1626435900-2be340c6a244b99156a9dca9d508df44 (844337), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Аналогичным образом объясняется смещение линий изотопов „Щ" ,и „Хд,',". ') См. Г. К о пф е р м а н, Ядерные моменты, ИЛ, 1960. ГЛАВА Ч!1 РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОПРАВКИ' ) я 25. Уравнение Дирака О 0 0 1~ 0 ΠΠ†! 0010! 0 О! 0 !0100)! ая (Π— ! 0 О/! ~1 О О Ох ! О О 0 О О! О !О О ОА 0 00 — 1 )01 0 О( — ОО О('Р=)ОΠ— 1 О). 0 — 10 0 00 0 — 1l (25.2) Члены Е и еср в фигурных скобках в (25.1), не содержащие а и (), предполагаются умноженными на единичную матрицу А Волнован функция и, удовлетворяющая уравнению (25.1), также представлиет собой четырехрядную матрицу -(:) (25.3) '! В теории атомных спектров необходимость учета релятивистских эффектов возникает крайне редко, а сами эффекты играют роль малых поправок. Поэтому ниже излагаются лишь основные сведения об уравнении Лнрзка для электрона в кулоновском поле, необходимые для понимания метода вычясления этих поправок.
По той же причине з этой главе совсем не рассматриваются вопросы, связанные с взаньюдействнем электрона с полем нзл1чення, например лзмбозский сдвиг. Эти очень важные в принципиальном отношении вопросы не имеют большого практического значения для спекзроскопнн. Подробнее о релятивистских эффектах; (Б С,); А И А х н е зе р, В. Ь. Б е р е. ст е ц к н й, Квантовая электродннамика.
Физматгнз, !959. 1. Уравнение Дирака. В релятивистской теории стационарные состояния электрона в произвольном электромагнитнол! поле, характеризуемом потенциалами гр, А, опрелеляются уравнением Диракэ (Е+егР— "ГзЕ,— а(гР+ еА)) и =О. (25,1~ В этом уравнении Е, = глс' — энергия массы покоя, р = — !(ьЧ вЂ” оператор импульса, а„, а, а, и () †матри (гл. тп 284 Релятивистские попелнки В уравнении (25.1) принят Например, 4 (ри); = ~ р,.~ил,' (и ))), обычный закон умножения матриц, ивы, '(ини) = ~~Р ~иеиы (25.4) Таким образом, в релятивистской теории состояние электрона характеризуется четырьмя функциями и,(г), и,(г), и,(г), и,(г) — компонентами волновой функции и. Уравнение (25.1) представляет собой систему четырех уравнений относительно этих функций (Е+ егр — Е,) и, = =(ср„+ еА„) и, — с(ср + еА ) и, +(ср + еА,) и„ (Е+ еср — Е,) и, = =(ср„-'-еА„)и,+1(ср + еА ) и,— (ср„+еА,)и„ (Е+ егр + Е ) и, = (25.5] =(ср„+ еА„)и,— с(ср +еА ) и,+(ср,-(-еА,) и„ (Е гг еср + Е,) и, = =(ср„+еА„) и,+1(ср +еЛ ) и, — (ср,+еА,)и,.
Согласно (25.4) вероятность того, что электрон находится в элементе объема с(г, равна с(г ~~'., и„исе 4=1 (25.6) Аналогичным образом обобшаются остальные соотношения нерелятивястской теории, в частности формулы теории возмущений. К интегрированию по координатам, как это имеет место в шредингеровской теории, добавляется суммирование по компонентам и.
Так, матричный элемент некоторого оператора Н' определяется следующей формулой: йи" )Н')и> = ~ ) и;Н,„и с!г. ь е=~ ;1 О О О 20 01 0 !'о ! о о)) ~)о о о — !'( ~ар=~О О ! О("р: сс"А =~ ! О О О)еА' (2~8) 0001 (о — )о о Уравнение (25,1) можно записать также в несколько иной форме. Выразим матрицы а„, аг, а, через двухрядные матрицы Паули па=(! О) ° =(с' о) ' (Π— 1) ' (25'О) Имеется в виду, что оперзтор Н' построен с помощью дираковскпх матриц хс, р и единичной матрицы Е Такими операторами, например, являются 285 и 251 УРАВНЕНИЕ ДНРАКА матрицу р через двухрядную единичную матрицу, которую мы обозначим, так же как и четырсхрядную единичную матрицу, носредствол! у .=(.":): =(О -У) (25.
10) Введем тзкже двухкомпонентные волновые функции =(::) =(":) ' =© (25. 11) где С, Š— произвольные векторные операторы. В частности, при е»=Е (ор) (ор) =Г*. (25.14) 2. Спин электрона. Для удобства интерпретации преобрззуем уравнение (25.1) в дифференциальное уравнение второго порядка. Подействовав на (25.1) оператором ! Е+ с<у+ 1)Е,— а(ср+еА) ) и используя (25.14), (25.13), а также перестановочные соотношения для матриц а„=а„а =а„а,=а„р =а, а, а„+ а»а; .=- 25;», (25.15) нетрудно получить ! / е т» ! Е+ егр — Е,— — ( р+ — А) + —,(Е+ е!р — Е;!'— ел .
ед — — ХН+ ! — а$ ( и = О, (25.16) 2»!с 2гле где 5, Н обозначают напряженности электрического и магнитного полей $ = — 7гр; Н=го1 А Подставляя (25.10) (25.11), в (25.1), получаем систему уравнений относительно двухкомпонентных функций »р, )( (Е+ егр — Е,)ф+о (гр+ еА) )( = О, (Е-; 'е!у+ Е,))( —,' о(ср+ еА) ф= О. (25.12) В такой форме записи, как это легко видеть, объединяются первое и второе, а также третье и четвертое уравнения (25.5). Отметим, что а, а также о не являются векторами в обычном смысле, поскольку а„, а, а,; о„, о, о, не ззвисят от выбора системы координат. Обозначение оперзтора а„р„+ а рх + а р ух ее посредством ар (и аналогичное обозначенве других операторов того же типа) представляет собой лишь удобную форму записи.
Из определения матриц о следует тождество (об) (оЕ) = с»Г+ го (геР'), (25. 13) 286 (гл. тп Релятивистские понглвки (25 17) Š— тс' = )к' поэтому три первых члена уравнения (25.16) содержатся в релятивистском уравнении Шредингера (25.19). Последние два члена ел . ев — — 2Н и ! — аь 2тс 2тс характерны именно для теории Дирака. Только эти члены содержат матрицы с' и а. Первый из этих членов можно интерпретировать как взаимодействие магнитного момента еб ! )ь= — — а = — 29 — Х 2л!с ' 2 с магнитным полем, второй — как взаимодействие электрического ел момента — ! — а с электрическим полем.
йет Рассмогрим несколько подробнее первый из !ленов (25.2!), для чего введем матрицы е„, е, а„ определив их соотношением 2 2(Оо) (25. 23) (а 0) Сравним уравнение (25.16) с уравнением Шредингера, соответ- ствующим релятивистскому гамильтониану Н= — е!р-Р )/ с' (р+ — А) + т'с'. С Разлагая корень в(25.!8) в ряд по степеням —, имеем с Н+ е!р = тс*+ — (р+ — А) —,, (р+ — А), 2т (, с,) 8т'с' ( с ° (Е+ егр — тс') — — (р+ — А) +,,(р Р— А) ~ ф == О.
с При — 0 (2о.19) переходи~ в обычное нерелятивистское уравнес ние Шредингера ( (Ут+ р — ~~ ) !Р = О, (25.20) В приближении (25.19) с' (р+ — А) = (Е+ егр)' — т'с' =(Е+ егр — тс') (Е+ егр+ тс') = (Е+ е!р — тс') 2тс', е ° 8т*с' ( с ) 2тс' — ! р+ — А ) — (Е-Ргр — тс ) 287 8 25) УРАВНЕНИЕ ДИРАКА Эти матрицы удовлетворяют перестановочным соотношениям а» у» у»э» гх» (25.24) Поскольку для системы с угловым моментом й оператор бесконечно малого поворота есть 1 + 16!!Им и орбитальный момент в рассматриваемом случае равен нулю, из (25.24) и (25.25) следует, что матрицы э= —,, Х являются оператором собственного момента количества движения электрона— спина.
Подставляя в (25.25) двухкомпонентные функции ф и получаем ф=(!+ —,,' 50 ) ф, (25,26) )( = ( 1 + — Йаа ) )('. Таким образом, компоненпи и, и и, функции ф прн повороте системы координат преобразуются друг через друга, не затрагивая компонент и, н и, функции )(. Последние в свою о1ередь преобразуются друг через друга независимо от компонент и, и,.
Лвухкомпонентная, функция, преобразуюшаяся при повороте системы координат в соответствии с (25.26), называется спинором. Волновую функцию и, представая!ощую собой совокупность двух спиноров ф и ул называют биспинором. Сравнение (25.22), (25.23) показывает, что отношение магнитного момента электрона к его угловому моменту равно — 2)г„ т.
е. в два раза больше обычного значения 3. Верелятивистское приближение (теория Паули). В слабом поле (еф ((< тг' сушествуют стационарные состояния, в которых п((с. ПРИ этом полнаЯ энеРгиа Е близка к энеРгии покоЯ Е»н поэтому (Е+ егр — Е„) тп' ~ гнс', (Е -г е;р + Г.„) - 2тс', п(ср т РА) - ттс((тс', которые совпадают с перестановочными соотношениями для компонент углового момента. Кроме того, можно покззать, что пря повороте системы координат на угол 5'! вокруг оси, направленной по единичному вектору и, волновая функция и(0) (частица находится в начале координат) преобразуется по закону и (О) =(1 -„'- 75'!пэ) и'(О). 125.25) [гл.
оц 288 Ре.тятивистскиз попглвки и из второго уравнения (25.12) следует )(= — о) р+ — А) ф — ф. 2тс (, с ) с (25. 27) ( ! / е 1' 1 еФ )р'+ егр — — (р+ — А) + — ()о+егр)' — — оН) ф+ 2т( с ) 2тс 2тс + 1,„— о$)(= 0 (25.28) . ед (второе уравнение, связывающее функции ф и )(, мы не выписываем). . ев Член 1 — о$)( по порядку величины равен 2тс — Й11Р)(= — ЕГΠ— ф=ЕГР ( — ) ф е . р о 7о,е тс тс с (с) о Поэтому в первом приближении по — имеем с (Ю'+егр — — (р+ — А) — )о,оН)ф=О.
(25.29) Это уравнение носит название уравнения Паули. Оно является основным уравнением нерелятивистской теории. Отличие от уравнения Шредингера состоит в том, что (25.29) содержит член — р,аН, обусловленный спиною электронз. Таким образом, в нерелятивистском приближении электрон ведет себя как частица, обладающая собственным угловым моментом (25.30) и собственным магнитным моментом — 2ц,а. Состояния движения электрона описываюгся двухкомпонентным спинором ф ()( 0). Компоненты и, и и, спннорной функции ф имеют простой физический смысл. Положив и, =О, имеем 2(0 — 1)(0) 2 (0) 2 (25.31) Если же и, =О, то 2 (Π— 1) (И ) 2 (и,) 2 ф (25.32) Таким образом, при о((с компоненты и„и, малы по сравненщо с и„и,, Это позволяет получить приближенное уравнение относи.
тельно одних только больших компонент и„и,. Проще всего это сделать, исходя из уравнения (25.16). Подставляя (25.11) в (25.16) и обозначая энергию электрона а вычетом массы покоя Š— Е, через )о', получаем 289 $25) УРАВНЕНИЕ ДНРАКА В первом случае функция лр описывает состояние, в ко~ором собствен- 1 ное значение оператора е равно — . Величинз г 2 ' фчф л)г = и, (г) и, (г) л!г определяет вероятность того, что электрон находится в элементе ! объемз Фг и е-компонента его спина равна —, Во втором случае 2 ' функция ф описывает состояние, в котором а-компол!ента спина 1 равна — —.
2 ' функции и, и и, удовлетворяют урзвнениям 1) )Р'+ е р — — ( р + — А ) — )л, Н)~ и, = О, (25.33) Ж'+ебр — — ! р+ — А ~ + р Н) и = О. В общем случае и, ~ О, и, чь О вероятность того, что спин электрона направлен по оси г, равна ~ и,(г) а, (г) плг, а вероятность того, что спин электрона направлен против оси г, равна ) и,(г) и, (г)б(г. Таким образом, индекс у компонент спинора и„ и, играет роль четвертой переменной, определяющей направление спина. В отличие от координат электрона г эта переменная дискретна и принимает лишь два значения. При такой интерпретации вл!есто двухколлпонентной функции ф можно описывать состояния электрона обычной волновой функцией ф(г, р), зависящей от г и от дополнительной спинозой переменной р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
