1626435900-2be340c6a244b99156a9dca9d508df44 (844337), страница 99
Текст из файла (страница 99)
Независимо от вида приближенного выражения матрицы )с матрица 5, вычисленная по формуле (43.3!), унитарна, и приближенные значения сечений удовлетворяют условию сохранения числа частиц. Фактически при переходе от )1-матрицы к 5-матрице в (43.31) приходится испольэовать не всю бесконечную матрицу )1, а некоторую ее субматрицу (что соответствует учету конечного числа состояния). В этом случае 5-матрица хотя и не будет строго унитарной, но нарушение унитарности оказывается не столь большим. Иногда вместо сечения перехода о, используют безразмерную величину — силу столкновения (осе)1!з!оп з!гепй!)оо): 2логодо' (43.
32) где г=2 — д!+1 — заряд атомного остатка (для нейтрального атома г=1) '). Подставляя сюда (43.20), получаем () = Ъо~~ й„~ Т ~ = ~~о~ и ~5 — б „~ . (43.33) Г !ао, Р!а Го(а, Г!а Введение величины () удобно по целому ряду причин.
Как уже отмечалось, она безразмерна. Кроме того, она симметрична по отношению к прямым и обратным процессам ()аоа (Лой) Паа, (ййо) (43. 34) ') Это определение ()а, отличается от обычно принятого множителем го. Тем самым обеспечивается одинаковый порядок величины Й о в изоэлектрон.
ном ряду ионов. (гл. х~ 594 возвхждяниа атомов н адднтнана по структуре атомных уровней. Прн больших энергиях ею Е н, следовательно, (1 =сапа( нлн очень медленно(логарнфмнческн) возрастает. Выше (см. (41.61)) уже отмечалось, что полные парцнальные сечения неупругнх процессов удовлетворяют определенным неравенствам. Поскольку сечение определенного перехода не может превышать полное неупругое сечение, те же неравенства можно записать з виде ~~Р~ (1 (1,1) ~21,+1.
(43. 35) ! Наконец, отметим, что усредненное по максзеллоаскому распределению скоростей число переходов а плазме с электронной температурой Т аа единицу времени на один электрон н один атом равно ! СО Е (2п) ' (таТ) а д " ~в 3. Радиальные уравнения. В предыдущем разделе было дано выражение для эффективных сечений через матрицу Т. Элементы этой матрицы можно было бы вычислить методами теории возмущений.
Однако этот путь не всегда удобен и, кроме того, часто является совершенно недостаточным. Другая возможность состоит в вычислении радиальных волновых функций Ег'(г). Тогда матричные элементы Тгг, определяются граничными условиями (43.14). Функции г.г'(г) являются решениями радиальных уравнений, которые можно вывести с помощью вариационного принципа аналогично выводу уравнений Хартри — Фока для состояний дискретного спектра. Хотя аналогия с уравнениями Хартрн — Фока довольно тесная, имеют место и некоторые существенные отличия, на которых мы кратко остановимся.
Прежде всего в задачах теории столкновений полная функция системы тг принципиально является многоконфигурационной, так как она должна содержать различные каналы рассеяния. Следовательно состояние внешнего электрона описывается не одной, а целой системой функций Гг'(г), удовлетворяющих соответственно системе (вообще говоря, бесконечной) интегро-дифференциальных уравнений. С другой стороны, самосогласованное (т.
е. усредненное по движению) поле электрона в состоянии непрерывного спектра равно нулю. Следовательно, атомные волновые функции можно определить независимо от внешнего электрона. Другими словами, при решении задачи о столкновении электрона с атомом можно считать атомные волновые функции заданными заранее.
В систему радиальных уравнений теории столкновений входят лишь уравнения для волновых функций внешнего электрона. Далее, в случае непрерывного спектра принят иной подход к вопросу об ортогональности радиальных функций. На функции внешнего электрона не накладывается никаких условий ортогональности $ 43] УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ СТОЛКНОВЕНИЙ ЭЛЕКТРОНОВ С АТОМАМИ 595 с атомными функциями. Уравнения выводятся с учетом возможной неортогональиости. Это, естественно, приводит к расширению класса допустимых функций, но вид уравнений сильно усложняется. В общем случае уравнения получаются чересчур громоздкими.
Однако если сделать некоторые дополнительные не очень сильные допущения, то уравнения существенно упрощаются и становятся аналогичными обычным уравнениям Фока. Наконец, заметим, что энергия Е системы считается также заранее заданной, в то время как в случае дискретного спектра она определяется как собственное значение задачи '). Поскольку требование ортогональности радиальных функций отсутствует, вариационное уравнение можно писать без одноэлектронных множителей Лагранжа 5(ЕР) <Ч"»! Н вЂ” Е) Ч'> =О, (43. 36) где 5(ЕР) означает варьирование по функции Ег, стоящей в левой части матричного элемента (поскольку правая и левая части являются комплексно-сопряженными, их можно варьировать независимо).
Везде в дальнейшем верхний индекс, определяющий начальное состояние, будет опускаться. Согласно (43.13) полная волновая функция системы разлагается по собственным функциям представления Г: Ч" = ~~ ' Ч" г = А ~~ ' — Ег (г) 6>г. (43. 37) г г Подставляя (43.37) в (43.36), получаем ~5(ЕР) <Чгг) Н вЂ” Е! Ч"г.> =О. г (43. 38) ') Вообще говоря, при применении вариационного принципа к состояниям непрерывного спектра возникает ряд дополнительных вопросов более общего порядка. Мы ие будем на иих останавливаться, поскольку они малосущест.
веины для конкретного вывода радиальных уравнений теории столкновений. Таким образом, для вывода радиальных уравнений необходимо вычислить матричный элемент <Ч г)Н вЂ” Е( Ч г > = <1'!Н вЂ” Е) Г'>. Лля упрощения вывода и окончательного вида радиальных уравнений сделаем следующие допущения: 1. Учитывается лишь неортогональность радиальных функций внешнего и оптического электронов. 2. Все атомные одноэлектронные функции ортонормированы, причем это распространяется также на функции, относящиеся к разным состояниям атома в целом. 3. Одноэлектронные атомные функции удовлетворяют уравнениям Хартри — Фока.
4. В тех членах матричного элемента, которые содержат интегралы неортогональности, можно пренебречь: 39б (гл. ха Возвуждение атомов ~Ж + й*1 Рг = Х' Угг (г) Рг. г дг (43. 39) Оператор .Уг — обычный хартри-фоковский оператор Уг = ~,—, — О~ (г), У~(г) = У~+ сгп, (43.40) У Г(1+ 1) С г где Уг описывает взаимодействие внешнего электрона с атомным остатком, а сlгг — взаимодействие с оптическим электроном. Потенциалы (угг (в частности, и при Г' = Г) являются интегральными операторами и выражаются через радиальные интегралы Угг (г) Рг = ~ пгг уй (г) Рг — с~~~ ~гг у"у (г) Рьч (43.41) % М О» уй (г) =2 ~ „~, Р,(г,) Рг (г,) г(г„ ! (43.42) г; а Р,(х) †радиальн функции атомного электрона в состоянии лй Для параметра Хгп возможны два выражения (они совпадают при Г'=Г): )~гг = 7 ( — вд+й"), )сгг = ~ ( ва'+ ь*) (43.43) Здесь е, и в, — энергетические параметры оптического электрона в состояниях а и а', вообще говоря, отличные от энергии уровня.
Однако в рамках допущения (4) этой разницей можно пренебречь и считать, что эти выражения совпадают. ') См. Л. В а й н ш т е й н, И. С о б е л ь и а н, ЖЭТФ За, 767, 19БО. а) изменением волновых функций всех электронов, кроме оптического, при переходе атома, б) некоторыми потенциалами мультнпольного взаимодействия. Можно ожидать, что сделанные допущения являются не очень серьезными и мало повлияют на точность уравнений. Отметим, что в случае атома водорола они выполняются точно. Мы не будем останавливаться на довольно громоздком выводе уравнений ') и приведем сразу окончательные формулы.
Везде в дальнейшем, кроме специально оговоренных случаев, используются единица Ку для энергии и атомные единицы для всех остальных величин. Систему интегро-дифференциальных уравнений можно записать в виде 5 43] УРАВнениЯ теОРии столкноВений электгонов с атомами 597 Параметры а и )) зависят только от квантовых чисел угловых моментов 7~1 агг =6ВУ ( — 1) 'т+'+'(1~~С" й'1')(Ц!С*31ч) 1 -, — ~ )г",г,, (7.
г г~ Вг„=( — 1) ' * (ЦС" ~)7')(1~~С*~~7') (~т ~ 7/ В приближении генеалогической схемы 1 1 )егг =ба У,' 6сс' ( — 1)"+с+с'(27. +1) ' (27.'+1)1 (7. 1' 61 ' 1 3 -1~ тгг =6з,з'6с,с', ( — 1) ' (25+1) '(25'+1)' 1 Х ' 2 (43. 45) 1 х (27. + 1) ' (27.' + 1) ' ~~ ~, - ~ ~~~ (27., + 1) х г )Ы,:ЛС,:Л)'Ф ( 1п ~ Фг— Ф')О Р г 6гг,з1п (йг — — )+ Тгце (43.46) й'(О гг О. Г "~ 6О (43. 47) где квантовые числа 3,7., задают состояние атомного остатка. Если же имеются л электронов, эквивалентных оптическому, то ргг и тгг надо усреднить по всем термам атомного остатка с весом 'У л 6с,зг Отметим, что при 7., =3, =О (атом водорода и вообше ез один электрон вне заполненных оболочек) р к У = 1.
Потенциал ЕУР выражается через радиальные интегралы аналогично (43.41). При вычислении коэффициентов при радиальных интегралах можно также воспользоваться методами, описанными в $ 1Ь (см. также 9 21). Во всех приведенных выше формулах для простоты не указываютси пределы суммирования по н. Эти пределы определяются условиями треугольника (см. $13). Во всех практически интересных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
