1626435900-2be340c6a244b99156a9dca9d508df44 (844337), страница 100
Текст из файла (страница 100)
случаях сумма по и содержит очень небольшое число членов. Радиальные уравнения (43.39) надо дополнить граничными условиями. При г =О все Гг(О) =О. Что касается условий на бесконечности, то они зависят от знака Й'. (гл. хо 598 Возвуждение Атомов Величина м' определяется законом сохранения энергии ооод 5 До (43.48) Для энергетически недостижимых уровней (й*(0) на бесконечности отсутствует рассеянная волна. Включение этих уровней в общую систему уравнений соответствует на языке теории возмущений учету полиризации атома.
4. Иитегральиые радиальные уравнения. Для исследования системы уравнений теории столкновений, а в некоторых случаях и для ее численного решения можно перейти от уравнений (43.39) к системе интегральных уравнений. Этот переход осуществляется путем формзльного решения уравнений с помощью функции Грина 0(г, г'), удовлетворяющей уравнению [-Ус+ л ) 0г(г г ) =5 (г — г ). (43. 49) Функцию Грина можно выразить через два линейно независимых ре- шения соответствующего однородного уравнения 0г (г, г') = — Рг (г<)Рг (г>), о1.олог + А ~ о! Рг = о1 Я г + й ~ о 1Рг = О, Рг (0) = О, гт (г) = аг У (г — 0), (43. 50) (43.51) (43.52) То ) Рг е'аз!п (1аг — — + т)), Ä— е ~ ' ~ (А')0), (43.53) Рг "- — ее', гчг "- — е е' (А'(О; гу = — гй).
2 ' е (43. 54) С помощью 0г(г, г') система интегральных уравнений для гчг запишется в виде') Р;(г) =5„.Р,,(г)+~ 0г(г, г,) ~~. и„(г,) Г„(г,) И,. (43.55) о г жг ') См. К у р а н т н Г иль бе р т, Методы математической физики, т. 1, Гостехиздат, !951. Следует заметить, что там приведена функция Грина для однородных граничных условий. Нетрудно показать, что те же формулы годятся н для неоднородных граничных условий типа (43,46) при Г ~ Г,, Прн Г= Г, два решения однородного уравнения, нз которых одно удовлетворяет граничным условиям (43.46) при г= О, а другое — прн г оо, оказываются линейно зависимыми.
Поэтому второе решение прн Г=Г, надо выбирать так, чтобы оно при г-» ю удовлетворяло не условию (43.46), а какому-то другому, например условию (43.46) без стоячей волны (как это имеет место при Г ~ Г,), Тогда в выражении для гг, появляется дополнительный член — первое слагаемое правой части (43.55).
Отметим также, что введенная здесь функция О противоположна по знаку функции, использовавшейся в книге Куранта и Гнльберта. Такое определение в настоящее время более принято. э 431 ггавняния таогии столкнований эляктгонов с атомами 59э Подставляя сюда (43.50) и (43.53) и сравнивая результат с (43.46), получаем Угг,=е 'а(пт)бгг,= ') Рг ') Угг'Рг'г(г. т,') (43.56) г г, г При выводе (43.55), (43.56) мы исходили из решений однородных УРавнений (43.51) с опеРатоРом .Уг, опРеделенным в (43,40).
Этот оператор описывает движение частицы в поле Уг. Поэтому решение г. уравнения (43.51) обычно называют искаженной волной. В проведенном выше выводе интегральных уравнений, таким образом, используется представление искаженных волн. Возможны и другие представления. В частности, можно опустить в ,Уг потенциал Уг, т. е. взять за основу оператор свободного движения. Такое представление, естественно, назвать борновским. Мы не будем на нем останавливаться подробно. Приведем только явные выражения для функций Рд и гг в борновском представлении, которые понадобятся ниже: (43.
57) Р, = йгту (/гг), г"г = и й~;" (йг) (й')О), Рг =4г1с (~)г), Рг = гагар(Чг) (Й'(О). Здесь /у и й; — сферические функции Бесселя и Ханкеля, 1Т и йу— и) те же функции для мнимого аргумента '). 5. Введение поляризационного потенциала. В предыдущих разделах было показано, что задача вычисления эффективных сечений сводится к решению бесконечной системы интегро-дифференциальных или интегральных уравнений. Решая эту систему методом последовательных приближений, можно получить другую формулировку задачи, одним из преимуществ которой является возможность наглядного физического истолкования. Будем исходить из системы интегральных уравнений (43.55) и примем, как обычно, за нулевое приближение свободный член Ргм = бгг,Р'г,. (43.58) Тогда в первом приближении сО т'г, =Рг„~г ' = ~ 0г(г, г') угг, (г') Рг, (г') гуг'.
гФго г (43. 59) гс(х)= )/ — Е з (х). ~) сферические функции уь ф~, ~ь л, связаны с обычными функциями Бесселя н Ханкеля уг, Н~р'~, 1, Кг соотношением (гл. хю 600 возвуждение Атомов Переходя, далее, ко все более высоким приближениям, можно по- лучить Тг, =Р'г,+ ~ Ог,(г, г') Уг.г,(г')Рг,(г') г(г', а Г,=~а,(.,')[и„,('>+У,г,(')~Р,,(') 1' о (43.60) и для матрицы Т ОЭ 1 г— Тг,г, = е'ч а! п т), — а ) Рг, Уг,г, Гг, т1г о а Тгг. = — Т ~ Рг((Угг. + Угг,) Рг,с(г (ГФ Г,). а (43.61) Величина Угг, называется поляризационным потенциалом.
Она яв.ляется интегральным оператором типа У( ) Ф (г) = ) У(, l') Ф ( ') Ф ' ч (43. 62) (ниже ядро интегрального оператора обозначается везде той же буквой, но с двумя аргументами). Поляризационный потенциал определяется рядом 1".,= ~ У'г'„~Ф. = ~' и„,,.г„„„ н=г (Iгц...г„,г,(г,г') =) с(г, ... й'„, Ит,(г) Оц (г, г,) (Уг,г,(г,).- о (43.63) ...Ог„,(г, „г')(Уг„,г,(г ). (43.64) Последние формулы годятся как для Г+Г„так и для Г= Г,.
В сумме по Г,... Г„ , необходимо опускать все члены, в которых встречается хотя бы один диагональный потенциал (Уг„г„. Таким образом, решение системы уравнений теории столкновений выражено в замкнутой форме (43.60). Поправка к матрице ТД~, дается согласно (43.61) матричным элементом от Угг,. Из второй формулы (43.61) видно, что Угг, представляет собой поправку к хартрифоковскому потенциалу (Угг,. Именно с этим связано название: поляризационный потенциал. Разумеется,'строго говоря, выше получено лишь формальное решение, так как трудности решения бесконечной системы уравнений перенесены на вычисление бесконечного ряда (43.63) сложной структуры.
Кроме того, остается открытым вопрос э 43) эглвнвния твогии столкновений элвктгонов с лтомамн 601 о сходимости ряда. Однако если ряд сходится, то использование поляризационного потенциала для получения приближенного решения обладает рядом очевидных преимуществ. В частности, сформулировать приближенное выражение для потенциала иногда значительно проще, чем для волновой функции. Может случиться, что ряд (43.63) (фактически это ряд теории возмущений в представлении метода искаженных волн) не сходится или сходится слишком медленно.
В таком случае необходимо непосредственно решать систему уравнений либо обращаться к каким-либо иным методам (ср., например, э 45). В приведенных выше формулах поляризация учитывается фактически в рамках теории возмущений. Рассмотрим теперь другое представление, в котором используются точные волновые функции упругого рассеяния )г г, в произвольном состоянии Г. Такая функция является решением уравнения Шредингера !.Уг — Уэг+Й') Кг =О, (43.65) , („Л=) (уг(0) =О, У'г' 5!п (Ь' — — )+ Тггв = ем з1п (7гг — — + Ь), 1и 2 где б — точная фаза рассеяния, а т"г — новый поляризационный по.
тенциал. Нетрудно показать, что T~г и Угг связаны интегральным уравнением Уэг (гг ) = Угг (гг') ~ "у"~г (гг~) Ог (г~г~) 1гг(гхг') с(г фг„(43 66) откуда получаем разложение для 7"г. у.=„'р х' и„,...,„,„ (43.67) г .—,л г;~г где штрих у суммы, как и выше, означает отсутствие членов, включающих диагональные потенциалы с7г,г, Дополнительное условие Г;~Г заметно уменьшает число членов в сумме.
Используя функции 1г, амплитуду неупругого рассеяния можно записать тремя, вообще говоря, эквивалентными способами СО 1 г— 7;,= — —,~~ Г,(и,+У;„) Г,. 1г= о 1 Р 1 = — — ~) э' (с7~~, + ~ гг ) Р о и = — Л ~ У г ((7гг, + % "гг,) 1У'г, г(г. в [гл. х( 602 Возвуждеиие АтомОВ Очевидно, это соответствует <начальному», «конечному» и «симметричному» включению поляризации.
Очень важно, что при использовании приближенных выражений для У и Уо три приведенные формулы приводят к разным результатам. Приведем разложения для не- диагональных потенциалов 2»гг, = ~х~ ~с~~ (угг,...го,г„ лг, г„ (г( ~ гоо (43.69) о Ю „.=~ ~ и„,...,л,,„ л г,...г„ (гота г( (43.70) 2 'гг,=Х Х (7гг, гл,г. — М'гг„(43.71) лг, лл (г( ~ го г> М гг„= и„.гг. + ~чР (игг„,гг. + иггггг, + иггггг.)+ ... (43.72) '1 ( о (43.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
