом случае Л„Л, мнилгы н функции гсг(г), гу(г) ограничены при шобом значении Е. Во второлг случае Л, и Л, вещественны, причем Л,)0, Л,<0, Если СгФО, то члены, пропорциональные ет', при г оо экспоненциально возрастают, поэтому необходимо потребовать, чтобы С,(Е, и)=0. (26.45) Таким образом, прн Е)Е, спектр Е непрерывен, а при Е(Е,— дискретен. Возможные уровни энергии определяются корнями уравнения (26.45).
4. Кулоновское поле. Уровни энергии. Подставляя в (26АО) гег (г(г) = — —, имеем г — + — ) гд(г) = ( — (Е, + Е)-(- се — ~ гУ (г), ( ) =( 21 вс ( — "~ =1 (26.46'1 (Ьс — — — ~ гу (г) = ! — (Š— Е) — а — ), г с (г) ь (гл. щз 300 РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОПРАВКИ 7 = О, 1 За, Зр, и = 3 7=1, зр, за, 7=0, 1 4л, 4р> 7= 1, 2 4рз 4дз 7=2, 3 4г(з4Рз 4г, з (26 ИЗО) Вычитая из (26.50) энергию массы покоя Е,=лзс' и учитывая, что ьыз гх глс = —. йз получим с точностью до членов порядка ссзкз азиз/1 3'з1 Ез Ж'=Š— Е = — ) 1 -ф- ~ — — — ~ ! — Ку = з ~( н (~» 4н71 и 2 (26.
51) Первый член в (26.51) представляет собой нерелятивистское выражение для знергии (формула Бальззера). Вторым членом определяется тонкое расщепление уровней. Тонкое расщепление, как зто уже огмечалось выше, не зависит от Е Существенно, что вырождение по 7 не связано с приближенным характером формулы (26.51), поскольку (26.47) также зависит лишь от / (от й) и не зависит от Е Все уровни л, Ф (й+и) двукратно вырождены по Е Учитывать в разложении (26.50) члены более высокого порядка по ссе, в частности члены порядка а'л', не имеет смысла.
Зело в том, что уравнение Лирака (25.11 не содержит взаимодействия электрона с его собственным полем излучения. Это взаимодействие Для легких ядер Е(<137 можно получить приближенное выражение для энергии, разложив (26.47) в ряд по степеням ал 30! 6 26) ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПОЛЕ приводит к так называемым радиационным поправкам, которые для неболыпих значений Е превышают Куа'Р' (но меньше, чем Куа'л']. По этой же причине формула (26.47) в той же мере не точна, что и приближенная формула (26.51). Для тяжелых ядер отличие формул (26.5!), (26.47) становится существенным.
В приближении (26.51), т. е. с точностью до членов /и!' 1 порядка ( — 1! включительно, расстояние между уровнями 7' =1+— (,с) 2 ! и,/" =1 — — равно 2 апг4 л'1(1+ !) (26.52) Вместе с тем из точной формулы (26.47) следует (х' = 1+ 1; (е' = =1+1; и"= — 1; Фп=1; у'=Ф к' — а'л'! у"=Ухп — а'л') ! 1 Разность у в 14 мала по сравнению с и, поэтому 1 1 л' — 2л (у — л) (л+(у — л!)4 лч+2л(у — !4) л' Подставляя это выражение в (26.53) и разлагая корни в (26.53) в ряд по степенял4 а'Е' получаем Епь — Епа" — „, (у — у — (е +(е ) = — „4(у — у — !) (26.54) Отношение величин (26.54) и (26,52) равно ЕЬР Епь" 21 К+ !) )у — У вЂ” 1) ЬЕ';, /1 апй = Н,(Ы).
(26.55) Таким образом, Е,А — Епа =ЬЕК;-Н,(1Е)=, + ! Ку. (26,56) а474Н,(17) Величина Н,(1Е) носит название релятивистской поправки к формуле дублетного расщепления. Значение Н,(1е.) при 1= 1 приводится в таблице 72 (см. также рис, 23). Для малых значений л Н„(Ы) практически совпадает с единицей, Так, для л = 1, 2, !О значения Н,(!л) соответственно равны 1,0000; 1,0001; 1,0023. При дальнейшем увеличении е. Н, возрастаег, достигая для самых тяжелых ядер значения 1,25.
302 РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОПРАВКИ [гл. чп где 22г 7Е =[и[ 1ч'а, ' (26.59) у = )гги' — т = Рг[г' — ц'г', 1 /Г (2у -[- а — а+ ! ! 7 22 ') ' . ПГ (2у+ !) У (а — а)!8Л'(1у — х) (,Иа,) 1(1 =- ~ГГ И' — 2 (П вЂ” 7Е) [а — '[Г Пв — я'а'1. (26.60) Прежде всего выясним, в каком соотношении находятся функции (26.57), (26.58) и шредингеровская радиальная функция )с„,(г) нз (2.18).
Положив па = О,и = и= 1, имеем й7= п, у =1 Г(2у+п — [с+1)=(п+1)!, Г(2у+1)=(21)! ! (а+1)! 7 22 ') в и (21)~ (а — 1)!8а(а — 1! 'Ч лав/ (26.61) Кроме того, для функции г(а, р, х) имеет место рекуррентное соотношение г(п+ 1, р, х) — г(а, р, х)= — г(а+1, [)+1, х), (26.62) с помощью которого получаем в Зв (21+!)! г' (а — 1 — 1)!2а(,аа ) (,ла х Г( — и+1-[- 1,21+. 2, — ); /,„(г) — О. (26.63) 22г1 аа„) Рассмотрим, далее, поведение функций в„„, г„„при больших и малых значениях г, ограничиваясь случаем легких ядер .3((137, иЕ((1, М = и — — я'Л'. 2М Сравнение формул (26.57), (26.58) и (26.63) показывает, что во всей области о ) 1 отличие функции ьа„„от 77„, крайне невелико.
5. Кулоиовское иоле. Радиальные функции. Радиальные функции дискретного спектра д„„(г) и /'„„(г), уловлетворшощие системе уравнений (26.46), а также граничным условиям (26.42), имеют вид 17„„(г) = 1 = — С,Рг4п' — гв'У.'е * От '( — (п — а)г"( — и-[-[в+1, 2у+1, О)— +(М вЂ” и] Г( — п+ [е, 2у+ 1, О)), (26.57] в ,г„„(г)= — С,чае ' 'От '((п — а)Р( — и+и+1, 2у+1, О)+ -[-(М вЂ” х) Г( — п-[-7е, 2у+ 1, О)), (26.58) 2 26) 505 центгьлъное поле Отношение ((пл по порядку величины не превосходит и»Я', Такой же порядок величины имеет в этой области и отношение 1»» кп При малых значениях г д„„сгэ ( —,); 7'„„сеэ ( — ); Рс„,сел ( — ) . (26.64) Нетрудно показать, что для состояний 7=1 — —, у=!х!=1 1 2 ' (26.65) также растет с уменьшением г, но медленнее, чем в случае 7=1 — —.
! 2 1 При у= — в обоих случаих 1=0, х= — 1 (состояние е, ) и 1= 1, 2 (х=! (состояние р, ) функции д„„и г„„иллеют особенность в начале координат, поскольку у=!х1(1 —, ) =(1 — — ); у — 1= — —. Такил! Образом, для легких ядер Е((!37 отличие функций»*„» и (д„*„.+~„'„) от (7„'г пренебрежимо мало всюду, за исключением области малых значений г. Для больших значений .е.
(сее ~ 0,5) различие становится более заметным. Расслштрим теперь несколько подробнее область малых значений г. При достаточно малых г во втором из уравнений (26.46) можно е'2 пренебречь членом Е,— Е по сравнению с —, Исключая затем д(г), получаем У»+ —,7'+ ( —,+(1 — у') —,, ~7 =0, 3, (22 ! 1 1, х (гу) + — У пе пе (26.66) (26.67) /22г'» В области а»2(( ( — ) ((! разность (㄄— (7„, не превосходит хе(7„о Для меныпих значений г эта разность быстро возрастает.
1 Для состояний ('=-1+ — „, у=!и!=!1 — 1! разность д„,— (7„( 304 (гл. Рн РелятиВкстские ИОИРАВки Решение уравнения (26.66), удовлетворяющее граничным условиям (26.42), имеет вид 7(Г) =сонз(Г э' „( )I — ), (26.68) гае д,„ †функц Бесселя первого рода. Используя известную формулу дифференцировзния бесселевых функций л7Р р — = — — у +у ах х Р Р н обозначая постоянную в (26.68) через Сил, получаем (26. 71) Сравнение формул (26.72) и (26.73) дает С=- — Сз(в+Х вЂ” й — х)Г(2У+ 1) бг (2Л)' (26.74) 8 27.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
