1626435900-2be340c6a244b99156a9dca9d508df44 (844337), страница 101
Текст из файла (страница 101)
73) где (г„— бесконечная сумма всех членов нечетного порядка Р„(г, г') = ) Дг, (/„(г) О, (гг,) (7„(г,) 6,(г,г') Суы (г') +-... (43.74) В несимметричных представлениях упруго-рассеянных волн 2"о.= оо »1 ='»"оо =О, т. е. оо оо 1 Р— 1 г То»= д ~ Г,(7„7,(уг= — ~ ~ ~,(7„Р;((г. (43.75) о 1 о о При этом поляризация целиком учитывается в функциях от.
Более того, в диагональных потенциалах отличны от нуля лишь члены вто,рого порялка 2'»о (гг') = У„ (г) 0,(гг') (7ы (г') (43. 76) ои аналогично 2'»,. ,(члены более высокого порядка в М" имеют сложный вид). Нужно отметить, что диагональные потенциалы 2'» и (г совпадают во 2-м порядке, а недиагональные — до 3-го порядка. Для иллюстрации различных представлений полезно рассмотреть двухуровневую систему. В представлении искаженных волн Т ампли.туда перехода запишется в виде бо3 9 44) пгивлижвнныв мвтоды Симметричное представление в случае двухуровневой задачи менее удобно, так как приводит к переоценке поляризации, вследствие чего Tч'„ф Ол (43.77г Нужно, однако, подчеркнуть, что подобный результат относима только к приближению двух уровней.
При учете виртуальных уровней симметричное представление может оказаться полезным, В случае неупругого рассеяния значительно лучше использовать третье представление, которое можно назвать представлением двух состояний (ср. раздел 4 9 44). Пусть нас интересует переход Г, Г. Тогда точные волновые функции Рг, и Рг можно представить в виде решений системы двух уравнений: (ж,— у ...,+й1 г,,=(и...+ч ...)г,, '( (.9', б='„'+ л') ~, — (и„", + з „',) г,„. ) Можно показать, что новые потенциалы уз определяются рядом у „,=~ ~ и„,.,„,„, н г,...г„ с~ ~г„г (43.
79) причем для %"гг и У"г,г, справедлива аналогичная формула с сохранением обоих ограничений: Г! ~ Г, и Г; Ф Г. Новые потенциалы У" симметричны по начальному и конечному состояниям. В случае двухуровневой системы все У' обращаются, в нуль. й 44. Приближенные методы 1.
Первое приближение метода искаженных волн. Если ограничиться первым приближением при решении интегральных уравнений (43.55), то из (43.59) получаем О~ Тгг, =еьм з!п т)„Тгг, = — — ) Гг с7ггРг,~й', (44.1) о! ~ . о) 1 р 0 обе функции Рг и Р~, являются решениями двух несвязанных однородных уравнений типа (43.51) с асимптотикой упругого рассеяния (43.33). Как уже указьвалось, эти функции называются искаженными волнами, так как при их вычислении точно учитывается поле (Утили (/гг Другими словами, функции Рг являются решениями задачи Хартри — Фока для электрона в состоянии непрерывного спектра. В этом случае среднее «хартри-фоковское» действие внешнего электрона на атом равно нулю, т. е. задачи самосогласования не возникает.
Таким образом, в первом приближении метода искаженных волн полностью учитывается искажение падающей и рассеянной волн средним полем б04 (гл. х~ возвгжданиа атомов атома, но совершенно не учитывается влияние внешнего электрона на атом. С этим, в частности, связано то обстоятельство, что упругое рассеяние определяется не матричным элементом, а просто фазой волновой функции. Первое приближение метода искаженных волн часто называют просто методом искаженных волн (например, в известной монографии Мотта и Месси). 2. Учет обмена.
В предыдущем разделе, так же как в й 43, как правило, специально не оговаривалась возможность учета обменного взаимодействия. фактически это взаимодействие присутствует в виде обменных членов в потенциалах Угг. (формула (43.41)). В рамках первого приближения метода искаженных волн с учетом обмена приходится сталкиваться дважды. Прежде всего уравнение для Гг(все сказанное в равной мере относится к Рг,) дг У(7+ 1) — — — иг(.)+й*) Гг=о (44.2) окззывается интегро-дифференциальным, что сильно усложняет его решение. С появлением электронных счетных машин эта задача стала значительно более доступной.
В следующем разделе мы остановимся подробнее на некоторых деталях ее решения. Кроме того, обменные члены возникают в выражении для матрицы Тгг,. Но здесь усложнение значительно менее существенно, так как о) обычно сводится к вычислению дополнительно одного-двух определенных интегралов. Отметим, что реальные расчеты почти всегда приходится проводить численно. Задача учета обмена возникает и в любом другом приближенном методе.
Всякий раз она приводит к интегро-дифференциальным уравнениям и, кроме того, к увеличению числа членов в матрице Тгг,. Особенно громоздким становится учет обмена в поляризационных поправках (см. ниже). 3. 0 численном решении ннтегро-дифференциальных уравнений. В настоящем разделе мы будем для простоты опускать индексы Г, ! н т. и. В первом приближении метода искаженных волн достаточно знать функцию Г. В более точных методах приходится определять также функцию Р, входящую в формулу (43.50) для функции Грина. В численных расчетах удобнее вместо Р и Р использовать действительные функции Р' и Р, удовлетворяющие тому же уравнению (Х*+й')Р= ~„", '('+') и()+а*~ Р=о (Р—-.Г' или Г'), но с действительными граничными условиями Г= а'гг+', Р'=а"г г (г О), (44.4) Г' ° а1п (йг — +н, Р ~. соа( йг — +г)) (г ог). (44.5) Гл )п (' 2 9 44) 605 пгивлижкннык методы (44.8) виде ,г у*(г) =2 ~ —,~., — — хю Р (г,) Р(г,) бг, +г"Ь., (Р), г*+' (44.9) ') Г Ф.
Лрукарев ЖЭТФ 31, 288 (1956), ') К. М а г г ! о 11, Ргос. Рйуж Бос. 72, 121, 1958. Из асимптотики этих функций и из (43.53) и (43.50) следует 1 0 (г, г') = — — Р' (г<) Р (г>) — й Р' (г) Р' (г'). Практически функция Р' находится путем интегрирования уравнения (44.3) от точни г =0 до достаточного большого значения г, при котором величиной (!(г) можно пренебречь (при г оь О(г) убывает как г 'или быстрее), но центробежным потенциалом пренебречь еще нельзя. При этом Р'(г)=аг!' (йг)+и гп (йг) .
Аз!п ~йг — — +з)), (44 7) !л 2 где ! и и- — сферические функции Бесселя и Неймана. Амплитуда А и фаза т) определяются по значениям Р' (г) в двух точках (гз) гз! Т (дгз) Р (гз) гз)! (йгю) 18 т)— Е' (г,) г,лу (йгз) — Р (г,) г,иу (йг,) ' Р' (г,) д г, 1! - (йг ) сов т)- - и - (йг) а!о т1) ' з(ля вычисления Р" (г) нужно, вообще говоря, проводить численное интегрирование уравнения (44.3) от больших г к малым, причем предполагается, что т) уже известно. Рассмотрим теперь коротко методы решения интегро-дифференциального уравнения (44.3). Обычные методы численного интегрированияк таким уравнениям непосредственно неприменимы ввиду наличия интегрального оператора типа Фредгольма (т.
е. интеграла от нуля до бесконечности, содержащего искомую функцию), Поэтому обычно уравнение типа (44.3) решают методом итераций. Сначала решается уравнение без обмена. Найденное решение подставляется в обменный интеграл и полученное таким образом неоднородное дифференциальное уравнение решается снова. Процедура продолжается до тех пор, пока новое приближение ие окажется совпадающим с предыдущим с требуемой степенью точности, Такой итерационный метод довольно прост в принципе, но во многих случаях очень плохо сходится, особенно при ) =0 или 1 и небольших й.
Существует другой метод решения таких уравнений, не связанный с итерациямн. Этот метод был предложен Г. Ф. Друкаревым') в представлении интегральных уравнений и независимо Персивалем и Марриотом ') в представлении интегро-дифференциальных уравнений, Метод основан на замене уравнений (44.3) совокупностью независимых уравнений, каждое из которых может быть решено обычными численными методами.
Искомое решение уравнения (44.3) получается затем в виде линейной комбинации решений вспомогательных уравнений, Остановимся иа этой процедуре подробнее. Основные трудности, возникающие при численном интегрировании уравнения, связаны с входящей в (! (г) величиной у! 7(г), которая согласно(43.42) зависит от чбудушегоэ поведения искомой функции Р(г), Запишем уг! (г) в [гл. х« 606 ВОЗБУЖДЕНИЕ АТОМОВ где Ь„[Р] — постоянная, являющаяся линейным функционалом от Р« 1 Ь,[Р[=2 ~ —.,(1 — Ь.а)««) Р(г)Р(г ) Дг«. « Тогда уравнение (44.3) с учетом (43.42) перепишется в виде [~'+Ь«[Р=ХЬ„Е„(г), 0(н)= — [)„г*р(г), (44.10) (44.11) Р= А(Р«+~с„Р„) (44.13) где А — нормировочный множитель. Постоянные с„определяются подстановкой (44,13) в (44.11).
Учитывая линейность функцйонала Ь«[Р), получаем систему линейных алгебраических уравнений для с„ 2Р с„, [Ь„„,-Ь„[Р„,) [= Ь„[Р,). Решая зги уравнения и подставляя результат в (44.13), получаем искомое решение. В наиболее важном частном случае одного значения н "='("' ' ") Ь [Р.) (44.13а) Аналогичный метод в принципе можно использовать и в случае других ннтегро-дифференциальных уравнений, например при учете потенциала ф'з (г) 4. Приближение двух состояний и учет сильной связи. Вернемся снова к системе (43.39).
Опустив в ней все члены, включающие Р«. при Г ~ Г„, получим систему из двух связанных уравнений (44. 15) Эту систему часто называют приближением двух состояний. Первое приближение искаженных волн получается отсюда, если предпо- ') То есть является интегральным оператором типа Вольтерра. причем постоянные Ь„предстоит еще определить. Оператор а' в (44.11) отлнчаетса от с заменой У«гт (г) на Уг) (г) — г"ь„. Пусть теперь Р, и Є— решения не связанных между собой уравнений [Х'+й«[Р,=0, [т+Ь'[Р„=0„(г).
(44.12) Хотя эти уравнения также являются интегро-дифференциальными, но согласно (44.9) оператор й' не зависит от поведения Р (г,) при г, > г ') Численное решение таких уравнений осуществляется теми же методами, что и в случае обычных дифференциальных уравнений. Эти методы хорошо изучены, и подобная задача является сравнительно несложной при использовании электронных счетных машин. Если Р, и Р„(удовлетворяющие тем же начальным условиям, что Р) найдены, то решение уравнения (44.11), а следовательно и уравнения (44.3), представляется в виде э 44) 607 пгивлижвнныв методы пожить, что связь упругого рассеяния с неупругим слабая, и опустить правую часть в первом уравнении: л1 7(7 1 1) лг1 г1 — иг+ й* Ег,=О, ь=иь,л ) (44.16) Можно показать, что при этом ! Р— Тгг, = — — ~ Е (т(т, Ег, ((г (Г+ Г,).
а Ег,= Ег„ (44.17) Этот результат совпадает с первым приближением метода искаженных волн (44.1). В тех случаях, котла по тем или иным причинам можно ожидать наличия сильной связи между упругим и неупругим рассеянием, необходимо решать систему (44.15) точно. При этом Тгг, уже нельзя выразить в виде интеграла, включающего решения однородных уравнений. Лля определения Тгг нужно найти фазы двух точных линейно независимых решений системы (44.15). Такие решения имеют разные значения логарнфиической производной при г= О, а при г оо имеют вид Е --А; з1п (й)г — — ' -(-)1; ) и Е;--В; з!п '()г(г — — ' -)- $(), (44.18) Уравнения сильной связи (44.15) также можно решать с учетом и без учета обмена методом, аналогичным изложенному в предыдущем разделе. 5. Учет поляризации.
Во многих случаях первое приближение метола искаженных волн оказывается недостаточным и необходимо принимать во внимание поляризацию атома. Как было показано в разделе 5 й 43, это можно сделать, либо сохраняя представление искаженных волн, либо переходя к представлению уточненных упругих волн. В первом случае к матричному элементу Т„„, добав- (1) ляется поляризационная поправка в виде Ь Тгг, = — — ~ Ег)'гг,Ег,(уг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
