1626435900-2be340c6a244b99156a9dca9d508df44 (844337), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Если описывать падающий поток плоской волной с единичной амплитудой, то Жу = —" шга иО, "а (43.3) Подставляя в (43,2) аМш'-компоненту из (43.3) и учитывая, что функции Ч",м дискретного спектра нормированы на единицу, получаем для дифференциального эффективного сечения следующее выражение: 5 Г(П 'М',та = ~ УаМта((),<р) ~ ' ПО. аа (43.4) где и и па — скорости падающего и рассеянного электронов, а гав вероятность обнаружить один электрон в точке г (г оо) при произвольных координатах других электронов и при выполнении указанных выше условий: та = ~ХР~ ~ ( АЧг "таам ~а (~ ~Утю ~ (И + 1) ~ ( АЧ~ фам р (~ л(т, (43.2) !т г Здесь г(т'~' означает интегрирование по всем переменным (включая спиновые), кроме гы а г(т — интегрирование по всем переменным, кроме г.
Поскольку нас интересует значение ш при г — оо, необходимо написать асимптотическое выражение для Ч". Однако асимптотика Ч', существенно зависит от того, относится ли состояние аМ к дискретному или непрерывному спектру. Ограничимся для простоты случаем дискретного спектра. Тогда при г — оо в ~ в формуле (43.1) остается лишь член с /=М + 1 (гу —— г), для которого координата г приписывается внешнему электрону. Все прочие члены содержат г в атомной волновой функции Ч', „, которая по условию экспоненциально затухает на больших расстояниях. Следовательно, Чг -( ч+ 1) ~Х~~ 1 амХт' ( а бамтп амта+Уамт (йгр) аМт' 688 [гл.
х» Возвтждение АтОмОВ 5 -1 Ч'=Чга~'Гао "'=Зр»,ЧГ»' (У, =ПЛ4?,—,ОШ~). »о Верхними индексами всюду обозначается начальное состояние. Введем, далее, полную ортонормированную систему функций Ф,: Ф» Яо $м О,ф,Л) =ЧГ,МЯ, Вм) У7~(8,ф))( *(Л), (43.6) -1 у=аЛ41-л»л» .
2 Очевидно, Ф, антисимметрична по $,... $м, но неантисимметрична относительно перестановок $, йА» с $. Разложим ЧГ"' по Ф„: ф'»о А ~, Р»о (Г) Ф » где Гч,"(0) =О, а при à — Оо имеют асимптотику ,ГА а Р»»'(Г)" 6 „,а!п (ог,г — — ) + Т„е ~ю о ) ° (43.8) Подставляя (43.7) и (43.8) в (43.6), заменяя, как и выше, сумму из А одним членом и сравнивая результат с (43.3), получаем два соотношения 5»П ( й оà — — ) Ч'аом, е'"")(мо = ~'., Р Т Ф»„, Г- а\ о»о Г Ц (43.7) »о ЧгамТам "(6,ф) Х" =~ р»-,е * Т„.Ф,. »,»н Учитывая (43.6) и разлагая плоскую волну по сферическим, находим из первого соотношения р - 1», ' 4П (21о -[- 1) (43.9) ао Аналогично второе соотношение дает разложение амплитуды рассеяния Т;маао по сферическим волнам Тамона(6»ф) =~я~ р1» ~ йо ')' 4п(21, + 1) Т,1'» (й,ф).
(43.10) »о»М Как уже отмечалось в разделе 1 этого параграфа, для практического решения задачи в общем случае необходимо выполнить разделение радиальных и угловых переменных. Это разделение достигается разложением по парциальным волнам. Прежде всего перейдем от плоской падающей волны к сферическим.
Тхля упрощения формул в дальнейшем за ось г принято направление вектора й,. Тогда $ 43) УРАВнения теОРии стОлкнОВений электгонов с Атомами 589 Таким образом, зная радиальные функции тч '„'(г), а следовательно, и матрицу тт„„ можно определить ~,м ° (8,<р) и затем сечение рассеяния согласно формуле (43.4). Полученное таким образом выражение для сечения удобно преобразовать к несколько иному виду. Использовавшееся до сих пор представление у фактически мало пригодно для реального расчета радиальных функций.
Перейдем поэтому к представлению полных моментов с набором квантовых чисел Г. В схеме 1'з-связи Г:— а7 — 1.г Зг, а е— ш (л;уг) ЕЮ, (43. 11) 1 Г= — О1 2 (у)УТ, О: — (лг1г)1 УУ (43.12) Возможна, очевидно, и другая схема, в которой сначала производится 1 сложение а = — и У, а результирующий момент складывается с 1„ 2 давая Уг Если не учитывать магнитного взаимодействия внешнего электрона с атомом, обе схемы, разумеется, равноправны. (Последняя схема принята при рассмотрении ядерных реакций.) Дальнейшие формулы не зависят от конкретного вида представления Г.
Обозначим матрицу преобразования у Г через (у ) Г). Тогда полная функция системы, соответствующая начальному состоянию Г,„ запишется в виде Чп'' =А — ~ч~', Гг' (г) Фг, Фг = ~',(Г1У) Фм (43.13) г йг Суммирование нужно выполнить по тем квантовым числам из набора у, которые не входят в Г. Условно это обозначается как у) Г (в случае СЯ-связи, например, у(Г= Мгнгн'1 Г~ у = У.пут). Функция тчг'(г) преобразуется как матрица.
Используя (43.8) и свойство унитарности преобразования, нетрудно получить уг'(г) бг,г з(п ~й,г — '~ )+ тгг„е т„,= ~ (у,(Г,)(у(Г) т,. ге(т,. Рй (43.14) (43.15) где ь, 3 — полные моменты атома (орбитальный и спиновый), а (г $г — полные моменты системы атом плюс электрон. Если необходимо рассматривать отдельную компоненту мультиплета в спектре атома, то возиуждение атомов 590 [гл. хг Наконец, подставляя (43.1 5) и [43.10) в [43.4) и учитывая, что 1Г ~ у = — Г (а, получаемдифференциальное эффективное сечение в виде 5 а,м~гл» »!пижм и — Х г' ) 21,+1(у,(Г,)(у( Г) Тгг,у»-(8,»р)~ »[О (43!6) а» ) г„м„гь»,»ь Обычно приходится иметь дело со столкновениями неполяризованных электронов с атомами, ориентированными произвольным образом. Поляризация рассеянных электронов также не представляет интереса, в то время как ориентация возбужденных атомов (т.
е. значение М) может оказаться существенной, так как она определяет поляризацию испущенного после возбуждения света. Чтобы получить соответствукицее дифференциальное сечение, надо усреднить (43.1 6) по М, и а»,' и просуммировать по л»'. Кроме того, удобно разложить содержап»ееся в (43.16) произведение уу У;,ча, по сферическим функциям У» от тех же углов. Нетрудно показать, что при этом р =О, т. е. сечение не зависит от й~, как и следовало ожидать. Окончательный результат представим в виде »(пам = —, ~' В» Р» (соз 6) »[О, (43. 1 7) а » В» =~~~Р» ' ((27»+1)(2!о+1)(21+1)(21'+1)] ' у, К [2Л+ [ о о о( ~ — о ) (у, / Г ) (т'„( Г ) (у/Г) [у'!Г') Тгт, Тг г (43.18) »' ! 7' Л ! / Г В Л (суммирование в [43.18) проводится по Г, ) а„Г; ! а,', Г ) а, Г ( а', В частности, в случае схемы Е$-связи (43.11) В, =~~ г 1' '»т' ' ' )' (21»+1К21»+1)(2!+1)(2Г+1)Х 2 [2$+!1 Х (2Л+1)(2ьг+ !)(2ьг+ !)(ООО) ( О) [М О !! ) Х Х (»» ьг) ( ~ ! т) (ь ~т)7гг Тг»' (43 19) » о (суммирование в [43.19) производится по Ег, йг, Бг,1„! о, 1,7', М„л»).
Перейдем теперь к рассмотрению полного сечения. Формула [43.! 7) после интегрирования по углам дает 2иа э 431 гглвнвния таогии столкновений элвктгонов с атомами 591 Отметим, что (43.18) и (43.!9) для Х=О остаются почти столь же громозлкимн, как и в общем случае. Можно, однако, получить значительно более простое выражение, если просуммировать по всем конечным ориентациям атома, т. е. по всем Л4. Используя свойства ортогональности коэффициентов (у!Г), приходим к окончательному результату оа,а = Д~ оа»а (1»1) 1 4па ч й ! 1' ) (43.20) г»!а»1»,г!ы — = 21,+1.
Приведем теперь частные случаи (43.20) для г'.з- и Туссвязи. В случае 15-связи (43.11) 4па 'К (21.т+1) (23т+1) у. оа»а (1»Х) = » а~а 2 (21 ! 1) 23 +1) ( Тгг,~ . (43.21) т г Поскольку полный спиновый момент может принимать только два 1 аначения 3т=5,~ —, эту формулу можно переписать в виде о = о+ + о, (43,22) о~ (1!) = — с+ ~~~ т ! Тгг ~', сь = — ! ~ — 11, (43.23) "т Отметим, что разбиение (43.22) на оа возможно как для парииального, так и для полного сечения.
В схеме .//-связи (43.12) 4па ч» 2гт+1 па»а (~»1)» а ~ 2(21 1 1) | Тгг»! (43.24) Эта формула позволяет вычислить сечение перехода между компонентами тонкой структуры уровней а, и а. Если магнитное взаимодействие атома с внешним электроном не учитывается (везде в дальнейшем это предполагается), то всю зависимость от квантовых чисел где 2д,— статистический вес атома в состоянии а, и внешнего электрона (плоской волны), аг — статистический вес состояния Г системы.
Формула (43.20) дает простую связь между эффективным сече. нием о и матрицей Т для произвольной схемы связи. Лля удобства дальнейшего обсуждения в явном виде выделено суммирование по парциальным сечениям о (Р, Г). Отметим, что [гл. хз 592 возвгждание атомов ,~уу можно выразить в явном виде через 9/-символы. Меняя схему сложения моментов и переходя снова к ЛЮ-связи, находим 4пй кч А п~ ~ (1~1) ~ ~ 2(йу +1) Тг~ Тгт) (4 ь+ хтс зтз т т где Г', Г, отличаются от Г, Г, только заменой ЕтУ на Ет$т и введены обозначения ~ЦьУ, ...) =(2У*, + 1)(2/,+ 1), (43.26) '4 = Х К (ьгзтьтот/~lу~узт) х ~~~ з т зт I 1 т и 3 .
(43.27) е Г й ~ь ут !ь уь Я, 3' — 5, 1 1 3т 2 1-т 1О Ео т Определение матрицы Т, принятое в этой главе, обусловлено соображениями простоты записи граничных условий (43.14), которые часто используются в дальнейшем. Обычно в теории рассеяния применяется так называемая Я-матрица, связанная с матрицей Т простым соотношением') 1 1 з 3гг,=бег, 21 ~ й ) 1гг; (43.28) Асимптотика радиальных функций представляется при этом в виде — (а. -'-") (», '") ~ Рг~(г) й ' '(Ьгг е — Згг е / ' (43.29) Радиальные фуакции с такой асимптотикой отличаются от функций, 1 определенных согласно (43,14) лишь постоянным множителем й, з ( — ~) 2 Матрица 5 симметрична и унитарна ~ 3гг, ~ =1.
') В литературе часто обозначается через Тгг матрица (Згг — Ь ). гг, гг, гг,. Полученные выше формулы сводят задачу вычисления эффективных сечений к вычислению матрицы Тг,, Эта матрица определяется согласно (43.!4) асимптотикой радиальных функций зе',л(г). Следующие разделы настоящей главы будут посвящены методам определения этих функций. $ 43) хглвнвния ткогии столкиовкний элкктгонов с лтомлми 393 Из (43.28) и (43.20) следует пт~аг, о (1!) ~ !5 б ~о о о йо Лм2а ! гг, гго (43.30) При использовании приближенных методов расчета определение сечения через унитарную матрицу 5 или линейно связанную с ней матрицу Т часто оказывается неудобным, так как приближенное выражение для этой матрицы может быть уже неунитарным, что приводит к нарушению условия сохранения числа частиц. Важно отметить, что в случае приближенного решения не только может нарушиться условие (43.29), но даже отдельные слагаемые (5гг (о о могут оказаться сколь угодно большими.
Чтобы избежать этого, можно воспользоваться )т-матрицей, связанной с матрицей 5 нелинейным соотношением 5= —. !+И (43.31) ! — ()с ' где 1 †единичн матрица: )г, = бгг . о Матрица Р как н 5 симметрична, зрмнтова, но неуннтарна. При эоом радиальные функции действительны и имеют асимптотику Их можно представить в виде линейной комбинации функций с асимптотикой (43.14).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
