1626435900-2be340c6a244b99156a9dca9d508df44 (844337), страница 48
Текст из файла (страница 48)
В качестве этой переменной удобно выбрать величину г-компоненты ! 1 спина. Таким образом, р принимает два значения †, , ††, . Если 2' 2' электрон находится в состоянии с определенным значением р =)л„ то (25.34) Ф(г )л) =ф(г) 5М.) 1 ! Между значениями функции л)л(г, р) в точках М= —,, — — и ком- 2 понентами и„и, имеют место очевидные соотношения лр (г, ~) =и,(г); лг(г, — 2) =и,(г).
1О И. И. Сьвмхлил )гл. тн 2ОО РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОПРЛВКИ Г! ! ! 1 Спиновые функции 6 ( —, р) и 6~ — —,р) взаимно ортогональны (2г) ( 2!) (22) ( 22)+ ( ' 2) ( 2' ') ф !г) Ь( — р); ф !г) 6 ( — — р) . й 26. Центральное поле 1. Нерелитивистское приближение. Положив в уравнении Паули — е~р = У!г); А = О, гт'= О, получаем ()У вЂ” !.) —,Р'-) ф =О; !26.!) это эквивалентно двум независимым уравнениям для двух компонент ф ( рй ! 'йг — У!г) — — ) и =О, 2т) !26.2) В отсутствие вне!Инего магнитного поля и, и и, удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера. Это связано с тем, что гамильтониан 2 + !26.3) не содержит спиновых операторов а.
Отличие состоит лишь в том, 1 что в состоянии и г-компонента спина р равна †, а в состоянии и 1 2 ' й 1 она равна — —. Поэтому и, и и, можно получить, умножив решение уравнения (26.2) йы (г) у,„,!!Кр) !26. 4) соответственно на 6 ( — )!) и 6 ( — — )ь) ~2 г' ), 2 и,=й„,!г) );, «р)6(2 !!) Е.Л )ОГ, [ЬИ Ь ( Р) !26.5) поэтому произвольная волновая функция ф(г, р) может быть представлена в виде линейной комбинации функциЙ 9 26) ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПОЛЕ 291 Общее решение уравнения (26.2) имеет вид )гс,б ( —,' р) ф = 1'~й(г) 1 йю (Ойр) ~ ')Сб( — — 'ц) 2 (26 6) При С, =1 и С, =-О (26.6) определяет волновую функцию состояния, в котором звданы е-компоненты орбитального люмента лйй и спина )й, ! причем )й = 2 , = 77.,( ) ...(8 )(,,) .
/1 1 (26. 7) Если С,=О, С,=1, то /О'1 Ф, й = 1йй„й (г) )йгййй (Ойр) (1) . й' (26.8) В общем виде можно записать фм, = 77„й (г) ~'й (Ойр) й7Р, (26.9) где йй — спиновые фунхции, являющиеся собственными функциями оператора гй. Эти функции имеют вид й72=(О)' Р =(1). (26.10) Частным случаем (26.6) являются также волновые функции ф . й й 'й й/ш собственные функции операторов т, в, у и 7',(через у обозначается полный момент электрона: у = 7+в). Используя общее правило построения волновых функций, при сложении моментов получаем ф„= ~ С~, ф„,. = — ййй,(г) ~~'„С' );„йг, = +Р =йй йй +, ййй (г) С 2 й ) / ~+С 1 Г ! е й'О ') ~ -- — --() --- — ---~Ю й й й й' й ''й нли /С',, у,((йр) ') фйу =-77.
(Т) )С',, У,(()ф) ' (26. 11) Поскольку волновые функции (26.4) нормированы, коэффициенты С„ С, подчинены условию )С,!'+~С,~*=1. 1гл. ин 292 РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОПРАВКИ Входящие в (26.!1) коэффициенты Клебша — Горлана определяготся следующими формуламн: — ~ à — рл)— 1 !+ гл+ —, 2 2! 2 1 ! — гл+— 2 21+! 1 !+т+— 2 2!+! С,, =(à —, гл —— г' г Г 1 У=Г+ —., у=! —— 2 ' 1 г / ! 1 С,, =(ГГ т+ —.
— — (, 2 2' Г (26.12) у=!+в 1 2 1 Г=à —— 2 2. Второе прибливкение по — . Тонкое расщепление. Под- с ' ставляя в (25.28) функцию у из (25.27) и сохраняя члены порядка йг )с ( — ), можно получить г) (,с) — 2"" о3р)+4'" А,р~гр О (26 !5) В случае центрального поля это уравнение приобретает вид Ъ ЧУ вЂ” $'(г) — ~ — -)- г',,— и" о~Яр) — —,, А)г) ф=О. (26.1й! ! Последние три члена в (26.1б) (26.15) ') При выводе этого уравнения возникают трудности с нормировкой йь В условии нормировки точной теории ~ (грг гр+уг т) гГТ=1 член )(' х имеет поряаок !1 — у! гр гр и поэтому в рассматриваемом приближении не может '1с ) быть опущен. Именно при корректном учете этого обстоятельства уравнение /ой' второго приближения по!1 — ) приобретает вид (26.13). Подробное обсуждение (с ) этого вопрога см.
А. И. Ах и е зс р, Б. Б. Бе ре с тецк и й, Квантовая влектродинзмика, Физматтиз, 1959. 293 8 26) центгхльное поле 1и А' определяют попрзвки порядка ( †) к нерелятивистской теории. (,с ) Первый из этих членов учитывзет зависимость массы электрона от скорости. Второй член — — [бр[ = — 2р,з 2 — [5, [ ро (26. 16) дает спин-орбитальное взаимолействие. Подставляя в (26.16) Последний член в (26.16) не имеет классического анзлога и поэтому не может быть интерпретировзн с помощью каких-либо наглядных представлений. Оператор (26.15) коммутирует с опера|орами 1', з', у', у'„ но не коммутирует с оператором 1, поэтому уравнение (26.14] не имеет решений типа (26.6) с произвольными коэффициентами С, и С,, В частности, невозможны стационзрные состояния ф „, в которых однозначно определены е-компоненты гло р орбитзльного момента и спина электрона.
Только при вполне определенном выборе этих коэффициентов, таком, при котором функция ф является собственной функцией операторов,1', 1, (26. 18) можно удовлетворить урзвнению (26.14). Функггия (26.!8) описывает стационарные состояния, в которых заданы абсолютные величины моментов з, 1,,1 и е-компонента полного момента лг. Подстзвляя (26.18) в (26.!4), нетрудно получить радиальное уравнение для определения Й (г). Это уравнение отличается от радиального уравнения первого приближения (уравнения Паули) /ить для функций 11„,(г) членами порядка %'~ — 11 . Поэтому для определения функций Й(г], а также соответствующих уровней энергии, можно воспользоваться теорией возмущений.
1 . 1 Легко видеть, что состояниям 1=1+ — и /=1 — —, соответ- 2 2 ствуют различные уровни энергии. Это следует хотя бы из того, что радиальные уравнения для этих состояний различны. и используя определение орбитального углового момента л1[е)э[, получаем (26.17) (гл. а и 294 РелятиВистские пОпРАВки (26.2!) (26.23) (26. 27) Действительно, "'~ют — 2 (У вЂ” ' — з )'Ргут = —, ~Ю+1) — 7(7--1) — а(з+1)(= 7лр, 7= 7+ —, 1 (26. 19) + Таким образом, под действием возмущения (26.17) уровень лг 1 рзсщепляется на два подуровня 7= 7 ~- †. Это раснгепление носит 2 название тонкого. Величина тонкого расщепления определяется, очевидно, разностью поправок ЛЕ , и ЛЕ ,, причем п»=г+— л»=1 —— 7тЕ„, = ЛЕ„»+ 7АЕ„»-(- ЬЕ„;, (26.
20) (' ЛЕпц = Зл,лсл ) прпцтр Фп(уа аг, [26. 22) ал Р 7)Епц = 8 л л ) лгпцтлл)'пгпцт ГГГ Прежде чем перейти к вычислению этих поправок, покажем, что 7),Е„» отлично от нуля только для а-состояний (7=0). Действительно, ЛЕ„„ пропорционально матричному элементу Л~р = — 4пр, где О— плотность ззрядов, создающих поле. Если поле создается ядром с за- рядом Ее, то О = Ееб(Р). Поэтому иалллл Р пе'~»,' ~ гАЕпц 2тллл ) лрпцтб (г') лрпцт г(г 2 л ' ~ Флца (0), (26.24) а (ф„» (0) )' ~ 0 только при 7=0.
Таким образом, в случае 7 ~ О ЛЕ„» — — КЕ„„+ ЬЕ,». (26.25) Вычислим поправки (26.20) в случае кулоновского поля Р'(г) = Ле~ = — — (атом водорода и водородоподобные ионы). Вычисление (26.25) г уже было проведено в ф 4. При 7~ 0 з г' Е.ц= — и ( —,— 4 — (-г)гу, — Г ! О + 1) — 1 (1+ 1) — л (а+ 1) л' Е„ц=а —, )(у, 21(1+П(1~. ' ) 2/ ,(З 1 г 7АЕ„» — — гтЕпц+ гтЕ„Ц =и' ~ — — — ) —,)(у. (26.28) 2 6 26) 295 центглльное поле Кроме того, в этом случае выражение (26.27) теряет смысл, поскольку и числитель, н знаменатель (26.27) обращаются в нуль. Эту неопределенность нетрудно устранить.
Выше цри выводе (26.(4) было использовано приближенное выражение (25.27) (26.30) в то время как точное выражение имеет вид а (ср+еА) )(=Е ).Е „Ф. (26.3)) Если основной вклад в интеграл дает область малых значений г, Лез для которых условие тс')> — не выполняется, в знаменателе (26.3!) г членом !'(г) пренебречь нельзя. Сохраняя этот член, получаем Г з дзр ! 21а ~ Ь д ф""" д. ° (2тр — и )) ~"з "~' = — — с! зрт1т — — 1з ( ! + — — ") ф ! Нг.
(26.32) тс,~ дг г (, 2 г ) Радиальный интеграл в (26.32) конечен, поэтому прн 1=0 (26.32), в отличие от (26.27), обращается в нуль. Следовательно, при 1=0 имеем , ! 3)2з тз 1зЕ з.= з5Е„а+ЛЕсзз = — а' ' 2 — — ! —,Му+а' —,)су = лз 3 ! Лз 4 )' лз ЙУ. (26.33) Это же выражение можно получитьз подставив в (26.28) ! /= — —.
Таким образом, при всех значениях 1, включая 1=0, 2 3 ! 2з ЛЕ„з =аз / — — — ( —, КУ. 1=О, (26. 34) Существенной особенностью этого выражения является независимость /ст' от 1. Релятивистские поправки порядка ( — ) приводят к расщепле(,с) нию по 7', но не снимают специфического для кулоновского поля вырождения по 1. ()ри 1 =0 к (26.25) добавляется член (26.24), который в данном случае равен (см, формулу (23.3!)) лезслз ! и лез2$з 2з гтез т з 2т'с' ~ 296 (гл. чп РелятиВисгские пОпРАВки 3. Уравнение Дирака. В случае центрального поля уравнение (25.1) принимает вид (Š— 1'(г) — ГйЕ, — аср) и = О. (26.35) Гдмильтониан 71= ~Е.-В р( )+~ р (26. 36) (26.37) 1С',, у, (йф) 1 йй — —, — ййй —— й'й й С',, 1', (ййр) ' йй+ — .
— — ййй+— й ' й й (26.38) РС1,, ?', (6ср) и — -', — ' йм--' й'й й )(й~.= У'(') С, ,)с, лр йй + —, — — Ой+в ! ! где 1=2/ — 1. При /=1 р —, 1=1+1, а при 1=1 — —, 1=! — !. 2 ' 2 ' Легко видеть, что волновая функция (26.37) не является сооственной функцией оператора 1'. Действительно, 1*ф„„=1(1+ 1) фа.! 1'уи„=1(1+1))(„„, 1'и„~1(1+ 1)и, „.
поэтому не коммутирует ни с компонентами орбитального момента 1, ни с 1й, Поэтому уравнение Дирака (26.32) не имеет решений, являющихся собственными функциями оператора 1*. Вместе с тем гамильтониан (26.36] коммутирует с операторами 1й, Уй и оператором инверсии. Это указывает на существование решений и~, описывающих ста— ционарные состояния с заданными значениями квадрата полного момента 1 и его г-компонент!э т. Каждое такое состояние характеризуется также определенной четностью. В нерелятивистской теории четность однозначно определяется значением орбитального момента !. ! Г1ри четном значении 1=1'+- — состояние 1, ш четно, при нечет- 2 ном — нечетно. В данном случае орбитальный люмент электрона не определен. Тем не менее удобно характеризовать четность состояния индексом 1, который при заданном значении / принимает ! .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
